初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程教学设计及反思

这是一份初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程教学设计及反思，共57页。教案主要包含了教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论等内容，欢迎下载使用。

第三章 一元一次方程
3.1从算式到方程
3.1.1一元一次方程

1.理解一元一次方程、方程的解等概念.
2.掌握检验某个值是不是方程的解的方法.
3.培养学生寻找相等关系、根据相等关系列出方程的能力.
4.体验用估算方法寻求方程的解的过程，培养学生求实的态度.
【教学重点】
寻找相等关系、列出方程.
【教学难点】
用估算的方法寻求方程的解.

一、情境导入,初步认识
问题1小雨、小思的年龄和是25.小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁，小雨、小思的年龄各是几岁？
如果设小雨的年龄为x岁，你能用不同的方法表示小思的年龄吗？
在学生回答的基础上，教师加以引导：小思的年龄可以用两个不同的式子25-x和2x-8来表示，这说明许多实际问题中的数量关系可以用含字母的式子来表示.
由于这两个不同的式子表示的是同一个量，因此我们又可以写成：25-x=2x-8.这样就得到了一个方程.
问题2教材第78页问题.
你会用算术方法解决这个问题吗？列算式试一试.
如果设A、B两地相距xkm，你能分别列出表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗？
在学生回答的基础上，教师引导：我们可以得到客车和卡车从A地到B地的行驶时间分别为x/70h和x/60h，又因为客车比卡车早1h经过B地，所以x/70比x/60小1.这样我们可以得到1个方程：x/60-x/70=1.
【教学说明】用学生身边的实际问题情境作为引入，能有效地激发学生的参与欲望.用不同的方法表示同一个量，可以自然地列出方程.
二、思考探究，获取新知
1.让学生尝试解答教科书第79页的例1.对于基础比较差的学生，教师可以作如下提示：
(1）选择一个未知数，设为x；
(2）对于这三个问题，分别考虑：
用含x的式子表示正方形的周长；
用含x的式子表示这台计算机的检修时间；
用含x的式子分别表示男生和女生的人数.
(3)找一个问题中的相等关系列出方程.
2.交流：在学生基本完成解答的基础上，请几名学生汇报所列的方程，并解释方程等号左右两边式子的含义.
3.教师在学生回答的基础上作补充讲解，并强调：
（1）方程等号两边表示的是同一个量；
(2)左右两边表示的方法不同.
简单地说：列方程就是用两种不同的方法表示同一个量.以第(2)题为例：方程左边的式子“1700＋150x”表示计算机已使用的时间加上后来可使用的时间，也就是规定的检修时间.右边的“2450”也是规定检修的时间.这样就有“1700+150x=2450”.
4.讨论：
问题1在第(2)题中，你还能用两种不同的方法来表示另一个量，再列出方程吗？
让学生在学习小组内讨论，然后分组汇报交流：
选“已使用的时间”可列方程：2450-150x=1700.
选“还可使用的时间”可列方程：150x=2450-1700.
问题2在第(3)题中，你还能设其他的未知数为x吗？
在学生独立思考、小组讨论的基础上交流：
设这个学校的男生数为x，那么女生数为(x+80)，全校的学生数为(x+x+80).
列方程：x＋80=52%(x+x＋80).
5.概念的建立.
让学生观察上述方程，教师进行归纳.
提示注意：“一元”：一个未知数；“一次”：未知数的指数是1.
6.引导学生归纳：
从上面的分析过程我们可以发现，用方程的方法来解决实际问题，一般要经历哪几个步骤？在学生回答的基础上，教师用方框表示：

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.列出方程后，还必须解这个方程，求出未知数的值.对于简单的方程，我们可以采用估算的方法.
①问题：你认为该怎样进行估算？
可以采用“尝试—发现—归纳”的方法：让学生尝试后发现，要求出答案必须用一些具体的数值代入，看方程是否成立，最后教师进行归纳.
可以像教科书那样用列表的方法进行尝试，也可以像下面的示意图那样按程序进行尝试.

②在此基础上给出概念：能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.求方程的解的过程，叫做解方程.
一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代入方程，看方程左右两边的值是否相等.
试一试教材第80页练习.
三、典例精析，掌握新知
例1根据下列条件，列出关于x的方程：
（1)x与18的和等于54；
（2）27与x的差的一半等于x的4倍.
解：（1）x+18=54；（2）（27-x）=4x.
【教学说明】本例题可以先让学生尝试交流解答，然后教师巡视学生解答情况有针对性地进行评讲.评讲时教师向学生强调：“4x”表示4与x的积，当乘数中有字母时，通常省略乘号“×”，并把数字乘数写在字母乘数的前面.
例2x=3是下列哪个方程的解？（ ）
A.3x-1-9=0
B.x=10-4x
C.x(x-2)＝3
D.2x-7＝12
【答案】C
【教学说明】此题只需将x=3代入即可，教师可让学生口答.
四、运用新知，深化理解
1.列式表示：
（1）比a小9的数；
（2）x的2倍与3的和；
（3）5与y的差的一半；
（4）a与b的7倍的和.
2.根据下列条件，列出关于x的方程：
（1）12与x的差等于x的2倍；
（2）x的三分之一与5的和等于6.
3.方程x/2=－6的解是什么？
4.已知x－5与2x－4的值互为相反数，列出关于x的方程.
【教学说明】以上题目均与前面例题对应，教师可边让学生独立完成边巡视，然后有针对性地进行评讲.
【答案】略
五、师生互动，课堂小结
着重引导学生从以下几个方面进行归纳：
（1）这节课我们学习了什么内容？（2）用列方程的方法解决实际问题的一般思路是什么？

