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北师大版 (2019)必修 第一册2.2 用函数模型解决实际问题课后作业题
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这是一份北师大版 (2019)必修 第一册2.2 用函数模型解决实际问题课后作业题，共6页。试卷主要包含了2 用函数模型解决实际问题，9=990等内容，欢迎下载使用。
§2 实际问题中的函数模型
2.2 用函数模型解决实际问题
知识点1 实际问题的函数建模
1.☉%17￥2***6%☉(2020·临川一中月考)某水果批发市场规定,批发苹果不少于100 kg时,批发价为每千克2.5元,小王携带现金3 000元到市场采购苹果,并以每千克2.5元买进,如果购买的苹果为x kg,小王付款后的剩余现金为y元,则y与x之间的函数解析式为( )。
A.y=3 000-2.5x(100≤x≤1 200)
B.y=3 000-2.5x(100
C.y=3 000-2.5x(0
D.y=3 000-2.5x(0≤x≤1 200)
答案：A
解析：本题为一次函数模型,注意定义域。
因为3 000÷2.5=1 200,所以100≤x≤1 200,故选A。
2.☉%90￥@￥8#2%☉(2020·信阳联考)细菌繁殖时,细菌数随时间成倍增长。若实验开始时有300个细菌,以后的细菌数如下表所示:
据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为( )。
A.75B.100C.150D.200
答案：A
解析：由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为y=300×2x(x∈Z)。当x=-2时,y=300×2-2=75。故选A。
3.☉%#45@52*@%☉(2020·济南一中期中月考)甲用1 000元人民币购买了一手股票,随即他将这手股票卖给乙,获利10%,而后乙又将这手股票返卖给甲,但乙损失了10%,最后甲按乙卖给甲的价格九折将这手股票卖给了乙,在上述股票交易中( )。
A.甲刚好盈亏平衡B.甲盈利1元
C.甲盈利9元D.甲亏本1.1元
答案：B
解析：因为甲第一次卖给乙时获利10%,所以此时价格为1 100元,甲获利1 100-1 000=100(元)。因为乙返卖给甲时损失10%,所以此时价格为1 100×0.9=990(元)。甲再卖给乙时九折,所以此时价格为990×0.9=891(元),甲损失990-891=99(元)。所以甲共计获利100-99=1(元)。故选B。
4.☉%￥0#7#64#%☉把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)·e-0.25t求得。把温度是90℃的物体,放在10℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50℃,那么t的值约等于(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693)( )。
答案：B
解析：由题意可知50=10+(90-10)e-0.25t,整理得e-0.25t=12,即-0.25t=ln 12=-ln 2≈-0.693,解得t≈2.77。故选B。
5.☉%9￥@4*34#%☉(北京高考)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=cx(x
A.75,25B.75,16 C.60,25D.60,16
答案：D
解析：由条件可知,x≥A时所用的时间为常数,所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数,即f(4)=c4=30⇒c=60,f(A)=60A=15,所以A=16。故选D。
6.☉%@8##562￥%☉(2020·深圳中学期中)麋鹿是国家一级保护动物,位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年,第一年(即1986年)只有麋鹿100头,由于科学的人工培育,这种当初濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y=alg2(x+1)表示,则2016年它们的数量会发展到( )。
A.400B.500C.600D.800
答案：B
解析：将x=1,y=100代入y=alg2(x+1),得100=alg2(1+1),解得a=100。所以y=100lg2(x+1),所以2016年的数量约为y=100lg2(31+1)=100lg232=500。故选B。
知识点2 利用函数决策实际问题
7.☉%￥6￥03￥#3%☉(2020·大庆一中高一月考)目前全国新冠肺炎疫情形势日趋好转,为在复学之前有序做好学校新冠肺炎疫情防控工作,确保广大师生的身体健康和生命安全,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=116t-a(a为常数),如图5-2-2-1,根据图中提供的信息,回答相关问题。
图5-2-2-1
(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的函数关系式为 ;
答案：y=10t0≤t≤110,116t-110t>110
解析：药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比,则设函数为y=kx(k≠0),将点(0.1,1)代入可得k=10,则y=10t;将点(0.1,1)代入y=116t-a,得a=110。则所求解析式为y=10t0≤t≤110,116t-110t>110。
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过 h后,学生才能回到教室。
答案：0.6
解析：令116t-110<0.25=11612,所以t>610=0.6。
8.☉%@@￥#6308%☉(2020·荆州中学期中)某工程由A,B,C,D四道工序组成,完成它们需用时间依次为2,5,x,4天。四道工序的先后顺序及相互关系是:A,B可以同时开工;A完成后,C可以开工;B,C完成后,D可以开工。若该工程总时数为9天,则完成工序C需要的天数x最大是 。
答案：3
解析：因为A,B,C,D都完成总用时为9天,而D需要单独工作4天,所以A,B,C都完成总用时为5天,而B用时为5天,所以A,B应在5天内完成,而A完成后C才可开工,所以x+2≤5,即x≤3。
9. ☉%*88*8#0*%☉(2020·福建福州高一检测)某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:
现有如下5个模拟函数:
①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=lg2x;⑤y=12x+1.74。
