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新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值（含解析），共39页。学案主要包含了考点梳理，典例剖析，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
1、抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
2、求解直线和抛物线相交所得交点有关的问题，关键是联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，结合根与系数关系，设而不求来对问题进行求解.
【典例剖析】
典例1．已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，点，则的最小值为 （ ）
A．B．2C．D．3
典例2．已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
典例3．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
典例4．过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
典例5．已知A（2，1），抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
6．已知抛物线的焦点为，、是抛物线上两动点，是平面内一定点，下列说法正确的序号为（ ）
①抛物线准线方程为；
②若，则线段中点到轴距离为；
③以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切；
④的周长的最小值为.
A．①②④B．②③C．③④D．②③④
7．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
8．点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是（ ）
A．4B．6C．D．
9．已知抛物线）的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q.则下列四个命题中正确的个数是（ ）个.
①；
②若M（1，1），P是抛物线上一动点，则的最小值为；
③（O为坐标原点）的面积为.；
④，则.
A．1B．2C．3D．4
10．已知抛物线E：，圆F：，直线l：（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
13．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点，M为抛物线上一点，则|MA|+|MF|的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
14．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，从点发出一条平行于x轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点，则光线从A出发到达B所走过的路程为（ ）
A．8B．10C．12D．14
15．已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
16．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上运动，点坐标为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
18．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
19．已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法正确的是( )
A．
B．(O为坐标原点)的面积为
C．
D．若，P是抛物线上一动点，则的最小值为
20．若抛物线的准线为，是抛物线上任意一点，则到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【高分突破】
单选题
21．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么过点P作的垂线，垂足为M，与距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
22．已知点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为N，动点M满足最小值为3，则点M的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
23．点P在曲线上，过P分别作直线及的垂线，垂足分别为G，H，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
24．已知抛物线上一点P到的距离为，到准线的距离为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
25．已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（ ）
A．B．4C．2D．
26．设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点坐标为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
27．已知抛物线的准线为，点在抛物线上，以为圆心的圆与相切于点，点与抛物线的焦点不重合，且，，则（ ）
A．圆的半径是4
B．圆与直线相切
C．抛物线上的点到点的距离的最小值为4
D．抛物线上的点到点，的距离之和的最小值为4
28．过抛物线的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设、，已知，，则（ ）
A．若直线l垂直于x轴，则B．
C．若P为C上的动点，则的最小值为5D．若点N在以AB为直径的圆上，则直线l的斜率为2
29．已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（ ）
A．焦点F到抛物线准线的距离为2
B．若，则点P的坐标为
C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2
D．若点M的坐标为，则的最小值为4
30．已知抛物线的焦点为为抛物线上一动点，直线交抛物线于两点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在直线，使得两点关于对称
B．的最小值为6
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．若分别以为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则两点的纵坐标之和的最小值为4
三、填空题
31．已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
32．已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
33．已知是抛物线上一点，点，，则周长的最小值为______．
34．已知是抛物线上一点，为其焦点，点，则的最小值是______.
35．已知抛物线，圆，点，若A，B分别是，上的动点，则的最小值为______．
36．已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________
①直线l：是曲线和的公切线：
②曲线和的公切线有且仅有一条；
③最小值为；
④当轴时，最小值为.
37．F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，Q是圆上的点，则最小值是__________．
38．已知为抛物线的焦点，是上的动点，点，则的最小值为 _______.
39．已知点是抛物线的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则最小值为_____．
40．如图所示，已知P为抛物线上的一个动点，点，F为抛物线C的焦点，若的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.
四、解答题
41．已知抛物线：的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B，C为E上两个不同的点，其中B点在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四边形AOBC的面积.
42．已知抛物线的焦点为F，M为T上一动点，N为圆上一动点，的最小值为.
(1)求T的方程；
(2)直线l交T于A，B两点，交x轴的正半轴于点C，点D与C关于原点O对称，且，证明：.
43．如图所示，，是焦点为的抛物线上的两动点，线段的中点在定直线上.
（1）求的值；
（2）求的最大值.
44．在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．
已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值；
(2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值．
45．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
参考答案
1．D
【分析】求出抛物线C的准线l的方程，过A作l的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.
【详解】抛物线的准线l：，显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图，
在抛物线C上任取不同于点P的点，过作于点N，连PF，AN，，
由抛物线定义知，，
于是得，即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时，取最小值，
所以的最小值为3.
故选：D
2．B
【分析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.
【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.
，则．
故选：B．
【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
3．A
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为，
∴点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即，
∴点P到直线和直线的距离之和，
∴当B，P，F三点共线时，最小，
∵，∴，
∴点P到直线和直线的距离之和的最小值为．
故选：A．
4．B
【分析】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，因为，所以直线的斜率为：，所以，由，解得，设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，而当垂直于轴时，的值最小，最小值为．
【详解】解：显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立方程，消去得：，
设，，，，
，
，
由抛物线的性质可知：，
，直线的斜率为：，
，
，
，
，
抛物线方程为：，准线方程为：，
设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，
而当垂直于轴时，的值最小，最小值为，如图所示：
的最小值为3，
故选：B．
5．C
【分析】借助抛物线的定义，将转化成，三点共线时，周长最小.
【详解】
抛物线的准线，过点P作垂直于准线，由题可知，△PAF的周长为,
，易知当三点共线时，△PAF的周长最小，且最小值为.
故选：C.
6．D
【分析】根据抛物线的方程直接写出抛物线的准线方程，可判断①的正误；设点、，利用抛物线的定义可判断②的正误；利用抛物线的定义可判断③的正误；过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，利用抛物线的定义以及、、三点共线时，求出的周长的最小值，可判断④的正误.
【详解】对于①，易知点，抛物线的准线方程为，①错；
对于②，设点、，则，所以，，
所以，线段中点到轴距离为，②对；
对于③，由抛物线的定义可得，所以，线段的长为半径的圆与准线相切，③对；
对于④，过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，所以，，
当且仅当、、三点共线时，即当时，取得最小值，
又因为，所以，的周长的最小值为，④对.