1.布置作业：：从教材习题3.1中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

本课时教学要整体贯穿以下数学思想：（1）突出数学的应用意识，可由学生感兴趣的问题引入课题；（2）强调学生自主探索新知识，利用交流完善对新知识的理解；（3）体现思维的层次性，教师先引导学生用算术方法解题，再引导列式用方程表示，在比较中体会方程的作用；（4）渗透建模思想，指导学生通过设未知数，列代数式，寻找等量关系列方程，形成抽象能力.
3.1.2等式的性质

1.了解等式的两条性质.
2.会用等式的性质解简单的（用等式的一条性质）一元一次方程.
3.渗透“化归”的思想.
4.培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力.
5.培养言必有据的思维能力和良好的思维品质.
【教学重点】
理解和应用等式的性质.
【教学难点】
应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”.

一、情境导入,初步认识
用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗？
（1）3x-5＝22；(2)0.28-0.13y=0.27y＋1.
【教学说明】第(1)题要求学生给出解答，第(2)题较复杂，估算比较困难，此时教师提出：我们必须学习解一元一次方程的其他方法.
二、思考探究，获取新知
1.实验演示：
教师先提出实验的要求：请同学们仔细观察实验的过程，思考能否从中发现规律，再用自己的语言叙述你发现的规律，然后按教科书第81页图3.1-1的方法演示实验.
教师可以进行两次不同物体的实验.
2.归纳：
请几名学生回答前面的问题.
在学生叙述发现的规律后，教师进一步引导：等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质.比如“8=8”，我们在两边都加上6，就有“8＋6=8＋6”；两边都减去11，就有“8－11=8－11”.
3.表示：
问题1你能用文字来叙述等式的这个性质吗？
在学生回答的基础上，教师必须说明：等式两边加上的可以是同一个数，也可以是同一个式子.
问题2等式一般可以用a=b来表示.等式的性质1怎样用式子的形式来表示？
如果a=b，那么a±c=b±c
字母a、b、c可以表示具体的数，也可以表示一个式子.
4.观察教科书第81页图3.1－2，你又能发现什么规律？你能用实验加以验证吗？
在学生观察图3.1-2时，必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义.观察后再请一名学生用实验验证.
然后让学生用两种语言表示等式的性质2.
如果a=b，那么ac=bc
如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c
问题3你能再举几个运用等式性质的例子吗？
如：用5元钱可以买一支钢笔，用2元钱可以买一本笔记本，那么用7元钱就可以买一支钢笔和一本笔记本，15元钱就可以买3支钢笔.相当于：
“5元=买1支钢笔的钱；2元=买1本笔记本的钱.
5元＋2元=买1支钢笔的钱＋买1本笔记本的钱.
3×5元=3×买1支钢笔的钱.”
问题4方程是含有未知数的等式，我们怎样运用上面等式的性质来解方程呢？
我们来看一下教科书第82页例2中的第（1）、（2）题.
通过分析，我们知道所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x=？”因此我们需要把方程转化为“x=a(a为常数)”的形式.
设问1：怎样才能把方程x＋7=26转化为x=a的形式？
学生回答，教师板书：
解：两边减7，得：
x+7－7=26－7，
x=19.
设问2：式子“－5x”表示什么？我们把其中的－5叫做这个式子的系数.你能运用等式的性质把方程－5x=20转化为x=a的形式吗？
用同样的方法给出方程的解.
小结：请你归纳一下解一元一次方程的依据和步骤.
【归纳结论】由上面的问题我们可以看出，利用等式的性质解简单的一元一次方程的步骤一般分为两步：一是在方程两边同时加或减同一个数或式子，使一元一次方程左边是未知项，右边是常数；二是方程左右两边同时乘未知数的系数的倒数，使未知项系数化为1，从而求出方程的解.如：
（1）x+a=b，解法：方程两边同时减去a，得x=b-a.
（2）ax=b(a≠0)，解法：方程两边同时除以a，得x=b/a.
（3）ax+b=c(a≠0)，解法：方程两边同时减去b，再同时除以a，得x=.
【教学说明】归纳结论过程中，教师可向学生阐述以下两点：（1）方程是含有未知数的等式，故可利用等式的性质求解，求解过程实质是等式变形为x=a的过程.
（2）通过将所求结果代入方程的左右两边的方法，可以检验所求结果是否正确，这一点在下面的例题中我们会讲到.
三、典例精析，掌握新知
例1利用等式的性质，在括号内填上适当的数或式子，并说明等号成立的依据：

