高中数学2.2 双曲线的简单几何性质课时作业

这是一份高中数学2.2 双曲线的简单几何性质课时作业，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(十四)　双曲线的简单几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．D　[依题意－＝，即a＝2b，∴c＝＝b，所以e＝＝．]2．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(　　)A．y＝±2x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±xC　[设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，∵e＝＝，c＝，∴＝＝，∴＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选C．]3．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)A． 　　B．2　　C．　　D．D　[设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝a，所以M(2a，a)．将点M的坐标代入双曲线方程－＝1，得a＝b，所以e＝．故选D．]4．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)A．　　B．　　C．2　　D．A　[如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2．由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A．]5．如图，F1为双曲线C：－＝1的左焦点，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是(　　)A．3　　B．6　　C．4　　D．8B　[设F2为右焦点，由双曲线的对称性知，|P1F1|＝|P2F2|，∴|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6．]二、填空题6．已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________．5　[依题意3＝，∴a＝1，由点P在双曲线右支上得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝2＋|PF2|＝2＋3＝5．]7．已知双曲线C：－y2＝1，P为双曲线上任意一点，设点A的坐标为(3，0)，则的最小值为________．　[设点P的坐标为，则2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1＝＋，根据双曲线的范围知：≥2，∴当x＝时，2的最小值为，即的最小值为．]8．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为________．(，＋∞)　[设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，F(c，0)，渐近线y＝x，则过F的直线方程为y＝－(x－c)，则代入得(b4－a4)x2＋2a4cx－a4c2－a2b4＝0，由直线与双曲线的两支都相交，得即由b4＞a4得b2＞a2，∴e＝＝＝＞．]三、解答题9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．[解]　椭圆D的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，因此双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5．设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25．又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r＝3，∴＝3，得a＝3，b＝4．∴双曲线G的方程为－＝1．10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为．(1)求双曲线的方程；(2)直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与该双曲线交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．[解]　(1)由题意，得解得a2＝3，b2＝1．故双曲线的方程为－y2＝1．(2)把直线方程y＝kx＋m代入双曲线方程，并整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0．因为直线与双曲线交于不同的两点，所以Δ＝12m2＋12－36k2>0． ①设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝．设CD中点为P(x0，y0)，其中x0＝，y0＝，则x0＝，y0＝．依题意，AP⊥CD．∴kAP＝＝－，整理得3k2＝4m＋1． ②将②式代入①得m2－4m>0，∴m>4或m<0．又因为3k2＝4m＋1>0，即m>－，∴m的取值范围为m>4或－<m<0．11．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)A． 　　B．　　C．　　D．D　[焦点F1(－，0)，F2(，0)，在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，①|AF1|2＋|AF2|2＝12，②联立①②可解得|AF2|－|AF1|＝2，即2a＝2，又2c＝2，故双曲线的离心率e＝＝＝，故选D．]12．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)(c>0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，直线FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为(　　)A．　　B．　　C．　　D．C　[设点A是双曲线的右焦点，由＝(＋)可知，点E是线段FP的中点，又点O是FA的中点，所以OE∥PA，且PA＝2OE＝a，再根据双曲线的定义可知PF－PA＝2a，可得PF＝3a，所以在直角△PFA中，有(3a)2＋a2＝(2c)2，对该式化简可得e＝．]13．(多选题)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　)A．x2－＝1 B．－y2＝1C．－x2＝1 D．y2－＝1[答案]　AC14．(一题两空)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________，渐近线方程是________．3　y＝±2x　[如图所示，设双曲线焦点在x轴上，顶点A、焦点F到渐近线的距离分别是AA′、FF′，则AA′∥FF′．∴△OAA′∽△OFF′，∴＝，即＝，则e＝＝3．由＝3，得＝2，所以其渐近线方程是y＝±2x．]15．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)A．2sin 40° B．2cos 40°C． D．D　[由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝．故选D．]