请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选 。
答案：④
解析：画出散点图如图。
由图可知上述点大体在函数y=lg2x上,故选择y=lg2x可以近似地反映这些数据的规律。
题型 利用数学建模思想解决实际问题
10.☉%02@@#31#%☉(2020·武汉二中模拟)有时可用函数f(x)=0.1+15lnaa-x(x≤6),x-4.4x-4(x>6)来描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关。
(1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;
答案：证明:当x≥7时,f(x+1)-f(x)=0.4(x-3)(x-4),而当x≥7时,函数y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0,故f(x+1)-f(x)单调递减,
所以当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降。
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133]。当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科。
答案：解:由题意可知0.1+15lnaa-6=0.85,
整理得aa-6=e0.05,解得a=×6≈20.5×6=123,
而123∈(121,127],
由此可知,该学科是乙学科。
11.☉%￥5￥8@0@1%☉(2020·上海浦东新区一模)某蔬菜基地种黄瓜,从历年市场行情可知,从二月一日起的300天内,黄瓜市场售价与上市时间的关系用如图5-2-2-2①所示的一条折线表示,黄瓜的种植成本与上市时间的关系用如图5-2-2-2②所示的抛物线表示。
图5-2-2-2
(1)写出图5-2-2-2①中表示的市场售价与上市时间的函数关系式P=f(t),写出图5-2-2-2②中表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t);
答案：解:由图可得市场售价与上市时间的函数关系式为
P=f(t)=300-t(0≤t≤200),2t-300(200
由图可得种植成本与上市时间的函数关系式为
Q=g(t)=1200(t-150)2+100,0≤t≤300。
(2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益,则何时上市黄瓜纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/千克,时间单位:天)
答案：设从二月一日起的第t天的纯收益为h(t),
则由题意,得h(t)=f(t)-g(t),
即h(t)=-1200t2+12t+1752(0≤t≤200),-1200t2+72t-1 0252(200
当0≤t≤200时,h(t)=-1200(t-50)2+100,
所以当t=50时,h(t)在区间[0,200]上取得最大值100。
当200
所以当t=300时,h(t)在区间(200,300]上取得最大值87.5。
综上可知,当t=50时,h(t)取得最大值,为100,即从二月一日开始的第50天时,上市黄瓜纯收益最大。x/h
0
1
2
3
细菌数
300
600
1 200
2 400
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
§2 实际问题中的函数模型
2.2 用函数模型解决实际问题
知识点1 实际问题的函数建模
1.☉%17￥2***6%☉(2020·临川一中月考)某水果批发市场规定,批发苹果不少于100 kg时,批发价为每千克2.5元,小王携带现金3 000元到市场采购苹果,并以每千克2.5元买进,如果购买的苹果为x kg,小王付款后的剩余现金为y元,则y与x之间的函数解析式为( )。
A.y=3 000-2.5x(100≤x≤1 200)
B.y=3 000-2.5x(100
C.y=3 000-2.5x(0
D.y=3 000-2.5x(0≤x≤1 200)
答案：A
解析：本题为一次函数模型,注意定义域。
因为3 000÷2.5=1 200,所以100≤x≤1 200,故选A。
2.☉%90￥@￥8#2%☉(2020·信阳联考)细菌繁殖时,细菌数随时间成倍增长。若实验开始时有300个细菌,以后的细菌数如下表所示:
据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为( )。
A.75B.100C.150D.200
答案：A
解析：由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为y=300×2x(x∈Z)。当x=-2时,y=300×2-2=75。故选A。
3.☉%#45@52*@%☉(2020·济南一中期中月考)甲用1 000元人民币购买了一手股票,随即他将这手股票卖给乙,获利10%,而后乙又将这手股票返卖给甲,但乙损失了10%,最后甲按乙卖给甲的价格九折将这手股票卖给了乙,在上述股票交易中( )。
A.甲刚好盈亏平衡B.甲盈利1元
C.甲盈利9元D.甲亏本1.1元
答案：B
解析：因为甲第一次卖给乙时获利10%,所以此时价格为1 100元,甲获利1 100-1 000=100(元)。因为乙返卖给甲时损失10%,所以此时价格为1 100×0.9=990(元)。甲再卖给乙时九折,所以此时价格为990×0.9=891(元),甲损失990-891=99(元)。所以甲共计获利100-99=1(元)。故选B。
4.☉%￥0#7#64#%☉把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)·e-0.25t求得。把温度是90℃的物体,放在10℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50℃,那么t的值约等于(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693)( )。
答案：B
解析：由题意可知50=10+(90-10)e-0.25t,整理得e-0.25t=12,即-0.25t=ln 12=-ln 2≈-0.693,解得t≈2.77。故选B。
5.☉%9￥@4*34#%☉(北京高考)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=cx(x
A.75,25B.75,16 C.60,25D.60,16
答案：D
解析：由条件可知,x≥A时所用的时间为常数,所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数,即f(4)=c4=30⇒c=60,f(A)=60A=15,所以A=16。故选D。