故选：D.
7．B
【解析】利用抛物线的定义，把到轴的距离转化为,利用几何法求最值
【详解】
抛物线的焦点,准线，如图示：过P作PP1⊥y轴于P1,作PP2⊥l于P2,则
所以点到点的距离与点到轴的距离之和为
由图示，易知，当P落在Q时，DPF三点共线，,
其他位置，都有
所以点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为：
当D、P、F三点共线时取最小值.
故选：B
【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
8．C
【分析】由抛物线的定义转化后求距离最值
【详解】抛物线的焦点，准线为
过点作准线于点，故△PAF的周长为，
，可知当三点共线时周长最小，为
故选：C
9．C
【分析】利用求得，然后结合导数、抛物线的定义、三角形的面积、两角差的正切公式对命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，
直线的方程为，设，
由消去并化简得，.
，
由得，
所以抛物线方程，，
不妨设在第一象限，在第二象限，则，
，设，
，设，
所以，所以，①正确.
到抛物线准线的距离为，结合抛物线的定义可知，的最小值是，②正确.
到直线的距离为，所以，③错误.
，
，④正确.
所以正确的有个.
故选：C
【点睛】求解直线和抛物线相交所得交点有关的问题，关键是联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，结合根与系数关系，设而不求来对问题进行求解.
10．B
【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得，又，可得△FAB的周长为，又知，即可求解.
【详解】
由题意知：抛物线焦点恰为圆心，抛物线准线，圆半径为2，可得圆与相切，设直线l：与准线交于，
由抛物线定义知：，又，故△FAB的周长为，
由图知，故，结合选项知：△FAB的周长可能为5.
故选：B.
11．A
【分析】由题意将问题转化为函数和图象两点的距离问题，结合图象即可得出结果.
【详解】记，易知所求根式部分为函数和
图象两点的距离问题，
设，
则，
所以，
又单调递增，所以是唯一零点，
令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
得，即，所以，
，
当且仅当时等号成立.
故选：A
12．C
【分析】根据抛物线定义将线段进行转化，数形结合进行求解.
【详解】连接PF，根据抛物线定义可知：点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点的距离，连接圆心与焦点，交圆于点，交抛物线于点，如图所示，此时点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小即为的长度，其中，故，
故选：C
13．B
【分析】作出图象，过点M作准线的垂线，垂足为H，结合图形可得当且仅当三点M，A，H共线时|MA|+|MH|最小，求解即可．
【详解】过点M作准线的垂线，垂足为H，
由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|，
则问题转化为|MA|+|MH|的最小值，
结合图形可得当且仅当三点M，A，H共线时|MA|+|MH|最小，
其最小值为.
故选：B．
14．C
【分析】利用抛物线的定义求解.
【详解】如图所示：
焦点为，设光线第一次交抛物线于点，第二次交抛物线于点，
过焦点F，准线方程为：，
作垂直于准线于点，作垂直于准线于点，
则，
，
，
，
故选：C
15．C
【分析】作出图形，过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可知当、、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，即可得解.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，如下图所示：
过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得，
所以，，
由图可知，当点、、三点共线时，即当与直线垂直时，
取得最小值，且最小值为.
故选：C.
16．D
【解析】利用抛物线的定义和数形结合分析，求得的最小值.
【详解】由图可知，是点到准线的距离，是点到准线的距离，由抛物线的定义可知，即，所以的最小值是求点到准线的距离，抛物线方程，准线方程，.
故选：D
17．A
【分析】先根据焦点坐标求出，结合抛物线的定义可求答案.
【详解】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．
记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．
故选：A.
18．A
【分析】利用抛物线的定义进行转化，结合图像可知当三点共线时即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
设此抛物线的焦点为，准线．
过点作，垂足为．
则，到轴的距离，
则点到点的距离与到轴的距离之和为
设，因此当、、三点共线时，取得最小值．
．
即的最小值为，
所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.
故选：A.
19．A
【分析】设l的方程，和抛物线方程联立，得到根与系数关系，求出，根据求出p的值.
A：用导数求出切线斜率，验证两斜率之积是否为－1；
B：利用三角形面积公式即可求解；
C：根据抛物线焦点弦的几何性质可判断；
D：数形结合，利用抛物线的定义转化为P到准线的距离即可求出最值.
【详解】∵l过点F且倾斜角为，
∴直线l的方为，与抛物线方程联立，得，
设，则，，
∴，，
又，∴，∴；
不妨设，当时，，
∴过A的切线斜率为，
同理可得过B的切线斜率为，
∴，∴，故A正确；
，故B错误；，故C错误；
设点M到准线的距离为d，若，则，则D错误．
故选：A．
20．A
【分析】过点作，垂足为点，过点作直线的垂线段，垂足为点，计算出点到直线的距离，由抛物线的定义可得，利用当、、三点共线可求得的最小值.
【详解】如下图所示，过点作，垂足为点，过点作直线的垂线段，垂足为点，
抛物线的准线为，焦点为，
点到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是.
故选：A.
21．D
【分析】根据点P到距离等于到准线的距离加1，结合抛物线的定义以及图象，得出与距离之和的最小值.
【详解】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径，如图所示，根据点P到距离等于到准线的距离加1，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离等于到焦点的距离，进而推断当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为，故与距离的最小值为.
故选：D．
22．C
【分析】分点M在抛物线外部，点M在抛物线上或内部两种情况讨论得解.
【详解】当点M在抛物线外部时，，，
点M的轨迹方程为（在抛物线外部的部分），
与联立解得，
∴ 轨迹与抛物线的两个交点为，，则，圆在抛物线外部的弧长为；
当点M在抛物线上或内部时，三点共线时，最小，此时点M的轨迹方程为，其长度为.
所以点M的轨迹长度为.
