新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 幂函数的定义（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 幂函数的定义（含解析），共28页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

1. 幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
2. 幂函数相关常用结论
(1)一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0).
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，最多只能同时出现在两个象限内.
(3)形如y＝xeq \s\up6(\f(m,n))或y＝x－eq \s\up6(\f(m,n))(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.
【题型归纳】
题型一：求幂函数的值
1．幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．27B．C．D．
2．已知幂函数的图像过点，则（ ）
A．B．C．D．4
3．函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
题型二：求幂函数的解析式
4．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
5．幂函数的图象经过函数 且所过的定点，则的值等于（ ）
A．8B．4C．2D．1
6．已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
题型三：根据函数是幂函数求参数值
7．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．C．D．
8．幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A．B．3C．或3D．
9．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ）
A．－1B．－1或3C．3D．2
题型四：幂函数的定义域
10．下列函数定义域为的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．在单调递减D．定义域为
12．幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ）
A．B．C．D．
题型五：幂函数的值域
13．已知p：，q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．下列函数值域为的是（ ）
A．B．C．D．
15．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
16．已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．若幂函数的图像经过点，则该函数的图像（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线对称
18．已知幂函数的图象经过点，则等于（ ）
A．B．C．2D．3
19．幂函数在上单调递增，则过定点（ ）
A．B．C．D．
20．幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（ ）
A．[-1，+∞)B．[0，+∞)
C．(-∞，+∞)D．(-∞，0)
21．幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A．B．0或2C．0D．2
22．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．或1
23．已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
24．已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A．6B．8C．9D．12
25．已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范国为（ ）
A．B．C．D．
26．幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6B．1C．6D．1或﹣6
27．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．C．D．
28．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
29．若函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．1B．C．0D．2
30．有四个幂函数：①；②；③；④，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）为偶函数；（2）的值域为；（3）在上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【高分突破】
单选题
31．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
32．下面是有关幂函数的四种说法，其中错误的叙述是
A．的定义域和值域相等B．的图象关于原点中心对称
C．在定义域上是减函数D．是奇函数
33．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
34．下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A．B．C．D．
35．已知幂函数的图象经过点与点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
36．若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．B．C．D．
37．若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3B．3C．D．0
38．若幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
39．点在幂函数的图象上，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
40．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．3B．9C．27D．
二、多选题
41．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则
42．已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．是增函数
C．是偶函数D．的定义域为
43．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
44．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
E．m，n是奇数时，幂函数的定义域为
三、填空题
45．已知幂函数的图象过点，则___________.
46．函数，其中，则其值域为___________.
47．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中定义域与值域相等的有_________个.
48．已知点在幂函数的图象上，若，则实数的取值范围为_________．
49．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
50．已知幂函数在为增函数，则实数的值为___________.
四、解答题
51．设为实数，，已知幂函数在区间上是严格增函数，试求满足的的取值范围．
52．已知函数是幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
53．已知函数是图象经过点的幂函数，函数是定义域为的奇函数，且当时，.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求当时函数的解析式，并在给定的坐标系中画出（）的图象
（Ⅲ）写出函数（）的单调区间.
54．已知幂函数的图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明函数在区间上单调递增
55．已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
y＝x
R
R
奇
在R上单调递增
(1，1)
y＝x2
R
{y|y≥0}
偶
在(－∞，0]上单调递减；在[0，＋∞)上单调递增
y＝x3
R
R
奇
在R上单调递增
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
{x|x≥0}
{y|y≥0}
非奇
非偶
在[0，＋∞)上单调递增
y＝x－1
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
【详解】
由题意，令，即，解得或，
当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；
当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，
即幂函数，则.
故选：A.
2．B
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出函数解析式，再代入计算可得；
【详解】
解：设，依题意，所以，
所以，所以；
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.
【详解】
当时，，
所以函数的图像恒过定点
记，则有，解得
所以.
故选：A
4．A
【解析】
【分析】
根据幂函数的图象经过点求解.
【详解】
解：因为幂函数的图象经过点，
所以，解得，
所以．
故选：A
5．B
【解析】
【分析】
求出函数 且所过的定点，利用待定系数法求出幂函数的解析式，从而可得出答案.
【详解】
解：设幂函数，
函数 且过定点，
代入幂函数，得，解得，
所以，
所以.
故选：B.
6．C
【解析】
【分析】
设出幂函数的解析式，根据点求得解析式.
【详解】
设，
依题意，
所以.
故选：C
7．A
【解析】
【分析】
根据幂函数的概念求出，再代入点的坐标可求出，即可得解.