【分析】根据等式的性质1或性质2，在方程两边同时加上或减去相同的数或式子；或同乘一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
解：（1）根据等式的性质1，等式两边都减去3，得x=1.
（2）根据等式的性质2，等式两边都乘2，得x=6.
（3）根据等式的性质1，等式两边都减去2a，得5a=-3.
再根据等式的性质2，等式两边都除以5，得a=-3/5.
（4）根据等式的性质1，等式两边都减去y，得-2y=-4.
再根据等式的性质2，等式两边都除以-2，得y=2.
例2小涵的妈妈从商店买回一条裤子，小涵问妈妈：“这条裤子需要多少钱？”妈妈说：“按标价的八折是36元.”你知道标价是多少元吗？
要求学生尝试用列方程的方法进行解答.在学生基本完成的情况下，教师给出示范.
解：设标价是x元，则售价就是80％x元，根据售价是36元
可列方程：
80%x=36，
两边同除以80％，得
x=45.
答：这条裤子的标价是45元.
例3利用等式的性质解方程：
（1）0.5－x=3.4（2）－x－5=4
【教学说明】先让学生对第（1）题进行尝试，然后教师进行引导：
①要把方程0.5－x=3.4转化为x=a的形式，必须去掉方程左边的0.5，怎么去？
②要把方程－x=2.9转化为x=a的形式，必须去掉x前面的“－”号，怎么去？
然后给出解答：
解：两边减0.5，得0.5－x－0.5=3.4－0.5
化简，得
－x=2.9，
两边同乘－1，得:
x=－2.9.
教师提醒学生注意：（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质；（2）解方程的目标是把方程最终化为x=a的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化.
你能用这种方法解第（2）题吗？在学生解答后再点评.
教师向学生提问：①第（2）题能否先在方程的两边同乘“-3”？
②比较这两种方法，你认为哪一种方法更好？为什么？
允许学生在讨论后再回答.
试一试教材第83页练习.
例4服装厂用355m布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3.5m，儿童服装每套平均用布1.5m.现已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？
在学生弄清题意后，教师再作分析：如果设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5xm，根据题意，你能列出方程吗？
解：设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5xm，根据题意，得
80×3.5＋1.5x＝355.
化简，得
280＋1.5x＝355，
两边减280，得
280＋1.5x－280＝355－280，
化简，得
1.5x＝75，
两边同除以1.5，得
x＝50.
答：用余下的布还可以做50套儿童服装.
【教学说明】对于许多实际问题，我们可以通过设未知数，列方程，解方程，以求出问题的解，也就是把实际问题转化为数学问题.
问题：我们如何才能判断求出的答案50是否正确？
在学生代入验算后，教师引导学生归纳出方法：检验一个数值是不是某个方程的解，可以把这个数值代入方程，看方程左右两边是否相等，例如：把x=50代入方程80×3.5＋1.5x=355的左边，得80×3.5＋1.5×50=280＋75=355.
方程的左右两边相等，所以x=50是方程的解.
试一试你能检验一下x=－27是不是方程－x－5=4的解吗？
四、运用新知，深化理解

3.七年级（3）班有18名男生，占全班人数的45%，求七年级（3）班的学生人数.
【教学说明】这些题目较简单，教师让学生口答上述题目，并给予评讲.

五、师生互动，课堂小结
让学生进行小结，主要从以下几个方面去归纳：
1.等式的性质有哪几条？用字母怎样表示？字母代表什么？
2.解方程的依据是什么？最终必须化为什么形式？
3.在字母与数字的乘积中，数字因数又叫做这个式子的系数.

1.布置作业：：从教材习题3.1中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

本课时教学要重视学生思维的多角度培养，教师对教材中的实际问题要直观演示，指导学生观察图形，从实验中归纳结论，并用实验验证.对发现的结论用文字、数学语言分别表达出来.突出对等式性质的理解和应用，在解方程时，要求说明每一步变形的依据，解题后及时小结.扎实做到这些，可为后面教与学打下坚实基础.
3.2解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项
第1课时 合并同类项

1.经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
2.学会合并（同类项），会解“ax＋bx=c”类型的一元一次方程.
3.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程.
4.初步体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化.
【教学重点】
建立方程解决实际问题，会解“ax＋bx=c”类型的一元一次方程.
【教学难点】
分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程.

一、情境导入,初步认识
活动（出示背景资料）约公元820年，中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢？通过下面几节课的学习讨论，相信同学们一定能回答这个问题.
【教学说明】教师出示上面的资料，让学生对本课时的内容产生兴趣.
二、思考探究，获取新知
问题教材第86页问题1.
引导学生回忆：
设问1：如何列方程？分哪些步骤？
师生讨论分析：
①设未知数：前年购买计算机x台；
②找相等关系：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量=140台；
③列方程：x＋2x＋4x=140.
设问2：怎样解这个方程？如何将这个方程转化为x=a的形式？学生观察、思考.
根据分配律，可以把含x的项合并，即
x＋2x＋4x=（1＋2＋4）x=7x
老师板演解方程过程：

设问3：以上解方程“合并”起了什么作用？每一步的根据是什么？
学生讨论、回答，师生共同整理：
“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x=a的形式.
试一试教材第88页练习第2题.
三、典例精析，掌握新知
例1教材第87页例1.
【教学说明】这个例题比较简单，但比较典型.教师教学时自己先讲第（1）小题，然后应选派一位学生上台板演另一小题，看学生书写格式是否规范，步骤是否完整，对于不规范、不完整的情况，教师要及时予以纠正.
试一试教材第88页练习第1题.
【教学说明】这4个小题也要选派4位同学上台板演，教师仍要关注格式的规范性和步骤的完整性.
例2教材第87页例2.
引导学生观察这列数有什么规律？（从符号和绝对值两方面）
学生讨论后发现：后面一个数是前一个数的－3倍.
师生共同分析，完成解答过程：
解：设这三个相邻数中的第一个数为x,则第二个数为－3x，第三个数为－3×(－3x)=9x.
根据这三个数的和是－1701，得
x－3x＋9x=－1701
合并，得7x=－1701
系数化为1，得x=-243
所以－3x=729，
9x=－2187.
答：这三个数是－243、729、－2187.
【教学说明】通过讨论让学生认识到：用一元一次方程解含多个未知数的问题时，通常先设其中一个为x，再根据其他未知数与x的关系，用含x的式子表示这些未知数.完整的解题过程的呈现，有利于学生有条理地思考与表达.此外，如有学生提出不同的设未知数的方法，同样给予鼓励.本例是有关数列的数学问题，本题要求出三个未知数，与前几节不同的是，问题中没有明确未知数之间的联系，需要学生观察发现它们的排列规律，问题具有一定的挑战性，能激发学生探索的欲望.
四、运用新知，深化理解