6.☉%@8##562￥%☉(2020·深圳中学期中)麋鹿是国家一级保护动物,位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年,第一年(即1986年)只有麋鹿100头,由于科学的人工培育,这种当初濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y=alg2(x+1)表示,则2016年它们的数量会发展到( )。
A.400B.500C.600D.800
答案：B
解析：将x=1,y=100代入y=alg2(x+1),得100=alg2(1+1),解得a=100。所以y=100lg2(x+1),所以2016年的数量约为y=100lg2(31+1)=100lg232=500。故选B。
知识点2 利用函数决策实际问题
7.☉%￥6￥03￥#3%☉(2020·大庆一中高一月考)目前全国新冠肺炎疫情形势日趋好转,为在复学之前有序做好学校新冠肺炎疫情防控工作,确保广大师生的身体健康和生命安全,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=116t-a(a为常数),如图5-2-2-1,根据图中提供的信息,回答相关问题。
图5-2-2-1
(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的函数关系式为 ;
答案：y=10t0≤t≤110,116t-110t>110
解析：药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比,则设函数为y=kx(k≠0),将点(0.1,1)代入可得k=10,则y=10t;将点(0.1,1)代入y=116t-a,得a=110。则所求解析式为y=10t0≤t≤110,116t-110t>110。
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过 h后,学生才能回到教室。
答案：0.6
解析：令116t-110<0.25=11612,所以t>610=0.6。
8.☉%@@￥#6308%☉(2020·荆州中学期中)某工程由A,B,C,D四道工序组成,完成它们需用时间依次为2,5,x,4天。四道工序的先后顺序及相互关系是:A,B可以同时开工;A完成后,C可以开工;B,C完成后,D可以开工。若该工程总时数为9天,则完成工序C需要的天数x最大是 。
答案：3
解析：因为A,B,C,D都完成总用时为9天,而D需要单独工作4天,所以A,B,C都完成总用时为5天,而B用时为5天,所以A,B应在5天内完成,而A完成后C才可开工,所以x+2≤5,即x≤3。
9. ☉%*88*8#0*%☉(2020·福建福州高一检测)某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:
现有如下5个模拟函数:
①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=lg2x;⑤y=12x+1.74。
请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选 。
答案：④
解析：画出散点图如图。
由图可知上述点大体在函数y=lg2x上,故选择y=lg2x可以近似地反映这些数据的规律。
题型 利用数学建模思想解决实际问题
10.☉%02@@#31#%☉(2020·武汉二中模拟)有时可用函数f(x)=0.1+15lnaa-x(x≤6),x-4.4x-4(x>6)来描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关。
(1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;
答案：证明:当x≥7时,f(x+1)-f(x)=0.4(x-3)(x-4),而当x≥7时,函数y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0,故f(x+1)-f(x)单调递减,
所以当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降。
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133]。当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科。
答案：解:由题意可知0.1+15lnaa-6=0.85,
整理得aa-6=e0.05,解得a=×6≈20.5×6=123,
而123∈(121,127],
由此可知,该学科是乙学科。
11.☉%￥5￥8@0@1%☉(2020·上海浦东新区一模)某蔬菜基地种黄瓜,从历年市场行情可知,从二月一日起的300天内,黄瓜市场售价与上市时间的关系用如图5-2-2-2①所示的一条折线表示,黄瓜的种植成本与上市时间的关系用如图5-2-2-2②所示的抛物线表示。
图5-2-2-2
(1)写出图5-2-2-2①中表示的市场售价与上市时间的函数关系式P=f(t),写出图5-2-2-2②中表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t);
答案：解:由图可得市场售价与上市时间的函数关系式为
P=f(t)=300-t(0≤t≤200),2t-300(200
由图可得种植成本与上市时间的函数关系式为
Q=g(t)=1200(t-150)2+100,0≤t≤300。
(2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益,则何时上市黄瓜纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/千克,时间单位:天)
答案：设从二月一日起的第t天的纯收益为h(t),
则由题意,得h(t)=f(t)-g(t),
即h(t)=-1200t2+12t+1752(0≤t≤200),-1200t2+72t-1 0252(200
当0≤t≤200时,h(t)=-1200(t-50)2+100,
所以当t=50时,h(t)在区间[0,200]上取得最大值100。
当200
所以当t=300时,h(t)在区间(200,300]上取得最大值87.5。
综上可知,当t=50时,h(t)取得最大值,为100,即从二月一日开始的第50天时,上市黄瓜纯收益最大。x/h
0
1
2
3
细菌数
300
600
1 200
2 400
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
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