【详解】
因为函数为幂函数，所以，则，
又因为的图象经过点，所以，得，
所以.
故选：A
8．A
【解析】
【分析】
依据题意列出关于实数m的方程即可求得实数m的值.
【详解】
因为是幂函数，
故，解得或，
又因为幂函数在上单调递减，所以需要，
则
故选：A
9．C
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.
【详解】
由题意知：，即，解得或，
∴当时，，则在上单调递减，不合题意;
当时，，则在上单调递增，符合题意,
∴,
故选：C
10．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数、对数函数、幂函数、正切函数的定义域逐一判断即可得解.
【详解】
解：对于A，函数的定义域为，
对于B，函数的定义域为，
对于C，函数的定义域为，
对于D，函数的定义域为.
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
设幂函数的解析式，根据图象的点求得解析式，由其定义域可判断D,继而判断A,B,由其单调性判断C.
【详解】
设幂函数，
由题意得： ，
故，定义域为 ，故D错误；
定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；
由于 ，故在在单调递减，C正确，
故选：C
12．C
【解析】
【分析】
分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案.
【详解】
当时，定义域和值域均为，符合题意；
时，定义域为，值域为，故不合题意；
时，定义域为，值域为，符合题意；
时，定义域与值域均为R，符合题意；
时，定义域为R，值域为，不符合题意；
时，定义域与值域均为R，符合题意.
故选：C
13．B
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出函数定义域、值域化简命题p，q，再利用充分条件、必要条件的意义判断作答.
【详解】
依题意，命题p：，命题q：，显然，
所以p是q的必要不充分条件.
故选：B
14．D
【解析】
【分析】
依次判断各个选项中函数的值域即可.
【详解】
对于A，，且，即值域为，A错误；
对于B，，，即值域为，B错误；
对于C，当时，，值域为，C错误；
对于D，，，即值域为，D正确.
故选：D.
15．B
【解析】
【分析】
先求得函数的定义域为，值域为，结合一次函数，指数函数，对数函数和幂函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据指数函数与对数函数的性质，可得函数的定义域为，值域为，
对于A中，函数的定义域为，不符合题意；
对于B中，函数，可得其定义域为，
根据幂函数的性质，可得其值域为，符合题意；
对于C中，函数的定义域为，不符合题意；
对于D中，函数的值域为，不符合题意.
故选：B.
16．D
【解析】
【分析】
由幂函数的性质求参数a、b，根据点在直线上得，有且，进而可求的取值范围.
【详解】
由是幂函数，知：，又在上，
∴，即，则且，
∴.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m、n的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.
17．B
【解析】
【分析】
根据幂函数的图象经过点，可得幂函数的解析式，根据偶函数的定义可得幂函数为偶函数，根据偶函数的对称性可得答案.
【详解】
设，依题意可得，解得，
所以，因为，
所以为偶函数，其图象关于轴对称.
故选：B.
【点睛】
本题考查了求幂函数的解析式，考查了幂函数的奇偶性，属于基础题.
18．A
【解析】
【分析】
由于函数为幂函数，所以，再将点代入解析式中可求出的值，从而可求出
【详解】
解：因为为幂函数，所以，所以，
因为幂函数的图像过点，
所以，解得，
所以，
故选：A
19．D
【解析】
利用已知条件得到求出的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可.
【详解】
由题意得：
或，
又函数在上单调递增，
则，
则，
当时，
，
则过定点.
故选：D.
20．B
【解析】
【分析】
根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.
【详解】
设幂函数为f(x)=xα，
因为幂函数的图象过点(3， )，
所以f(3)=3α==，
解得α=，
所以f(x)=，
所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).
故选：B
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义及单调区间，属于简单题.
21．D
【解析】
【分析】
根据函数为幂函数求出，再验证单调性可得.
【详解】
因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在上为减函数，不符合题意，
当时，在上为增函数，符合题意，
所以.
故选：D.
22．A
【解析】
【分析】
由是幂函数结合函数单调性得出实数m的值．
【详解】
由于为幂函数，所以或；又函数在上单调递减，故当时符合条件，
故选：A
23．C
【解析】
【分析】
由可求得，得出单调递增，根据单调性即可得出大小.
【详解】
由可得，∴，
∴，即.由此可知函数在上单调递增.
而由换底公式可得，，，
∵，∴，于是，
又∵，∴，故，，的大小关系是.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小.
24．C
【解析】
【分析】
设幂函数的解析式为,代入求解解析式,进而求得即可.
【详解】
设幂函数的解析式为,代入有,故.