故选：C.
23．B
【解析】根据抛物线的性质，的最小值等价于的最小值，即焦点到直线的距离.
【详解】由题可知是抛物线的准线，交点，
由抛物线的性质可知,
，
如图，当在一条直线上时，取得最小值为，
利用点到直线距离公式可以求出，
所以的最小值为.
故选：B.
【点睛】本题考查求抛物线上的点到两直线的距离之和最小问题，利用抛物线的性质是关键，属于基础题.
24．C
【分析】利用抛物线的定义，结合图象，求的最小值.
【详解】如图，根据抛物线的定义可知，，那么，
，，.
故选：C
25．B
【解析】设抛物线焦点为，由题意利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案.
【详解】解：抛物线焦点，准线，
过作交于点，连接
由抛物线定义，
，
当且仅当三点共线时，取“＝”号，
∴的最小值为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.
26．B
【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，进而把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，即可求解．
【详解】解：由题意，设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，
当D，P，M三点共线时，|PM|+|PD|取得最小值为．
故选：B．
27．AC
【分析】由抛物线的定义，得，又，，易得是等边三角形，结合图像得到，即可求解；求得的坐标，则判断出A和B选项；对于C选项，设，利用两点间的距离公式得到，结合二次函数的图象性质，得到的最小值；设交于点，通过抛物线的定义结合三点共线得，，当且仅当、、三点共线时取得最小值，即可判断D选项.
【详解】由抛物线的定义，得，，准线
以为圆心的圆与相切于点，所以，即轴，
又，所以；因为，所以是等边三角形，即；
设点在第一象限，作的中点，连接，
，，则，即，
解得：，则抛物线的方程为：，则=3，
对于A选项，有，故A选项正确；
对于B选项，，所以，易得圆与直线不相切，故B选项错误；
对于C选项，设抛物线上的点，则
化简，得，当且仅当时等号成立，故C选项正确；
对于D选项，设过点作准线的垂线交于点，
由抛物线的定义，知，则，当且仅当、、三点共线时取得最小值，所以，故D选项错误；
故选：AC.
28．ABD
【分析】联立抛物线与直线求其交点判断A，联立直线的方程与抛物线的方程，结合设而不求法判断B，结合抛物线定义判断C，利用设而不求法判断D.
【详解】直线l垂直于x轴时，其方程为，联立可得或，
所以，，所以，A对，
由已知可得直线l的斜率不为0，故可设其方程为，
联立化简可得，
，设，
则，，B对，
点N在以AB为直径的圆上，则，又
所以，又，
所以，
所以，
所以，故，此时直线l的斜率为2，D对，
过点作垂直与准线，垂足为，
过点作垂直与准线，垂足为，
则，
所以，
当且仅当点的坐标为时等号成立，
所以的最小值为4，C错，
故选：ABD.
29．AD
【分析】根据抛物线的定义与性质可以判断A、B、C的正误；结合图像当M，P，F三点共线时，取得最小值，计算判断．
【详解】由抛物线的解析式知，所以抛物线的焦点，准线方程为，所以焦点F到抛物线准线的距离为2，故选项A正确；
设抛物线上点，则，解得，故，则点P的坐标有两个，故选项B错误；
过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦为通径，长为，故选项C错误；
由抛物线的图像及点M的位置可知，当M，P，F三点共线时，取得最小值，即，故选项D正确，
故选；AD．
30．BCD
【分析】由于抛物线的焦点，对于A，假设存在直线，使得，两点关于直线对称，设直线的方程为，联立抛物线的方程，由△得，
设，，，，求出线段的中点为坐标，再代入直线上，解得，即可判断A是否正确；
对于B：设为抛物线的准线，则准线的方程为，过点作于点，，当且仅当，， 三点共线时等号成立，即可判断B是否正确；
对于C：当直线过焦点时，设，，由抛物线的定义可得为点到准线的距离，即，求出以为直径的圆心为的中点坐标，进而可得圆心到轴的距离，即可判断C是否正确；
对于D：设，，，，求导得，写出切线的方程，的方程，联立解得交点的坐标，又点在准线上，得，再计算，即可判断D是否正确．
【详解】解：由于抛物线的焦点，
对于A，假设存在直线，使得，两点关于直线对称，
则设直线的方程为，联立，所以，
所以△，即，
设，，，，线段的中点为，所以，
所以，，因为点在直线上，
所以，解得，与矛盾，故A不正确；
对于B：设为抛物线的准线，则准线的方程为，过点作于点，
则，当且仅当，， 三点共线时等号成立，
所以的最小值为6，故B正确；
对于C：当直线过焦点时，设，，
则以为直径的圆心为的中点，，，
所以圆心到轴的距离为，
由抛物线的定义可得为点到准线的距离，即，所以，
所以当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于D：设，，，，由，即，所以，
则切线的方程为，即，
同理切线的方程为，
联立，解得，，
由题意，点在准线上，则，所以，
所以，
所以当时，取得最小值4，故D正确；
故选：BCD．
31．##
【分析】根据题意可得抛物线的焦点坐标、准线方程及圆的圆心坐标、半径，利用抛物线的定义可得点到抛物线准线的距离即为点到焦点的距离，进而得到动点位于线段上时距离最小，计算即可求解.
【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
圆的圆心坐标为，半径为，
设点到抛物线准线的距离为，则，故，
所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，
此时.
故答案为：.
32．
【分析】分析可知，利用抛物线的定义结合三点共线可求得的最小值.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
33．##
【分析】由抛物线的定义将P点到B点（B点即为抛物线的焦点）的距离转化为到抛物线的准线的距离即可求解.
【详解】解：易知是抛物线的焦点，，周长为，
结合抛物线定义可知的最小值为点到抛物线的准线的距离，即，
所以周长的最小值为．
故答案为：.
34．6
【分析】利用抛物线的定义，结合三点共线时两点之间距离最短可求解.