2.解方程2x+3x+4x=180的结果是（ ）
A.x=90
B.x=36
C.x=30
D.x=20
3.解方程：
（1）17y-2.5y-7.5y=42;

4.某大型商场三个季度共销售某品牌手机2800部，第一个季度销售量是第二个季度的2倍，第三个季度销售量是第一个季度的2倍，这家商场第二个季度销售这个品牌的手机多少部？
【教学说明】设计以上几题是为了巩固所学的用合并同类项的方法解方程，题目难度都不大.第1、2题可让学生口答，第3、4题可让学生上台板演.
【答案】1.C 2.D
3.解：（1）合并同类项，得
7y=42，
系数化为1，得
y=6；
（2）合并同类项，得
x=1.
4.解：设第二个季度这家商场销售该品牌手机x部，则第一个季度销售量为2x部，第三个季度销售量为4x部.
根据总量等于各分量的和，得x+2x+4x=2800.
合并同类项，得7x=2800.系数化为1，得x=400.
答：这个商场第二个季度销售手机400部.
五、师生互动，课堂小结
1.教师提出下列问题让学生思考：
（1）你今天学习的解方程有哪些步骤，每一步依据是什么？
（2）今天讨论的问题中的相等关系有何共同特点？
2.学生思考后回答、整理：
（1）解方程的步骤及依据分别是：合并同类项（分配律）和系数化为1（等式的性质2）.
（2）总量=各部分量的和.

1.布置作业：：从教材习题3.2中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.


本课时作为解一元一次方程方法的讲解课，首先以学生喜闻乐见的实际问题展开讨论，突出体现了数学与现实的联系；然后让学生利用合并同类项的方法来解方程，来感受方法的简洁性，并通过练习来提高学生的熟练程度.
本课时在结合实际问题讨论一元一次方程的解法时，注重算理，创设未知向已知转化的条件，并通过画框图、标箭头的方式辅助学生分析.
本课时教学应采用引导的方法，让学生自主探究与交流，以达到教学效果.
第2课时 移项

1.会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程.
2.建立方程解决实际问题.
3.通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性.
4.掌握移项方法，学会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想.
5.体会方程中蕴涵的化归思想.
【教学重点】
解“ax+b=cx+d”的一元一次方程.
【教学难点】
建立方程解决实际问题，会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程.

一、情境导入,初步认识
问题1上节课我们学习了较简形式的一元一次方程的求解，哪位同学能够说一下解方程的基本思想？
问题2到目前为止，我们用到的对方程的变形有哪些？目的有哪些？
二、思考探究，获取新知
问题教材第88页问题2.
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路.
学生讨论、分析：
1.设未知数：设这个班有x名学生.
2.找相等关系：
这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等.
3.列方程：3x＋20=4x-25①
设问1：怎样解这个方程？
学生讨论后发现：方程的两边都有含x的项（3x与4x)和不含字母的常数项（20与－25）.
设问2：怎样才能使它向x=a的形式转化呢？
学生思考、探索：为使方程的右边没有含x的项，等号两边同减去4x，为使方程的左边没有常数项，等号两边同减去20.
3x－4x=－25－20②
设问3：以上变形依据是什么？
等式的性质1.