故.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了幂函数的解析式求解以及函数求值,属于基础题.
25．D
【解析】
【分析】
由幂函数的定义求得的可能取值，再由单调性确定的值，得函数解析式，结合奇偶性求解.
【详解】
由题意，解得或，
又在上单调递增，所以，，
所以，，易知是偶函数，
所以由得，解得或.
故选：D.
26．B
【解析】
【分析】
由题意可得， ，且为偶数，由此求得m的值．
【详解】
∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴，且为偶数
或
当时，满足条件；当时，，舍去
因此：m＝1
故选：B
27．D
【解析】
【分析】
先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求的值
【详解】
解：设，则，得，
所以，
所以，
故选：D
28．C
【解析】
【分析】
设出幂函数的解析式，代入点的坐标求得参数即得函数解析式后可得函数值．
【详解】
设，由题意，，，．
故选：C．
29．B
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义解出函数的解析式，进而求出即可.
【详解】
由题意知，函数图象过点，
所以，即，则，得，
所以，有.
故选：B
30．A
【解析】
【分析】
分析四个幂函数的奇偶性、值域以及在上的单调性，结合题意可得出合适的选项.
【详解】
对于①，函数为偶函数，且，该函数的值域为，
函数在上为减函数，该函数在上为增函数，①满足条件；
对于②，函数为奇函数，且，该函数的值域为，
函数在上为减函数，②不满足条件；
对于③，函数的定义域为，且，该函数为奇函数，
当时，；当时，，则函数的值域为，
函数在上为增函数，该函数在上也为增函数，③不满足条件；
对于④，函数为奇函数，且函数的值域为，该函数在上为增函数，④不满足条件.
故选：A.
31．C
【解析】
先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.
【详解】
解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.
32．C
【解析】
【分析】
根据幂函数的单调性，定义域，值域，对称，奇偶性，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
，函数的定义域和值域均为，A正确；
，，函数为奇函数，故BD正确；
在和是减函数，但在不是减函数，C错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了幂函数的定义域，对称，奇偶性，单调性，意在考查学生对于幂函数性质的综合应用.
33．D
【解析】
【分析】
由于函数为幂函数，所以，求出或，由于幂函数的图像关于原点对称，所以，然后解不等式即可得答案
【详解】
由题意得：，得或
当时，图象关于y轴对称，不成立；
当时，是奇函数，成立；
所以不等式转化为，即，解得.
故选：D
34．C
【解析】
【分析】
利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断.
【详解】
A. 函数的定义域为，值域为R；
B. 函数的定义域为R，值域为；
C. 函数的定义域为R，值域为R；
D. 函数的定义域为，值域为，
故选：C
35．B
【解析】
【分析】
设幂函数，依次将点，点坐标代入，可得，结合指数函数和对数函数性质即可得到答案.
【详解】
设幂函数，因为点在的图象上，
所以，，即，
又点在的图象上，所以，则，
所以，，，
所以，
故选：B
36．D
【解析】
【分析】
根据幂函数的系数等于，以及的指数位置大于即可求解.
【详解】
因为函数是幂函数，
所以，解得或．
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以．
故选：D.
37．B
【解析】
【分析】
由题意可得，从而可求出实数的值
【详解】
解：因为幂函数在上是减函数，
所以，
由，得或，
当时，，所以舍去，
当时，，
所以，
故选：B
38．D
【解析】
先求出幂函数的解析式，从而可求出的值
【详解】
解：设幂函数，
因为幂函数的图象过点，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：D
39．B
【解析】
【分析】
根据点在幂函数的图象上，求出，求出函数的定义域，结合基本不等式即可得出所求.
【详解】
解：因为点在幂函数的图象上，
所以，即，
，所以，
故，，
，
因为，所以，
所以，
所以函数的值域为.
故选：B.
40．C
【解析】
【分析】
求出幂函数的解析式，然后求解函数值．
【详解】
幂函数的图象过点，
可得，解得，
幂函数的解析式为：，
可得（3）．
故选：．
41．ACD
【解析】
【分析】
先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由可判断C，利用展开和0比即可判断D.
【详解】
将点(4,2)代入函数得：，则.
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确.
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.
当时，，即，所以C正确.
当若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的性质，
42．BD
【解析】
【分析】
设幂函数，（为常数），根据幂函数的图象过点，求出的值，从而利用幂函数的性质即可求解.
【详解】
解：设幂函数，（为常数），
因为幂函数的图象过点，
所以，所以，
所以，定义域为，
因为定义域不关于原点中心对称，所以函数不具有奇偶性，
因为，所以在上是增函数，
故选：BD.