【详解】抛物线的焦点，准线方程，
如图所示，利用抛物线定义知，
当三点共线时，的值最小，即轴
此时
故答案为：6
35．2
【分析】由抛物线得焦点，准线为，，转化为求取得最小值，过点M作准线的垂线与抛物线相交，当点A为此交点时，取得最小值，由此可求得答案.
【详解】解：由抛物线得焦点，准线为，
由圆，得，所以圆是以为圆心，以为半径的圆，
所以，所以当取得最小值时，取得最小值，
又根据抛物线的定义得等于点A到准线的距离，
所以过点M作准线的垂线，垂足为N，且与抛物线相交，当点A为此交点时，取得最小值，最小值为，所以此时，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
36．①③④
【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于④，先设动点的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可.
【详解】解：选项①，对于曲线，，当时，，，
故直线与曲线相切与点；
联立，可得，故此时直线与切于点，
故直线l：是曲线和的公切线，故①正确；
对于②，设公切线分别与切于点，
则曲线的切线为：，曲线的切线为，
根据与表示同一条直线，则有，
解得，令，则有，
可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，
则有，
根据零点存在性定理可知，在区间上存在一个零点，即存在一条公切线
故曲线和的公切线有且仅有2条，故②错误；
对于③，如图所示，可得，根据抛物线的焦半径公式可得，
故有：，
设点的坐标为：，则有：，
令，可得，
再次求导可得：，故在上单调递增，
又，可得：当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
故，则，故，故③正确；
对于④，当轴时，设，则，则有：，
记，则有，令，解得：，
故当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故有，故，故选项④正确.
故答案为：①③④.
37．2
【解析】利用抛物线的定义转化，再利用圆外的点和圆上的点连线的最小值，数形结合求最小值.
【详解】设抛物线的准线，于点，则，
圆外的点和圆上的点的连线的最小值是，
所以
由图可知，的最小值是点到准线的距离，
所以最小值是.
故答案为：2
【点睛】结论点睛：本题考查抛物线与圆的几何性质有关的最值，涉及与圆有关的最值具体结论如下：
（1）设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为；
（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；
（3）记圆的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为，最小值为；
38．
【分析】过点作抛物线的准线的垂线，垂足点为，结合图形可知，当与直线垂直，且点为线段与抛物线的交点时，取得最小值，即可得解.
【详解】将代入抛物线方程，可得，，在抛物线的内部，
过点作抛物线的准线的垂线，垂足点为，
由抛物线的定义可知，所以，，
当与直线垂直，且点为线段与抛物线的交点时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：.
39．
【分析】利用已知条件求出p，设出P的坐标，然后求解的表达式，利用基本不等式即可得出结论．
【详解】解：由题意可知：，设点，P到直线的距离为d，则，
所以，
当且仅当x时，的最小值为，此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．
40．
【分析】根据定义将转化为点P到点Q和准线的距离之和，由最小值为3可得p，然后可得抛物线标准方程.
【详解】过点P、Q分别作准线的垂线，垂直分别为M、N，
由抛物线定义可知，当P，M，Q三点共线时等号成立
所以，解得
所以抛物线C的标准方程为.
故答案为：
41．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合抛物线定义，可求得，即得抛物线方程；
（2）由题意推出四边形AOBC是菱形.，设，根据抛物线的对称性，可表示出B,C的坐标，从而利用向量的坐标运算，求得所设参数值，进而求得答案.
(1)
的准线为：，作于R，
根据抛物线的定义有，所以，
因为在的内侧，所以当P，Q，R三点共线时，取得最小值，
此时，解得，
所以的方程为.
(2)
因为AB，OC互相垂直平分，所以四边形AOBC是菱形.
由，得轴，设点，则，
由抛物线的对称性知，，，.
由，得，解得,
所以在菱形中，，边上的高，
所以菱形的面积.
42．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先判断出当点M，N，F，E四点共线且点M，N在E，F中间时取得最小值，再解方程求出，即可求解；
（2）设出直线方程，联立抛物线求出，由解出，再由即可证明.
(1)
由题得，当点M，N，F，E四点共线且点M，N在E，F中间时，取得最小值，
最小值为，又，解得，所以T的方程为.
(2)
当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，联立得，
则，所以，又，
所以，所以，解得或（舍去），即，所以，
所以，又
，所以.
43．（1）；（2）.
【解析】（1）由抛物线定义有，结合已知条件即可求；
（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公式即可求的最大值.
【详解】（1）由题意知：，抛物线对称轴方程.
设，，，则；
（2）点和在抛物线上，有，，
两式相减得：，令，
∴，即，
∴设直线的方程为，即，代入抛物线方程得，
∴，得，，
∴
∴当时，，
【点睛】思路点睛：求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物线上点的距离等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程应用根与系数关系以及弦长公式.
44．(1)选①：4；选②：
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）数形结合，利用抛物线定义对所求距离之和进行转化为两点之间的距离，或点到直线的距离可得.
(1)
过点B、P分别作准线的垂线，垂足为E、D.
选①：如图1
由抛物线定义可得，
所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为4.
选②：由图2可知，
所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为
(2)
如图2
由抛物线定义可得，
点P到点与它到准线l的距离之和的最小值为.
(3)
记P到直线的距离为d，F到直线的距离为m.
由图2结合抛物线定义可知，则.
所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值为
45．（1）；（2）4.
【分析】（1）利用抛物线的定义可知，将问题问题转化为求的最小值，即求.
（2）判断点B在抛物线的内部，过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点，利用抛物线的定义求解即可.
【详解】解析（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.
由已知及抛物线的定义，可知，
于是问题转化为求的最小值.
由平面几何知识知，
当F，P，A三点共线时，取得最小值，
最小值为，即的最小值为.
（2）把点B的横坐标代入中，得，
因为，所以点B在抛物线的内部.
过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.
由抛物线的定义，可知，
则，
所以的最小值为4.
