新高考数学一轮复习提升训练10.2 平面向量的数量积（精练）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习提升训练10.2 平面向量的数量积（精练）（含解析），共28页。试卷主要包含了平面向量的坐标运算，平面向量的数量积等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·河南·高三开学考试（文））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的值为（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 （舍）或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为7D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角
【答案】AC
【解析】 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
由题得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值，故选项C正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角不为钝角，故选项D错误．
故选：AC．
3．（2022·全国·模拟预测）（多选）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】对于A，由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以C不正确；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，所以D不正确．
故选：AB
4．（2022·山东日照·二模）（多选）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，故B正确；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BD.
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ，则以下结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BCD.
6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；对于B选项，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；对于C选项， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；对于D选项， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AC.
7．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D．若向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确.
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确.
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确.
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共线时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，所以D不正确.
故选：ABC.
题组二 平面向量的数量积
1．（2022·昆明模拟）四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．1C．4D．3
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：D.
2．（2022·江苏）在△ABC中，若 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．（2022·江苏南京·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
方法一：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：以 SKIPIF 1 < 0 坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由方法一可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·浙江·高三开学考试）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题组三 巧建坐标
1．（2022·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一动点，则满足 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 的个数为______．
【答案】4
【解析】以 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设 SKIPIF 1 < 0 的边长为4，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，也就是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆，易知该圆与 SKIPIF 1 < 0 的三边有4个公共点．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·模拟预测）在△ABC中，H，D分别是边BC，AC上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】12
【解析】如图，以H为坐标原点，BC所在直线为x轴，HD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一点（包含端点），则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：
4．（2022·山西二模）在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在菱形 SKIPIF 1 < 0 所在平面内，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．-3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴建立直角坐标系，如图，
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 。
故答案为：C．
5．（2022·湖北模拟）（多选）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 最大值为1
C． SKIPIF 1 < 0 最大值是2D． SKIPIF 1 < 0 最大值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】B,C,D
【解析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，A不符合题意；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，B符合题意；
SKIPIF 1 < 0 ，C符合题意；
SKIPIF 1 < 0 ，D符合题意．
故答案为：BCD.
6（2020高三上·连云港期中）（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，那么（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A,C
【解析】建立平面直角坐标系如下图所示：取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
A．因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 成立，故正确；
B．因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
C．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
D．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故错误，
故答案为：AC.
7．（2022·广东二模）（多选）如图，已知扇形OAB的半径为1， SKIPIF 1 < 0 ，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点E为 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为0B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为1D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为0
【答案】BCD
【解析】以 SKIPIF 1 < 0 为原点建立如图所示的直角坐标系，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为-1，A不符合题意；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，B符合题意；
设 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为0，CD符合题意.
故答案为：BCD.
8．（2021高三上·五华月考）如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的半圆上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】建立如图平面直角坐标系，
由题意知，点P的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，其方程为(x-2)2+y2=4(0≤y≤2)，
则其参数方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
其中A(0，-3)，B(4，-3)，D(0，0)，P(x，y)
则 SKIPIF 1 < 0
则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，λ+μ取得最大值为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题组四 最值
1．（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】如图令 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
如图 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
同理可求得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值为2，
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）在平面内，定点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点P，M满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 三点的距离相等，可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，
所以 SKIPIF 1 < 0 的外心与垂心重合，所以 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中心，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，
如图所示，以 SKIPIF 1 < 0 为原点建立直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】单位向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，其中锐角 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示：
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
表示点C在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以2为半径的圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
5．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 垂直，若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即表示圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1的圆，设圆心为P，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 表示圆P上的点到坐标原点的距离， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
6．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心2为半径的圆弧 SKIPIF 1 < 0 上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．0D．2
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 )，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取的最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7．（2022·菏泽二模）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系：
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意直线 SKIPIF 1 < 0 与圆有交点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．（2022·枣庄模拟）已知 SKIPIF 1 < 0 均为单位向量，且夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 均为单位向量，且夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．（2022·临沂模拟）边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，若点P是其内部一点（包含边界），则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 ．
【答案】1
【解析】由题，作图如下
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，
由边长为1的正六边形ABCDEF，知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点P是正六边形ABCDEF内部一点（包含边界），
显然，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影最大，且两者同向共线，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为：1.
10．（2022·河东模拟）在 SKIPIF 1 < 0 中，点M，N是线段 SKIPIF 1 < 0 上的两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，所以
①假设点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，则 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
所以 SKIPIF 1 < 0
②假设点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
假设点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
11．（2022·天津市模拟）在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点Q．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，N为线段 SKIPIF 1 < 0 延长线上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则可设 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
如图以点 SKIPIF 1 < 0 为原点建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
12．（2022·通州模拟）在矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P在AB边上，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的长度是 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ；-2
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的长度是 SKIPIF 1 < 0 ；
如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值为-2 。
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；-2。
13．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是单位向量，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 表示的点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离，如图，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14．（2022·辽宁·高三期末）已知O为坐标原点，向量 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
【答案】[11，13]
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 三点在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆上，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .