数学选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何1 空间直角坐标系1.2 空间两点间的距离公式综合训练题

第三章§1　空间直角坐标系

1.1　点在空间直角坐标系中的坐标　1.2　空间两点间的距离公式

A级 必备知识基础练

1.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为(　　)

A.2 B.1 C.5 D.3

2.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(1,2,3)与Q(-1,-2,-3)两点的位置关系是(　　)

A.关于y轴对称

B.关于yOz平面对称

C.关于坐标原点对称

D.关于xOz平面对称

3.在空间直角坐标系O-xyz中,对于点(0,m2+2,m),下列结论正确的是(　　)

A.此点在xOy坐标平面上

B.此点在xOz坐标平面上

C.此点在yOz坐标平面上

D.以上都不对

4.(多选题)关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1,2,3),下列说法正确的是(　　)

A.OP的中点坐标为,1,

B.点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,2,3)

C.点P关于原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3)

D.点P关于xOy面对称的点的坐标为(1,-2,-3)

5.若A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为　　　　　. 

6.点M(-1,2,3)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,则|M1M2|=　　　　　. 

7.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,2,2),则|OA|=　　　　　;点A到坐标平面yOz的距离是　　　　　. 

8.已知A(3,3,1),B(1,1,5),求:

(1)线段AB的中点坐标和长度;

(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.

9.如图所示,在正四棱锥V-ABCD中,已知|AB|=2,|VO|=3,O为底面中心,E,F分别为BC,CD的中点.以O为原点建立空间直角坐标系,试分别写出各个顶点的坐标.

B级 关键能力提升练

10.在空间直角坐标系O-xyz中,点A在z轴上,它到点(2,1)的距离是,则点A的坐标是(　　)

A.(0,0,-1) B.(0,1,1)

C.(0,0,1) D.(0,0,13)

11.已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC是(　　)

A.等边三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.以上都不正确

12.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为(　　)

A.3 B.3 C.2 D.2

13.(多选题)已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B的坐标为(　　)

A.(0,0,10) B.(0,10,0)

C.(0,0,-2) D.(0,0,2)

14.点M(-1,2,3)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,则|M1M2|=　　　　　. 

15.在如图所示的空间直角坐标系中,单位正方体顶点A关于y轴对称的点的坐标是　　　　　. 

16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,|AP|=|AB|=2,|BC|=2,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PC⊥BF,PC⊥EF.

C级 学科素养创新练

17.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=2,CB=CC1=4,AC⊥BC,E,F,M,N分别是A1B1,AB,C1B1,CB的中点,连接EF,MN.如图所示,建立空间直角坐标系.

(1)在平面ABB1A1内找一点P,使△ABP为等边三角形;

(2)能否在线段MN上求得一点Q,使△AQB为以AB为斜边的直角三角形?若能,请求出点Q的坐标;若不能,请予以证明.

参考答案

第三章　空间向量与立体几何

§1　空间直角坐标系

1.1　点在空间直角坐标系中的坐标

1.2　空间两点间的距离公式

1.A　2.C

3.C　若m=0,点(0,2,0)在y轴上;若m≠0,点的横坐标为0,纵坐标大于0,竖坐标不为0,点(0,m2+2,m)在yOz坐标平面上.综上所述,点(0,m2+2,m)一定在yOz平面上.故选C.

4.AC　∵P(1,2,3),

∴OP的中点坐标为,1,,故A正确;

点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),故B错误;

点P关于原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),故C正确;

点P关于xOy面对称的点的坐标为(1,2,-3),故D错误.故选AC.

5.(0,0,3)　设P(0,0,z),|PA|=|PB|,则1+4+(z-1)2=4+4+(z-2)2,解得z=3.

6.4　7.3　1

8.解 (1)AB的中点坐标为(2,2,3),

|AB|==2

(2)由|PA|=|PB|得,

解得x+y-2z+2=0.

9.解 由题可得四边形ABCD是边长为2的正方形,

∵E,F分别为BC,CD的中点,

∴|CE|=|CF|=1.

∴C(1,1,0),同理B(1,-1,0),A(-1,-1,0),D(-1,1,0).

∵V在z轴上,|VO|=3,∴V(0,0,3).

10.C

11.C　由空间两点间距离公式可求得三角形三边长分别为|AB|=,|AC|=,|BC|=所以△ABC为等腰三角形.

12.B　13.AC

14.4　∵点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,∴M1(-1,-2,-3),M2(-1,2,-3),

∴|M1M2|==4.

15.(-1,-1,1)　由题意知,顶点A(1,-1,-1),所以点A关于y轴对称的点的坐标是(-1,-1,1).

16.证明 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

连接PE,CE.

∵|AP|=|AB|=2,|BC|=2,四边形ABCD是矩形,

∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

∴|PB|==2,

∴|PB|=|BC|,又F为PC的中点,∴PC⊥BF.

∵E(0,,0),

∴|PE|=,

|CE|=,

∴|PE|=|CE|,又F为PC的中点,∴PC⊥EF.

17.解 (1)因为直线EF是AB的垂直平分线,所以在平面ABB1A1内只有线段EF上的点到A,B两点的距离相等,又因为A(2,0,0),B(0,4,0),设点P坐标为(1,2,m),由|PA|=|AB|得所以m2=15.因为m∈[0,4],所以m=故平面ABB1A1内的点P(1,2,),使得△ABP为等边三角形.

(2)设MN上的点Q(0,2,n)满足题意,由AB为Rt△AQB斜边,且F为AB中点,所以|QF|=|AB|,又F(1,2,0),

则=,

整理得所以n2=4.因为n∈[0,4],所以n=2.故线段MN上存在点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形.