【点睛】本题考查了抛物线的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题.
1、抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
2、求解直线和抛物线相交所得交点有关的问题，关键是联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，结合根与系数关系，设而不求来对问题进行求解.
【典例剖析】
典例1．已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，点，则的最小值为 （ ）
A．B．2C．D．3
典例2．已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
典例3．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
典例4．过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
典例5．已知A（2，1），抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
6．已知抛物线的焦点为，、是抛物线上两动点，是平面内一定点，下列说法正确的序号为（ ）
①抛物线准线方程为；
②若，则线段中点到轴距离为；
③以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切；
④的周长的最小值为.
A．①②④B．②③C．③④D．②③④
7．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
8．点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是（ ）
A．4B．6C．D．
9．已知抛物线）的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q.则下列四个命题中正确的个数是（ ）个.
①；
②若M（1，1），P是抛物线上一动点，则的最小值为；
③（O为坐标原点）的面积为.；
④，则.
A．1B．2C．3D．4
10．已知抛物线E：，圆F：，直线l：（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
13．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点，M为抛物线上一点，则|MA|+|MF|的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
14．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，从点发出一条平行于x轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点，则光线从A出发到达B所走过的路程为（ ）
A．8B．10C．12D．14
15．已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
16．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上运动，点坐标为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
18．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
19．已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法正确的是( )
A．
B．(O为坐标原点)的面积为
C．
D．若，P是抛物线上一动点，则的最小值为
20．若抛物线的准线为，是抛物线上任意一点，则到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【高分突破】
单选题
21．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么过点P作的垂线，垂足为M，与距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
22．已知点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为N，动点M满足最小值为3，则点M的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
23．点P在曲线上，过P分别作直线及的垂线，垂足分别为G，H，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
24．已知抛物线上一点P到的距离为，到准线的距离为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
25．已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（ ）
A．B．4C．2D．
26．设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点坐标为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
27．已知抛物线的准线为，点在抛物线上，以为圆心的圆与相切于点，点与抛物线的焦点不重合，且，，则（ ）
A．圆的半径是4
B．圆与直线相切
C．抛物线上的点到点的距离的最小值为4
D．抛物线上的点到点，的距离之和的最小值为4
28．过抛物线的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设、，已知，，则（ ）
A．若直线l垂直于x轴，则B．
C．若P为C上的动点，则的最小值为5D．若点N在以AB为直径的圆上，则直线l的斜率为2
29．已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（ ）
A．焦点F到抛物线准线的距离为2
B．若，则点P的坐标为
C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2
D．若点M的坐标为，则的最小值为4
30．已知抛物线的焦点为为抛物线上一动点，直线交抛物线于两点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在直线，使得两点关于对称
B．的最小值为6
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．若分别以为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则两点的纵坐标之和的最小值为4
三、填空题
31．已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
32．已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
33．已知是抛物线上一点，点，，则周长的最小值为______．
34．已知是抛物线上一点，为其焦点，点，则的最小值是______.
35．已知抛物线，圆，点，若A，B分别是，上的动点，则的最小值为______．
36．已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________
①直线l：是曲线和的公切线：
②曲线和的公切线有且仅有一条；
③最小值为；
④当轴时，最小值为.
37．F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，Q是圆上的点，则最小值是__________．
38．已知为抛物线的焦点，是上的动点，点，则的最小值为 _______.
39．已知点是抛物线的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则最小值为_____．
40．如图所示，已知P为抛物线上的一个动点，点，F为抛物线C的焦点，若的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.
四、解答题
41．已知抛物线：的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B，C为E上两个不同的点，其中B点在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四边形AOBC的面积.
42．已知抛物线的焦点为F，M为T上一动点，N为圆上一动点，的最小值为.
(1)求T的方程；
(2)直线l交T于A，B两点，交x轴的正半轴于点C，点D与C关于原点O对称，且，证明：.
43．如图所示，，是焦点为的抛物线上的两动点，线段的中点在定直线上.
（1）求的值；
（2）求的最大值.
44．在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．
已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值；
(2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值．
45．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
参考答案
1．D
【分析】求出抛物线C的准线l的方程，过A作l的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.
【详解】抛物线的准线l：，显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图，
在抛物线C上任取不同于点P的点，过作于点N，连PF，AN，，
由抛物线定义知，，
于是得，即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时，取最小值，
所以的最小值为3.
故选：D
2．B
【分析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.
【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.
，则．
故选：B．
【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
3．A
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为，
∴点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即，
∴点P到直线和直线的距离之和，
∴当B，P，F三点共线时，最小，
∵，∴，
∴点P到直线和直线的距离之和的最小值为．
故选：A．
4．B
【分析】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，因为，所以直线的斜率为：，所以，由，解得，设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，而当垂直于轴时，的值最小，最小值为．
【详解】解：显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立方程，消去得：，
设，，，，
，
，
由抛物线的性质可知：，
，直线的斜率为：，
，
，
，
，
抛物线方程为：，准线方程为：，
设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，
而当垂直于轴时，的值最小，最小值为，如图所示：
的最小值为3，
故选：B．
5．C
【分析】借助抛物线的定义，将转化成，三点共线时，周长最小.
【详解】
抛物线的准线，过点P作垂直于准线，由题可知，△PAF的周长为,
，易知当三点共线时，△PAF的周长最小，且最小值为.
故选：C.
6．D
【分析】根据抛物线的方程直接写出抛物线的准线方程，可判断①的正误；设点、，利用抛物线的定义可判断②的正误；利用抛物线的定义可判断③的正误；过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，利用抛物线的定义以及、、三点共线时，求出的周长的最小值，可判断④的正误.
【详解】对于①，易知点，抛物线的准线方程为，①错；
对于②，设点、，则，所以，，
所以，线段中点到轴距离为，②对；
对于③，由抛物线的定义可得，所以，线段的长为半径的圆与准线相切，③对；
对于④，过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，所以，，
当且仅当、、三点共线时，即当时，取得最小值，
又因为，所以，的周长的最小值为，④对.