【归纳结论】像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
师生共同完成解答过程.
设问4：以上解方程中“移项”起了什么作用？
学生讨论、回答，师生共同整理：
通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式.
三、典例精析，掌握新知
例1教材第89~90页例3.
【教学说明】教师先讲解第（1）小题，注意严格按步骤进行，书写要规范.然后让学生上台板演第（2）小题，教师关注以下几点：①学生是否会将含x的项和常数项弄错；②移项后符号是否改变；③含未知数的项是不是放在等号左边，常数项是否放在等号右边；④步骤是否完整.
试一试教材第90页练习第1题.
例2教材第90页例4.
【分析】解这道题关键是要找到等量关系，而找等量关系关键是要找到中间量，由题意可知这个中间量应是“环保限制的最大量”，由题意又可设新旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt，如果它们要达到“环保限制的最大量”，则用旧工艺后的废水排量应减去200t，用新工艺后的废水排量应加上100t，这样我们就可以列出方程：5x-200=2x+100.
【教学说明】解这道题之前，教师应让学生先自主交流，然后引导学生进行上述分析，最后选派一名同学上台板演.通过分析和板演使学生认识到解这类问题通常要设未知数.此外，通常如果在方程等号左边加上（或减去）一个常数，那么就应在方程等号右边加上（或减去）这个常数.
试一试教材第90页练习第2题.
四、运用新知，深化理解
1.已知方程3x-5=7x-11,移项结果正确的是（ ）
A.3x-7x=-11+5
B.3x+7x=-11+5
C.3x-7x=5+11
D.3x+7x=-11-5
2.方程2x+3=3x-2,利用_____可变形为2x-3x=-2-3，这种变形叫______.
3.解方程：（1）5x+6=7x-9;(2)x-6=10x+9.
4.小李预计若干天看完一本故事书.如果他计划每天看32页，则有31页来不及看；如果他计划每天看36页，则最后一天还必须多看3页才能看完.小李预计的是几天看完?这本书有多少页？
【教学说明】上面几题中，第1~3题较为简单，第1、2题可让学生口答，第3题让学生上台板演，第4题与教材例4类似，教师提醒学生注意找中间量“书的页数”.
【答案】1.A
2.等式的性质1移项
3.解：（1）移项，得
5x-7x=-9-6.
合并同类项，得
-2x=-15.
系数化为1，得
x=；
(2)移项，得
x-10x=9+6.
合并同类项，得
-x=15.
系数化为1，得
x=-.
4.解：设预计x天看完.列方程：
32x+31=36x+3.
移项，得
32x-36x=3-31.
合并同类项，得
-4x=-28.
系数化为1，得
x=7.
所以书的总页数为36x+3=255.
答：小李预计的是7天看完，这本书有255页.
五、师生互动，课堂小结
1.教师向学生提出以下问题：
（1）今天你又学会了解方程的哪些方法？有哪些步骤？每一步的依据是什么？
（2）现在你能回答前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”是什么意思吗？
（3）今天讨论的问题中的相等关系又有何共同特点？
2.学生思考后回答、整理：
（1）解方程的步骤及依据分别是：
移项（等式的性质1）
合并同类项（分配律）
系数化为1（等式的性质2）
（2）“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”
表示同一量的两个不同式子相等.

1.布置作业：：从教材习题3.2中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
方程是处理问题的一种很好的途径，而解方程又是这种途径必须要掌握的.本节课是先利用等式的性质来解方程，从而引出了移项的概念.然后让学生利用移项的方法来解方程（只合并常数项），来感受方法的简洁性.进一步给出了练一练的两个方程，让学生动手去做.学生在做的过程中出现了很多错误：①含未知数的项不知道如何处理；②移项没有变号；③没移动的项也改变了符号.针对以上情况，先让有困难的学生说一下自己的困惑，让其他同学帮助他解决困惑，这样更能促进同学间的相互进步.再让学生总结注意点，教师注意点拨.最后的学生小结并不是一种形式，通过小结教师能很好地看出学生的知识形成和掌握情况，另外也可以看出他的情感态度.
3.3 解一元一次方程（二）
——去括号与去分母
第1课时 去括号

1.通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应用题更为简洁明了，省时省力.
2.掌握去括号解方程的方法.
3.培养学生分析问题、解决问题的能力.
4.通过列方程解决实际问题，使学生感受到数学的应用价值，激发学生学习数学的信心.
【教学重点】
在小学根深蒂固用算术方法解应用题的基础上，让学生逐步树立列方程解应用题的思想.
【教学难点】
弄清列方程解应用题的思想方法;用去括号解一元一次方程.