43．BC
【解析】
首先根据函数是幂函数，求得的两个值，然后根据题意判断函数在上是增函数，确定的具体值，再结合函数的奇偶性可判断得正确选项.
【详解】
由于函数为幂函数，故，即，解得.当时，，当时，.由于“对任意，且，满足”知，函数在上为增函数，故.
易见，故函数是单调递增的奇函数.
由于，即，得，所以，此时，若当时，，故；当时，，故，故；当时，由知，，故或或，即或或.
综上可知，，且或或.
故选：BC.
【点睛】
本题解题关键是熟知幂函数定义和性质突破参数m，再综合应用奇偶性和单调性的性质确定和的符号情况.
44．ACE
【解析】
将函数还原成根式形式：，分别讨论m，n是奇数偶数的时候辨析函数的奇偶性和单调性.
【详解】
，
当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误
当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；
当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.
故选：ACE.
【点睛】
此题考查幂函数的奇偶性和单调性的辨析，关键在于准确掌握幂函数的指数变化对第一象限的图象的影响，利用m，n是奇数偶数的变化讨论函数的奇偶性.
45．
【解析】
【分析】
由幂函数的解析式的形式可求出和的值，再将点 代入可求的值，即可求解.
【详解】
因为是幂函数，
所以，，又的图象过点，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
46．##
【解析】
【分析】
利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】
设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为.
故答案为：
47．3
【解析】
【分析】
根据幂函数的函数性质，写出各个幂函数的定义域和值域，即可求解.
【详解】
①的定义域为，值域为.
②的定义域为，值域为.
③的定义域为，值域为.
④的定义域为，值域为.
⑤的定义域为，值域为.
⑥的定义域为，值域为.
故定义域与值域相等的有①, ②和⑤
故答案为：3
【点睛】
本题考查幂函数的函数性质，属于基础题.
48．
【解析】
根据幂函数的定义，可求得a值，代入点坐标，可求得b值，根据的奇偶性和单调性，化简整理，即可得答案.
【详解】
因为为幂函数，所以，解得a=2
所以，又在上，代入解得，
所以，为奇函数
因为，所以，
因为在R上为单调增函数，
所以，解得，
故答案为：
49．
【解析】
【分析】
先求，再根据奇函数求
【详解】
，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
50．4
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义和单调性，即可求解.
【详解】
解：为递增的幂函数，所以，即，
解得：，
故答案为：4
51．．
【解析】
根据幂函数的概念及单调性，由题中条件，求出的值，将所求不等式化为，直接解不等式，即可得出结果.
【详解】
因为是幂函数，所以，解得或；
又在区间上是严格增函数，所以，则，所以；
因此不等式可化为，显然；
当时，，，所以恒成立；
当时，可化为，因此，
综上，满足的的取值范围是.
52．（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）根据函数是幂函数，且，求出实数，即可求出函数的解析式；
（2）化简得，求出对称轴，分，，三种情况分别求得函数的最大值，即可求出实数的值.
【详解】
解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，则，故不符题意，
当时，，则，符合题意，
所以；
（2）由（1）得 ，
函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间上递减，
则，解得，符合题意；
当时，函数在区间上递增，
则，解得，符合题意；
当时，，解得，不符题意，
综上所述，存在实数满足题意.
53．（1）；（2）当时，；在上的图象见解析；（3）的单调递增区间为和，递减区间为
【解析】
【分析】
（1）设出幂函数的解析式，把点代入即可求出函数解析式；
（2）利用奇函数的性质可以直接写出当时，的解析式，并画出图像；
（3）利用的图象写出单调区间即可
【详解】
（1）设，
则
（2），
当时
设则，
是上的奇函数
即当时，
图象如下图所示：
（3）由在上的图象可知：
的单调递增区间为和，递减区间为
54．（1），（2）证明见解析
【解析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由（1）可得，然后直接利用单调性的定义证明即可
【详解】
（1）解：设，则，得，
所以，
（2）证明：由（1）可得，
任取，且，则
，
因为，所以，，，
所以，即，
所以 函数在区间上单调递增
55．(1),；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据幂函数的定义及函数奇偶性的定义即可求解；
（2）由（1），得，利用换元法得到，
，再根据二次函数的性质即可求解.
(1)
因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数是奇函数，符合题意，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
综上所述，的值为，函数的解析式为.
(2)
由（1）知，，
所以，
令，则，
，
所以，，
根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增；
所以，
所以函数在的值域为.