故选：D.
7．B
【解析】利用抛物线的定义，把到轴的距离转化为,利用几何法求最值
【详解】
抛物线的焦点,准线，如图示：过P作PP1⊥y轴于P1,作PP2⊥l于P2,则
所以点到点的距离与点到轴的距离之和为
由图示，易知，当P落在Q时，DPF三点共线，,
其他位置，都有
所以点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为：
当D、P、F三点共线时取最小值.
故选：B
【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
8．C
【分析】由抛物线的定义转化后求距离最值
【详解】抛物线的焦点，准线为
过点作准线于点，故△PAF的周长为，
，可知当三点共线时周长最小，为
故选：C
9．C
【分析】利用求得，然后结合导数、抛物线的定义、三角形的面积、两角差的正切公式对命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，
直线的方程为，设，
由消去并化简得，.
，
由得，
所以抛物线方程，，
不妨设在第一象限，在第二象限，则，
，设，
，设，
所以，所以，①正确.
到抛物线准线的距离为，结合抛物线的定义可知，的最小值是，②正确.
到直线的距离为，所以，③错误.
，
，④正确.
所以正确的有个.
故选：C
【点睛】求解直线和抛物线相交所得交点有关的问题，关键是联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，结合根与系数关系，设而不求来对问题进行求解.
10．B
【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得，又，可得△FAB的周长为，又知，即可求解.
【详解】
由题意知：抛物线焦点恰为圆心，抛物线准线，圆半径为2，可得圆与相切，设直线l：与准线交于，
由抛物线定义知：，又，故△FAB的周长为，
由图知，故，结合选项知：△FAB的周长可能为5.
故选：B.
11．A
【分析】由题意将问题转化为函数和图象两点的距离问题，结合图象即可得出结果.
【详解】记，易知所求根式部分为函数和
图象两点的距离问题，
设，
则，
所以，
又单调递增，所以是唯一零点，
令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
得，即，所以，
，
当且仅当时等号成立.
故选：A
12．C
【分析】根据抛物线定义将线段进行转化，数形结合进行求解.
【详解】连接PF，根据抛物线定义可知：点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点的距离，连接圆心与焦点，交圆于点，交抛物线于点，如图所示，此时点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小即为的长度，其中，故，
故选：C
13．B
【分析】作出图象，过点M作准线的垂线，垂足为H，结合图形可得当且仅当三点M，A，H共线时|MA|+|MH|最小，求解即可．
【详解】过点M作准线的垂线，垂足为H，
由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|，
则问题转化为|MA|+|MH|的最小值，
结合图形可得当且仅当三点M，A，H共线时|MA|+|MH|最小，
其最小值为.
故选：B．
14．C
【分析】利用抛物线的定义求解.
【详解】如图所示：
焦点为，设光线第一次交抛物线于点，第二次交抛物线于点，
过焦点F，准线方程为：，
作垂直于准线于点，作垂直于准线于点，
则，
，
，
，
故选：C
15．C
【分析】作出图形，过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可知当、、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，即可得解.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，如下图所示：
过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得，
所以，，
由图可知，当点、、三点共线时，即当与直线垂直时，
取得最小值，且最小值为.
故选：C.
16．D
【解析】利用抛物线的定义和数形结合分析，求得的最小值.
【详解】由图可知，是点到准线的距离，是点到准线的距离，由抛物线的定义可知，即，所以的最小值是求点到准线的距离，抛物线方程，准线方程，.
故选：D
17．A
【分析】先根据焦点坐标求出，结合抛物线的定义可求答案.
【详解】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．
记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．
故选：A.
18．A
【分析】利用抛物线的定义进行转化，结合图像可知当三点共线时即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
设此抛物线的焦点为，准线．
过点作，垂足为．
则，到轴的距离，
则点到点的距离与到轴的距离之和为
设，因此当、、三点共线时，取得最小值．
．
即的最小值为，
所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.
故选：A.
19．A
【分析】设l的方程，和抛物线方程联立，得到根与系数关系，求出，根据求出p的值.
A：用导数求出切线斜率，验证两斜率之积是否为－1；
B：利用三角形面积公式即可求解；
C：根据抛物线焦点弦的几何性质可判断；
D：数形结合，利用抛物线的定义转化为P到准线的距离即可求出最值.
【详解】∵l过点F且倾斜角为，
∴直线l的方为，与抛物线方程联立，得，
设，则，，
∴，，
又，∴，∴；
不妨设，当时，，
∴过A的切线斜率为，
同理可得过B的切线斜率为，
∴，∴，故A正确；
，故B错误；，故C错误；
设点M到准线的距离为d，若，则，则D错误．
故选：A．
20．A
【分析】过点作，垂足为点，过点作直线的垂线段，垂足为点，计算出点到直线的距离，由抛物线的定义可得，利用当、、三点共线可求得的最小值.
【详解】如下图所示，过点作，垂足为点，过点作直线的垂线段，垂足为点，
抛物线的准线为，焦点为，
点到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是.
故选：A.
21．D
【分析】根据点P到距离等于到准线的距离加1，结合抛物线的定义以及图象，得出与距离之和的最小值.
【详解】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径，如图所示，根据点P到距离等于到准线的距离加1，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离等于到焦点的距离，进而推断当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为，故与距离的最小值为.
故选：D．
22．C
【分析】分点M在抛物线外部，点M在抛物线上或内部两种情况讨论得解.
【详解】当点M在抛物线外部时，，，
点M的轨迹方程为（在抛物线外部的部分），
与联立解得，
∴ 轨迹与抛物线的两个交点为，，则，圆在抛物线外部的弧长为；
当点M在抛物线上或内部时，三点共线时，最小，此时点M的轨迹方程为，其长度为.
所以点M的轨迹长度为.
故选：C.