一、情境导入,初步认识
问题1我手中有6、x、30三张卡片，请同学们用他们编个一元一次方程，比一比看谁编得又快又对.
学生思考，根据自己对一元一次方程的理解程度自由编题.
问题2解方程5（x-2）=8
解：5x=8+2,x=2,看一下这位同学的解法对吗？相信学完本节内容后，就知道其中的奥秘.
问题3某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电减少2000kW·h（千瓦·时），全年用电15万kW·h，这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？（教材第93页问题1）
【教学说明】给学生充分的交流空间，在学习过程中体会“取长补短”的含义，以求在共同学习中得到进步，同时提高语言组织能力及逻辑推理能力.
二、思考探究，获取新知
【教学说明】上面栏目一中的问题3为教材中的问题，教师先提出上面的问题，让学生产生疑问，然后提出下面几个问题，对其进行分析和探究，以归纳出最后的结论.
设问1：设上半年每月平均用电xkW·h，则下半年每月平均用电____kW·h；上半年共用电_____kW·h，下半年共用电______kW·h.
【教学说明】教师引导学生寻找相等关系，列出方程.
根据全年用电15万kW·h，列方程，得6x+6(x-2000)=150000.
设问2：怎样使这个方程向x=a的形式转化呢？
6x+6(x-2000)=150000
↓去括号
6x+6x-12000=150000
↓移项
6x+6x=150000+12000
↓合并同类项
12x=162000
↓系数化为1
x=13500
设问3：本题还有其他列方程的方法吗？
用其他方法列出的方程应怎样解？
设下半年每月平均用电x度，则6x+6(x+2000)=150000.(学生自己进行解答)
【归纳结论】方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简.（括号前面是“+”号，把“+”号和括号去掉，括号内各项都不改变符号；括号前面是“-”号，把“-”号和括号去掉，括号内各项都改变符号.）
去括号时要注意：（1）不要漏乘括号内的任何一项；（2）若括号前面是“-”号，记住去括号后括号内各项都变号.
三、典例精析，掌握新知
例1教材第94页例1.
【教学说明】这道例题为教材中的例题，教师先讲解第（1）小题，教师在讲解过程中注意与学生互动，让学生说出每个步骤中应怎样计算.第（2）题可让学生上台板演，教师注意指导学生写的步骤是否完整.
例2教材第94~95页例2.
【分析】若设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流的速度为___千米/时；逆流的速度为___千米/时.
顺流的路程=___，逆流的路程___.
相等关系为____________.
思考：
1.在设未知数时，为什么首选船在静水中的平均速度作为未知数x？
2.怎样求甲乙两个码头之间的距离？
【教学说明】这道题解答时通过空白部分的填写，给学生更多的思考空间，促进学生积极思考，发展学生的思维.同时通过空白部分的引导，降低问题的难度，从而将难点锁定在找相等关系上，避免难点太多，造成无从下手，重点、难点不突出的情况.通过对问题1的交流讨论，使学生认识到将船在静水中的平均速度设为未知数x是最简洁、最优的情况，向学生渗透最优化思想.问题2是对例2的延伸和拓展，将问题设置在例2之后，利于学生形成正确的思维过程.
教学时，教师先让学生自主完成空白部分，完成后组内交流.教师巡视指导，关注学生能否找准相等关系.请学生展示，并讲解解答思路.学生独立列方程并解方程，然后教师找部分学生板演并讲解思路，在这个过程中，教师应重点关注学生能否正确解方程.学生解答完方程后，教师采用追问的形式引导学生思考问题1、问题2.学生通过小组交流、讨论、质疑、分析设船在静水中的平均速度为x的理由.教师找学生口述思考2，关注学生能否用两种方法求距离.
四、运用新知，深化理解
1.教材第95页练习.
2.解方程：3x-2[3(x-1)-2(x+2)]=3(18-x).
3.某班40名同学去划船游湖，一共租了8条小船，其中有可坐4人的小船和可坐6人的小船，40名同学刚好坐满8条小船，问这两种小船各租了几条？
4.一艘轮船往返于A、B两地之间，由A到B是顺水航行，由B到A是逆水航行.已知船在静水中的速度是每小时20km，由A到B用了6小时，由B到A所用的时间是由A到B所用时间的1.5倍，求水流速度.
【教学说明】以上几题一方面让学生掌握去括号解一元一次方程的方法，另一方面可锻炼学生解决问题的能力，其中1~3题都可让学生独立思考后上台板演.教师注意提醒学生应严格按教材步骤进行.（等学生熟练掌握之后可放松要求）在做第3题时提示学生可结合小学所学的“鸡兔同笼”问题进行思考.第4题与例2有些类似，可让学生比照后独立思考并解答.
【答案】1.（1）x=2.
（2）x=.
（3）x=6.
(4)x=0.
2.解：去中括号，得3x-6(x-1)+4(x+2)=3(18-x).
去小括号，得3x-6x+6+4x+8=54-3x.
移项，得3x-6x+4x+3x=54-6-8.
合并同类项，得4x=40.
系数化为1，得x=10.
3.解：设可坐4人的小船租了x条，则可坐6人的小船租了(8-x)条.
根据题意，可列得方程：4x+6(8-x)=40.
去括号，得4x+48-6x=40.
移项，得4x-6x=40-48.
合并同类项，得-2x=-8.
系数化为1，得x=4.
8-4=4（条）
答：可坐4人的小船租了4条，可坐6人的小船也租了4条.
4.解：设水的流速为xkm/h，可列出方程：
（20+x)×6=（20-x）×6×1.5.
去括号，得120+6x=180-9x.
移项，得9x+6x=180-120.
合并同类项，得15x=60.
系数化为1，得x=4.
答：水流速度为4km/h.
五、师生互动，课堂小结
通过以下问题引导学生回顾、小结：
（1）通过这节课，你在用一元一次方程解决实际问题方面又获得了哪些收获？
（2）去括号解一元一次方程要注意什么？

1.布置作业：：从教材习题3.3中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

本课时教学可先让学生通过尝试和合作，归纳出去括号解方程的方法，鼓励学生探寻一题多解，然后比较找到最好方式，巩固去括号的认识.教学中突出应用意识，利用实际问题引出本节要学的知识点，用不同的问题为学生指明思考方向，时时提醒学生互相探讨寻找实际问题中等量关系的体会.
第2课时 去分母

1.会把实际问题建成数学模型，会用去分母的方法解一元一次方程.
2.通过列方程解决实际问题，让学生逐步建立方程思想；通过去分母解方程，让学生了解数学中的“化归”思想.
3.让学生了解数学的渊源及辉煌的历史，激发学生的学习热情.
【教学重点】
会用去分母的方法解一元一次方程.
【教学难点】
实际问题中如何建立等量关系，并根据等量关系列出方程.

