新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 平面向量的线性运算（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 平面向量的线性运算（含解析），共33页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

1. 向量的线性运算
2、进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决.
3、加法运算的推广
(1)加法运算的推广：eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A2A3,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up6(→)).
(2)向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形).
4、线性运算重要结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
(2)若G为△ABC的重心，则eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.
(3)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(n,m＋n)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(m,m＋n)eq \(AC,\s\up6(→))，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)).
【题型归纳】
题型一：平面向量的加法
1．正方形 中， 点 是 的中点， 点 是 的一个三等分点， 那么 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
题型二： 平面向量的减法
4．如图，是两条对角线的交点，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示的△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段BC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
题型三： 平面向量的数乘
7．等于（ ）
A．B．C．D．
8．在平行四边形中，（ ）
A．B．C．D．
9．点在线段上，且，若，则（ ）
A．B．C．D．

题型四：向量的线性运算的几何应用
10．如图，在中，己知，则（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，在中，，则（ ）
A．B．C．D．
12．如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
13．如图所示，向量等于（ ）
A．B．
C．D．
14．如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
15．化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
16．化简（ ）
A．B．C．D．
17．已知点为所在平面内一点，若动点满足，则点一定经过的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
18．在正方形中，（ ）
A．B．C．D．
19．已知向量，且不是方向相反的向量，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
20．如图，是的边中点，则向量=（ ）
A．B．
C．D．
21．若，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
22．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
23．若M为△ABC的边AB上一点，且则=（ ）
A．B．C．D．
24．已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
25．在矩形ABCD中，，则（ ）
A．B．C．D．
26．在平行四边形中，，若，则=（ ）
A．B．C．D．3
27．在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
28．在中，若点满足，点为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
29．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为实数0C．与方向相同D．
30．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
（1）若，则；（2）若，则
（3）若，则（4）若，则或
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（2）（3）（4）
【高分突破】
单选题
31．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（ ）
A．B．
C．D．
32．如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ）
A．B．
C．D．
33．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）
A．B．C．D．
34．化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
35．已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
36．如图，点在的内部，，是边，的中点(，，三点不共线)，，，则向量与的夹角大小为（ ）
A．105°B．120°C．135°D．150°
37．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
38．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A．B．C．D．
39．下列各式中，结果为零向量的是（ ）
A．B．
C．D．
40．下列说法错误的是（ ）
A．若，则存在唯一实数使得
B．两个非零向量，，若，则与共线且反向
C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D．在中，，则为等腰三角形
41．等边三角形中，，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
42．设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________．
43．在菱形中，，，，则___________.
44．如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，，则的值为________．
45．点为内一点，，则的面积之比是___________.
46．如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的最小值为_________．

47．在直角坐标系中，为原点,O、A、B不共线，，则________
四、解答题
48．如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)求证：；
(2)设，，，，求的值；
(3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.
49．如图，已知正方形的边长等于单位长度1，，，，试着写出向量.
（1）；
（2），并求出它的模.
50．如图，矩形与矩形全等，且.
(1)用向量与表示；
(2)用向量与表示.
51．已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.
（1）求；
（2）求证：.
（3）求的取值范围.
52．（1）化简：．
（2）已知向量为，未知向量为向量，满足关系式，求向量．
运
算
定义
法则
(或几何意义)
运算律(性质)
加
法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立
减
法
求两个向量差的运算
a－b＝a＋(－b)
数
乘
求实数λ与向量a的积的运算
λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|；
其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0
设λ，μ∈R，则
λ(μa)＝μ(λa)；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算结合图象即可得解.
【详解】
解：∵点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，
∴．
故选：D．
2．A
【解析】
【分析】
由向量的加法运算结合三角形的性质求解即可.
【详解】
，显然当为斜边中点时，，此时最小为，即的最小值为.
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
由向量加减法运算法则，得到所求向量为，再由向量减法的三角形法则，以及向量数乘运算，计算答案.
【详解】
由题意得，
故选：C.
4．D
【解析】
【分析】
根据向量的加减法的三角形法则及平行四边形的性质即可求解.
【详解】
由向量减法的运算可得，
又因为四边形为平行四边形，所以.
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合向量的相反向量、加减法法则，即可求解．
【详解】
解：由题意可得，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，所以
．
故选：C．
6．B
【解析】
【分析】
依题意可得，，根据平面向量的加减运算可得.
【详解】
由已知可得，，
所以．
故选：B．
7．B
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算求解即可.