23．B
【解析】根据抛物线的性质，的最小值等价于的最小值，即焦点到直线的距离.
【详解】由题可知是抛物线的准线，交点，
由抛物线的性质可知,
，
如图，当在一条直线上时，取得最小值为，
利用点到直线距离公式可以求出，
所以的最小值为.
故选：B.
【点睛】本题考查求抛物线上的点到两直线的距离之和最小问题，利用抛物线的性质是关键，属于基础题.
24．C
【分析】利用抛物线的定义，结合图象，求的最小值.
【详解】如图，根据抛物线的定义可知，，那么，
，，.
故选：C
25．B
【解析】设抛物线焦点为，由题意利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案.
【详解】解：抛物线焦点，准线，
过作交于点，连接
由抛物线定义，
，
当且仅当三点共线时，取“＝”号，
∴的最小值为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.
26．B
【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，进而把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，即可求解．
【详解】解：由题意，设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，
当D，P，M三点共线时，|PM|+|PD|取得最小值为．
故选：B．
27．AC
【分析】由抛物线的定义，得，又，，易得是等边三角形，结合图像得到，即可求解；求得的坐标，则判断出A和B选项；对于C选项，设，利用两点间的距离公式得到，结合二次函数的图象性质，得到的最小值；设交于点，通过抛物线的定义结合三点共线得，，当且仅当、、三点共线时取得最小值，即可判断D选项.
【详解】由抛物线的定义，得，，准线
以为圆心的圆与相切于点，所以，即轴，
又，所以；因为，所以是等边三角形，即；
设点在第一象限，作的中点，连接，
，，则，即，
解得：，则抛物线的方程为：，则=3，
对于A选项，有，故A选项正确；
对于B选项，，所以，易得圆与直线不相切，故B选项错误；
对于C选项，设抛物线上的点，则
化简，得，当且仅当时等号成立，故C选项正确；
对于D选项，设过点作准线的垂线交于点，
由抛物线的定义，知，则，当且仅当、、三点共线时取得最小值，所以，故D选项错误；
故选：AC.
28．ABD
【分析】联立抛物线与直线求其交点判断A，联立直线的方程与抛物线的方程，结合设而不求法判断B，结合抛物线定义判断C，利用设而不求法判断D.
【详解】直线l垂直于x轴时，其方程为，联立可得或，
所以，，所以，A对，
由已知可得直线l的斜率不为0，故可设其方程为，
联立化简可得，
，设，
则，，B对，
点N在以AB为直径的圆上，则，又
所以，又，
所以，
所以，
所以，故，此时直线l的斜率为2，D对，
过点作垂直与准线，垂足为，
过点作垂直与准线，垂足为，
则，
所以，
当且仅当点的坐标为时等号成立，
所以的最小值为4，C错，
故选：ABD.
29．AD
【分析】根据抛物线的定义与性质可以判断A、B、C的正误；结合图像当M，P，F三点共线时，取得最小值，计算判断．
【详解】由抛物线的解析式知，所以抛物线的焦点，准线方程为，所以焦点F到抛物线准线的距离为2，故选项A正确；
设抛物线上点，则，解得，故，则点P的坐标有两个，故选项B错误；
过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦为通径，长为，故选项C错误；
由抛物线的图像及点M的位置可知，当M，P，F三点共线时，取得最小值，即，故选项D正确，
故选；AD．
30．BCD
【分析】由于抛物线的焦点，对于A，假设存在直线，使得，两点关于直线对称，设直线的方程为，联立抛物线的方程，由△得，
设，，，，求出线段的中点为坐标，再代入直线上，解得，即可判断A是否正确；
对于B：设为抛物线的准线，则准线的方程为，过点作于点，，当且仅当，， 三点共线时等号成立，即可判断B是否正确；
对于C：当直线过焦点时，设，，由抛物线的定义可得为点到准线的距离，即，求出以为直径的圆心为的中点坐标，进而可得圆心到轴的距离，即可判断C是否正确；
对于D：设，，，，求导得，写出切线的方程，的方程，联立解得交点的坐标，又点在准线上，得，再计算，即可判断D是否正确．
【详解】解：由于抛物线的焦点，
对于A，假设存在直线，使得，两点关于直线对称，
则设直线的方程为，联立，所以，
所以△，即，
设，，，，线段的中点为，所以，
所以，，因为点在直线上，
所以，解得，与矛盾，故A不正确；
对于B：设为抛物线的准线，则准线的方程为，过点作于点，
则，当且仅当，， 三点共线时等号成立，
所以的最小值为6，故B正确；
对于C：当直线过焦点时，设，，
则以为直径的圆心为的中点，，，
所以圆心到轴的距离为，
由抛物线的定义可得为点到准线的距离，即，所以，
所以当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于D：设，，，，由，即，所以，
则切线的方程为，即，
同理切线的方程为，
联立，解得，，
由题意，点在准线上，则，所以，
所以，
所以当时，取得最小值4，故D正确；
故选：BCD．
31．##
【分析】根据题意可得抛物线的焦点坐标、准线方程及圆的圆心坐标、半径，利用抛物线的定义可得点到抛物线准线的距离即为点到焦点的距离，进而得到动点位于线段上时距离最小，计算即可求解.
【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
圆的圆心坐标为，半径为，
设点到抛物线准线的距离为，则，故，
所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，
此时.
故答案为：.
32．
【分析】分析可知，利用抛物线的定义结合三点共线可求得的最小值.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
33．##
【分析】由抛物线的定义将P点到B点（B点即为抛物线的焦点）的距离转化为到抛物线的准线的距离即可求解.
【详解】解：易知是抛物线的焦点，，周长为，
结合抛物线定义可知的最小值为点到抛物线的准线的距离，即，
所以周长的最小值为．
故答案为：.
34．6
【分析】利用抛物线的定义，结合三点共线时两点之间距离最短可求解.