一、情境导入,初步认识
问题1上一个课时我们学习了用去括号的方法解方程，你能说一说含有括号的方程如何解？去括号时应注意什么？试一试解这个方程：-3（x+2）-6(x-1）=3.
问题2含有分数的方程如何解呢？比如.
【教学说明】上面问题的提出有助于学生回顾旧知，再对新知产生兴趣，符合学生的认知规律，对于问题1，教师可让学生回答结果，对于问题2，教师可先让学生动动手，再询问学生怎么做这道题的.如果学生感觉棘手，教师可及时引入下面栏目中的新知.（注意问题2不必急着要学生解出，只要学生对此产生疑问即可.）
二、思考探究，获取新知
【教学说明】通过上一栏目中的问题，我们知道了解方程中的一个新问题：如何去分母解方程？下面师生一起思考并探究这个问题.
问题1教材第95~96页问题2.
设问1：设这个数为x，则，这是一个系数中含有分母的方程，如何解这个方程？能不能利用前面学习的合并同类项的方法来解答？
【教学说明】教师引导学生自己解答.
设问2：通过同学们刚才的解答知道，由于系数是分数不方便计算，能否把系数转化为整数呢？引导学生可以通过去分母的方法来解决，这样更方便计算.本题两边同时乘以多少呢？
【教学说明】教师引导学生解答.
【归纳结论】回过头来看本题，首先要弄清题意，分析数量关系，再设出未知数，列出方程.其次，怎样来解这个方程，第一种方法是直接合并同类项，第二种方法是先去分母再合并同类项，比较这两种方法，方法二更易于计算.
师：为了全面讨论怎样解一元一次方程问题，看下面较为典型的问题.
问题2解方程：（情境导入中的问题2）
设问1：这是栏目一中问题2的解方程题，此方程一共有几项？两边乘以多少能把系数化为整数？
【教学说明】教师设问，学生回答，教师接着在黑板上板书.
解：去分母（两边乘以10），得
5(3x+1)-2×10=(3x-2)-2(2x+3)
【教学说明】此处板书时可故意把2的后面不乘以10或故意先不加括号，以提醒学生应怎样正确地去分母.
去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6.
移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20.
合并同类项，得16x=7.
系数化为1，得x=.
【归纳结论】解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
【教学说明】上面结论中所讲的只是一般步骤，解方程时并不需要严格按照这个顺序进行.例如就应先去括号再去分母，教师教学时应注意强调这一点.
三、典例精析，掌握新知
例1教材第97页例3.
【教学说明】本例第（1）小题，可由教师讲解.第（2）小题可选派学生上台板演，教师重点关注以下几点：①学生在方程两边乘各分母的是不是最小公倍数；②学生是否漏乘不含分母的项；③分子是多项式时，去分母后学生是否加上括号.
例2解方程：
【分析】观察这个方程我们可发现分母不是整数，这种情况如何处理呢？事实上，我们可以将其分子分母同乘一个数，将其分母化成整数.
解：把分母中的小数化为整数（分子分母同乘以10，得：

【教学说明】以上例2中的情况是教材中未提及的，教师在教学时请注意补充这个知识点.
四、运用新知，深化理解
1.教材第98页练习.
2.丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它真实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡须.再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的孩子，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？
【教学说明】第1题为课本练习，较为简单，教师可直接让学生上台板演，第2题比较有趣，与栏目二中问题1有些类似，教师可提示学生正确理解题意，并让学生独立思考后上台板演.
【答案】1.解：（1）去分母，得19x=21(x-2).
去括号，得19x=21x-42.
移项，得19x-21x=-42.
合并同类项，得-2x=-42.
系数化为1，得x=21.
(2)去分母，得2(x+1)-8=x.
去括号，得2x+2-8=x.
移项，得2x-x=8-2.

合并同类项，得x=6.
（3）去分母，得3(5x-1)=6(3x+1)-4(2-x).
去括号，得15x-3=18x+6-8+4x.
移项，得15x-18x-4x=6-8+3.
合并同类项，得-7x=1.
系数化为1，得x=-.
(4)去分母，得10(3x+2)-20=5(2x-1)-4(2x+1).
去括号，得30x+20-20=10x-5-8x-4.
移项，得30x-10x+8x=-5-4-20+20.
合并同类项，得28x=-9.
系数化为1，得x=-.
2.解：设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程得：

去分母，得14x+7x+12x+420+42x+336=84x.
移项，得14x+7x+12x+42x-84x=-420-336.
合并同类项，得-9x=-756.
系数化为1，得x=84.
答：丢番图去世时的年龄为84岁.
五、师生互动，课堂小结
1.本节课你学到了什么？
学习了怎样解含有分母的一元一次方程.
2.如何解含有分母的一元一次方程？
通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等5个步骤，把方程逐步化为x=a形式，去分母时不要漏乘不含分母的项，分子是多项式去分母后要加上括号.

1.布置作业：：从教材习题3.3中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

本课时的教学内容有关去分母解方程，与前面去括号解方程相比，只是略微增加了一步，所以本课时开头采用了引入旧知的方法帮助学生衔接，接着以问题的形式进行师生互动，以帮助学生真正掌握去分母解方程的方法.教学过程中，教师要随时与学生保持互动，以了解学生的掌握情况.此外，还应让学生多练习，以达到熟能生巧的程度.
3.4实际问题与一元一次方程
第1课时 配套问题与工程问题

1.会根据实际问题中数量关系列方程解决问题，并进一步熟练掌握一元一次方程的解法.
2.培养学生数学建模能力，分析问题、解决问题的能力.
3.通过开放性问题的设计，培养学生创新能力和挑战自我的意识，增强学生的学习兴趣.
【教学重点】
从实际问题中抽象出数学模型.
【教学难点】
根据题意，分析各类问题中的数量关系，会熟练地列方程解应用题.