【详解】
依题意得：
，
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
利用图形进行向量的加减、数乘运算，求出答案
【详解】
连接AC，BD相交于点O，则
故选：C
9．D
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理进行求解
【详解】
不妨设，则，
因为点在线段上，则，
故选：D
10．C
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以，
故选：C.
11．A
【解析】
【分析】
依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
所以
.
故选：A
12．D
【解析】
【分析】
根据已知有是的重心，由重心的性质及向量加法、数乘的几何意义，用、表示，即可得结果.
【详解】
由题意，是的重心，
=，
，故.
故选：D
13．C
【解析】
把，代入中化简即可.
【详解】
解：．
故选：C
14．A
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.
【详解】
，
，
，
，
故选：A.
15．A
【解析】
【分析】
由向量的加减运算法则即可求解.
【详解】
解：，
故选：A.
16．B
【解析】
【分析】
根据向量加法法则即可计算.
【详解】
.
故选：B.
17．D
【解析】
【分析】
取的中点，由，得，从而可得与共线，得直线与直线重合，进而得结论
【详解】
解：取的中点，则，
因为，
所以，
所以与共线，即直线与直线重合，
所以直线一定过的重心，
故选：D
18．C
【解析】
【分析】
根据平面向量加减运算法则计算可得.
【详解】
解：.
故选：C.
19．B
【解析】
【分析】
直接由求解即可.
【详解】
由已知必有，则所求的取值范围是．
故选：B.
20．D
【解析】
【分析】
利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.
【详解】
.
故选：D
21．C
【解析】
【分析】
利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】
因为，所以，，即.
故选：C.
22．A
【解析】
【分析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】
根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】
该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
23．A
【解析】
先用向量，表示向量，再转化为用，表示即可得答案.
【详解】
解：根据题意做出图形，如图，
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题
24．C
【解析】
由非零向量，满足，推导出“” “”，从而得到“”是“”的充分必要条件．
【详解】
非零向量，满足，
“”， “”，
“”， ，
，
，
“”是“”的充分必要条件．
故选：C.．
【点睛】
该题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题目．
25．C
【解析】
由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解.
【详解】
由题意作出图形，如下图，

所以
.
故选：C.
26．B
【解析】
由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解.
【详解】
，则平分，则四边形为菱形.
且，由，则,
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意为上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.
27．A
【解析】
【分析】
利用向量知识可得，两边平方可得，再利用不等式知识可求得结果.
【详解】
因为，所以，所以，
所以，
所以，整理得，
所以，
因为，所以，
所以，解得.
所以的最大值为
故选：A
【点睛】
关键点点睛：将向量条件化为，利用向量数量积的运算律运算得到是解题关键.
28．A
【解析】
利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.
【详解】
.
故选：A
29．D
【解析】
【分析】
根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】
向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
30．B
【解析】
根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
已知非零平面向量，，，
（1）若，则，所以或，即（1）错；
（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；
（3）若，则，所以，则；即（3）正确；
（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.
31．B
【解析】
【分析】
根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.
【详解】
因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，，，
则
，解得，所以.
故选：B
32．B
【解析】
【分析】
根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.
【详解】
，，
由，P，M共线，存在，使①，
由N，P，B共线，存在，使得②，
由①② ，故.
故选：B.
33．D
【解析】
【分析】
由平面向量的加减法法则进行计算.
【详解】
由题意得，，
所以.
故选：D.
34．B
【解析】
【分析】
根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.
【详解】
对于①：，
对于②：，
对于③：，
对于④：，
所以结果为的个数是，
故选：B
35．B
【解析】
【分析】
先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.
【详解】
甲：，则，故P为△ABC的重心；
乙：，则，故，即△ABC为直角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；
丁：，则，同理可得：，即P为△ABC的垂心，
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.
故选：B．
36．B
【解析】
由，是边，的中点，得，由可得答案.
【详解】
连接，如下图所示.
因为，是边，的中点，所以，且，所以，所以
，解得.又因为，
所以.则向量与的夹角大小为120°，
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，数量积.
37．C
【解析】
【分析】
利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.
【详解】
故选：C.
38．BCD
【解析】
【分析】
依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】
解：设第四个顶点为．
对于A选项，当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
对于B选项，当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
对于C选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，C正确；
对于D选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，D正确；
故选：BCD．
39．BD
【解析】
【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】
对于选项：，选项不正确；
对于选项： ，选项正确；
对于选项：，选项不正确；
对于选项：
选项正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.