【详解】抛物线的焦点，准线方程，
如图所示，利用抛物线定义知，
当三点共线时，的值最小，即轴
此时
故答案为：6
35．2
【分析】由抛物线得焦点，准线为，，转化为求取得最小值，过点M作准线的垂线与抛物线相交，当点A为此交点时，取得最小值，由此可求得答案.
【详解】解：由抛物线得焦点，准线为，
由圆，得，所以圆是以为圆心，以为半径的圆，
所以，所以当取得最小值时，取得最小值，
又根据抛物线的定义得等于点A到准线的距离，
所以过点M作准线的垂线，垂足为N，且与抛物线相交，当点A为此交点时，取得最小值，最小值为，所以此时，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
36．①③④
【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于④，先设动点的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可.
【详解】解：选项①，对于曲线，，当时，，，
故直线与曲线相切与点；
联立，可得，故此时直线与切于点，
故直线l：是曲线和的公切线，故①正确；
对于②，设公切线分别与切于点，
则曲线的切线为：，曲线的切线为，
根据与表示同一条直线，则有，
解得，令，则有，
可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，
则有，
根据零点存在性定理可知，在区间上存在一个零点，即存在一条公切线
故曲线和的公切线有且仅有2条，故②错误；
对于③，如图所示，可得，根据抛物线的焦半径公式可得，
故有：，
设点的坐标为：，则有：，
令，可得，
再次求导可得：，故在上单调递增，
又，可得：当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
故，则，故，故③正确；
对于④，当轴时，设，则，则有：，
记，则有，令，解得：，
故当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故有，故，故选项④正确.
故答案为：①③④.
37．2
【解析】利用抛物线的定义转化，再利用圆外的点和圆上的点连线的最小值，数形结合求最小值.
【详解】设抛物线的准线，于点，则，
圆外的点和圆上的点的连线的最小值是，
所以
由图可知，的最小值是点到准线的距离，
所以最小值是.
故答案为：2
【点睛】结论点睛：本题考查抛物线与圆的几何性质有关的最值，涉及与圆有关的最值具体结论如下：
（1）设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为；
（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；
（3）记圆的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为，最小值为；
38．
【分析】过点作抛物线的准线的垂线，垂足点为，结合图形可知，当与直线垂直，且点为线段与抛物线的交点时，取得最小值，即可得解.
【详解】将代入抛物线方程，可得，，在抛物线的内部，
过点作抛物线的准线的垂线，垂足点为，
由抛物线的定义可知，所以，，
当与直线垂直，且点为线段与抛物线的交点时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：.
39．
【分析】利用已知条件求出p，设出P的坐标，然后求解的表达式，利用基本不等式即可得出结论．
【详解】解：由题意可知：，设点，P到直线的距离为d，则，
所以，
当且仅当x时，的最小值为，此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．
40．
【分析】根据定义将转化为点P到点Q和准线的距离之和，由最小值为3可得p，然后可得抛物线标准方程.
【详解】过点P、Q分别作准线的垂线，垂直分别为M、N，
由抛物线定义可知，当P，M，Q三点共线时等号成立
所以，解得
所以抛物线C的标准方程为.
故答案为：
41．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合抛物线定义，可求得，即得抛物线方程；
（2）由题意推出四边形AOBC是菱形.，设，根据抛物线的对称性，可表示出B,C的坐标，从而利用向量的坐标运算，求得所设参数值，进而求得答案.
(1)
的准线为：，作于R，
根据抛物线的定义有，所以，
因为在的内侧，所以当P，Q，R三点共线时，取得最小值，
此时，解得，
所以的方程为.
(2)
因为AB，OC互相垂直平分，所以四边形AOBC是菱形.
由，得轴，设点，则，
由抛物线的对称性知，，，.
由，得，解得,
所以在菱形中，，边上的高，
所以菱形的面积.
42．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先判断出当点M，N，F，E四点共线且点M，N在E，F中间时取得最小值，再解方程求出，即可求解；
（2）设出直线方程，联立抛物线求出，由解出，再由即可证明.
(1)
由题得，当点M，N，F，E四点共线且点M，N在E，F中间时，取得最小值，
最小值为，又，解得，所以T的方程为.
(2)
当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，联立得，
则，所以，又，
所以，所以，解得或（舍去），即，所以，
所以，又
，所以.
43．（1）；（2）.
【解析】（1）由抛物线定义有，结合已知条件即可求；
（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公式即可求的最大值.
【详解】（1）由题意知：，抛物线对称轴方程.
设，，，则；
（2）点和在抛物线上，有，，
两式相减得：，令，
∴，即，
∴设直线的方程为，即，代入抛物线方程得，
∴，得，，
∴
∴当时，，
【点睛】思路点睛：求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物线上点的距离等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程应用根与系数关系以及弦长公式.
44．(1)选①：4；选②：
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）数形结合，利用抛物线定义对所求距离之和进行转化为两点之间的距离，或点到直线的距离可得.
(1)
过点B、P分别作准线的垂线，垂足为E、D.
选①：如图1
由抛物线定义可得，
所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为4.
选②：由图2可知，
所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为
(2)
如图2
由抛物线定义可得，
点P到点与它到准线l的距离之和的最小值为.
(3)
记P到直线的距离为d，F到直线的距离为m.
由图2结合抛物线定义可知，则.
所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值为
45．（1）；（2）4.
【分析】（1）利用抛物线的定义可知，将问题问题转化为求的最小值，即求.
（2）判断点B在抛物线的内部，过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点，利用抛物线的定义求解即可.
【详解】解析（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.
由已知及抛物线的定义，可知，
于是问题转化为求的最小值.
由平面几何知识知，
当F，P，A三点共线时，取得最小值，
最小值为，即的最小值为.
（2）把点B的横坐标代入中，得，
因为，所以点B在抛物线的内部.
过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.
由抛物线的定义，可知，
则，
所以的最小值为4.
【点睛】本题考查了抛物线的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题.
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