40．AC
【解析】
【分析】
若可判断A；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B；求出的坐标，根据且与不共线求出的取值范围可判断C；取的中点，根据向量的线性运算可得可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：若满足，则实数不唯一，故选项A错误；
对于B：两个非零向量，，若，则，
所以，可得，，因为，所以，所以与共线且反向，故选项B正确；
对于C：已知，，所以，若与的夹角为锐角，则，解得：，当时，，此时与的夹角为，不符合题意，所以，所以的取值范围是，故选项C不正确；
对于D：在中，取的中点，由，得，故垂直平分，所以为等腰三角形，故选项D正确．
故选：AC．
41．AC
【解析】
【分析】
可画出图形，根据条件可得出为边的中点，从而得出选项A正确；
由可得出，进而可得出，从而得出选择B错误；
可设，进而得出，从而得出，进而得出选项C正确；
由即可得出，从而得出选项D错误．
【详解】
如图，
，为的中点，，A正确；
，，
， B错误；
设，且，，三点共线，
，解得，
，C正确；
，D错误.
故选：AC
42．3
【解析】
【分析】
由已知条件可得，令，则可得，从而可得为上靠近的三等分点，由，得∥，从而有，进而可求得答案
【详解】
解：因为，
所以，
令，则，
所以，所以为上靠近的三等分点，
因为，所以∥,
所以，
所以，
故答案为：3
43．
【解析】
【分析】
利用向量加减法的几何意义可得、，再应用向量数量积的运算律及已知条件求即可.
【详解】
由题意，.
故答案为：
44．
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理分别把向量，用基底{，}表示出，结合得到含有系数，的的基底表示，与直接根据向量的线性运算得到的的基底表示比较，利用向量基本定理中的分解唯一性，即可求出，的关系，进而求得结论．
【详解】
解：因为，，
所以，
又因为，
且，不共线，所以，
两式相加得，
显然,所以，
故答案为：．
45．
【解析】
【分析】
先将已知的向量关系式化为，设为中点，为中点，再根据平面向量的平行四边形法则的加法运算得出，从而可知三点共线，且，进而得出，，最后利用三角形中位线的性质和三角形面积公式，即可确定面积比.
【详解】
解：因为，所以，
设为中点，为中点，为三角形的中位线，则，
因为，
可得，所以三点共线，且，
则，，
分别设，
由图可知，，，
则，所以，而，所以，
所以，，
所以，
即的面积之比等于.
故答案为：.
46．
【解析】
【分析】
设，根据条件找出，，且与的夹角为，与的夹角为，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出，然后表示为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.
【详解】
延长交于点，因为，所以，，
在中，，，所以，
在中，，，所以，
所以，不妨设，则，且与的夹角为，与的夹角为，
则
，
所以时，取最小值.
故答案为：.
47．0
【解析】
根据向量的线性运算求出，根据对应关系求出的值即可．
【详解】
，
，
，
，，.
故答案为：0．
48．(1)见详解
(2)3
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；
（2）根据题意，用和表示， 结合，，三点共线，即可求解；
（3）根据题意，结合（1）（2）用和分别表示出和，进而可以表示出，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解.
(1)
证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.
(2)
因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.
(3)
设，，，，由（1）（2）可知，，即.
因，，
所以
，
又因是边长为的等边三角形，
所以，
令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.
因此，
又因，所以，所以.
49．（1）；（2），2.
【解析】
【分析】
（1）由即得解；
（2）由即得解.
【详解】
（1）；
（2）.
∴.
【点睛】
本题主要考查向量的加法法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
50．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）平面向量基本定理，利用向量的加减与数乘运算法则进行求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算进行解答.
(1)
.
(2)
以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设，因为矩形与矩形全等，且，
所以，则，，，，，
所以，，，故.
51．（1）；（2）证明见解析；（3）
【解析】
（1）延长交于D，则D为BC中点，可得，，即可求出；
（2）设，可得，，可得，即可建立关系求得；
（3）可得，再根结合的范围求出.
【详解】
（1）延长交于D，则D为BC中点，
,
G是重心，，
；
（2）设,
，，
，，
三点共线，
则存在，使得，即，
即，
，整理得，
即，即，即；
（3）由（2），，
，
，，可知，
，
，，
则当时，取得最小值，当时，取得最大值，
，则的取值范围为.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，考查基本定理和共线定理的应用，考查面积公式的应用，属于较难题.
52．（1） ；（2） ，．
【解析】
【分析】
（1）利用向量的加减、数乘运算化简即可.
（2）联立题设向量的线性关系式，可得关于的线性表达式，进而求关于的线性表达式.
【详解】
（1）．
（2）由①，②，
∴①+②，得，代入①得，即．
∴，．