一、情境导入,初步认识
在前两节中，我们着重探讨了解一元一次方程的概念和几种方法，这几种解法包括合并同类项与移项、去括号与去分母等.这几个课时我们着重探讨如何用一元一次方程解决实际问题，我们先来看两个问题：
问题1 机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
思考：①若安排x名工人加工大齿轮，则有___名工人加工小齿轮.
②x名工人每天可加工_____个大齿轮，加工小齿轮的工人每天可加工____个小齿轮.
③按题中的配套方法，你是否可找出其中的等量关系呢？
问题2一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，那么两人合作多少小时完成？
思考：①两人合作32小时完成对吗？为什么？
②甲每小时完成全部工作的______；
乙每小时完成全部工作的_______；
甲x小时完成全部工作的_______；
乙x小时完成全部工作的_______.
【教学说明】提出这个问题，旨在让学生能快速进入课堂，进行思考.教师可根据上面所列思考题引导学生进行思考，问题1是配套问题，教师最终要引导学生找出等量关系：生产的大齿轮数量的3倍与小齿轮数量的2倍相等.题①、②依次填：（85-x)、16x、10(85-x).依次我们可列得方程为3×16x=2×\[10×(85-x)\].
问题2提出了一个新问题：如何解决与工作量相关的应用题，这类题求解时一般都需要去分母.所以这类题可看作是与去分母解方程有关的实际问题.解决这类问题需要知道“工作量=人均效率×人数×时间”这一基本数量关系式，该题中第①问是不对的，第②问依次应填120，112，x20，x12,教师教学时可让学生稍作思考后作答.
二、思考探究，获取新知
探究1教材第100页例1 .
【分析】（1）每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个表示什么意思？
（2）刚好配套，说明螺钉和螺母个数一样多吗？
（3）为了使每天的产品刚好配套，应使生产的螺母数量恰好为螺钉数量的_______.
解：设分配x名工人生产螺钉，则有人生产螺母，一天共生产螺钉个，螺母_______个.
问题：你能列出方程吗？
【教学说明】众所周知，理解题意是学好数学的前提,本例通过分析使学生深入理解题意,便于学生找出相等关系.通过多媒体或实物演示,有效分解教学难点,从而更有效地突破教学难点.此外，前面栏目中的问题也有利于解答本题.
教师组织并引导学生通过具体的生活实例或实物演示使学生深入理解螺钉的数量是螺母数量的二分之一，螺母数量是螺钉数量的二倍，引导学生找出相等关系列方程.教师重点关注学生能否理解“刚好配套”，关注学生能否理解在配套的情况下相等关系应为：螺钉的数量×2=螺母的数量；而不是：螺母的数量×2=螺钉的数量.
试一试 教材第101页练习第1题.
探究2 教材第100~101页例2 .
【分析】这里可以把总工作量看作1.请填空：
人均效率（一个人1h完成的工作量）为.
由x人先做4h，完成的工作量为.再增加2人和前一部分人一起做8h，完成的工作量为_____.
这项工作分两段完成，两段完成的工作量之和为.
【教学说明】前面问题1 和问题2为本题作了铺垫，所以学生比较好理解.教学时，教师引导学生完成“分析”中的空，上面的空依次应填：1/40，4x/40,
8(x+2)/40,4x/40+8(x+2)/40,填完空后，教师让学生上台板演此题.随后师生一起运用一元一次方程解决问题的基本思路，具体可参见教材第101页的相关表述.
试一试 教材第101页练习第2题.
三、典例精析，掌握新知
例1 用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身16个或制盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？
【分析】这是一个“配套”问题，我们可以运用上一栏目中的“配套”问题的解题思路来分析.本题需要找出等量关系：做盒身的白铁皮张数+做盒底的白铁皮张数=100；用白铁皮做盒身的总个数×2=用白铁皮做盒底的总个数.
解：设用x张制盒身，则用(100-x）张制盒底.
根据题意列方程，得2×16x=48×（100-x）.
去括号，得32x=4800-48x.
移项及合并同类项，得80x=4800.
系数化为1，得x=60.
制盒底的铁皮数：100-60=40.
答：用60张制盒身，40张制盒底.
例2 整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时，现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作.假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？
【分析】本题中含有一些基本等量关系：工作总量=工作时间×工作效率.一般把工作总量看作总体“1”.
解：设先安排整理的人员为x人，根据题意得
解此方程，得x=10.
答：先安排整理的人员有10人.
例3一项工程，由甲单独做需30天，由乙单独做需50天，现由甲、乙共同完成这项工程且施工期间乙要休息14天，那么完成这项工程需要几天？
【分析】把全部工作量看成1，则甲的效率为1/30，乙的效率为1/50.若设这项工程需要x天完成，则甲的工作量为1/30x，乙的工作量为1/50(x-14)，由此列出方程.
解：设这项工程需要x天完成.
由题意，得1/30x+1/50(x-14)=1.
去分母，得5x+3(x-14)=150.
去括号，得5x+3x-42=150.
移项、合并同类项，得8x=192.
系数化为1，得x=24.
答：完成这项工程需要24天.
四、运用新知，深化理解
1.某车间90名工人生产凳子面和凳子腿，每人每天平均生产凳子面10个或凳子腿50个，一个凳子面要配四个凳子腿.为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产凳子面，多少名工人生产凳子腿？
2.一本稿件，甲打字员单独打20小时可以完成，甲、乙两打字员合打，12小时可以完成.现由两人合打7小时，余下部分由乙完成，还需多少小时？
3.有甲、乙、丙三个水管，单独开放甲管5h可注满一池水；甲、乙两管齐放，2h可注满一池水；甲、丙两管齐开放，3h可注满一池水.现把三管一齐开放，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2h水池注满，问三管齐开放了多少小时水？
【教学说明】上面前两道题分别是与本课时所学应用题相对应的，第1题为配套问题，可设应分配x名工人生产凳子面，(90-x)名工人生产凳子腿，由题意分析可知其中的相等关系为：x名工人一天生产凳子面的4倍=(90-x)名工人生产凳子腿的数量，教师应让学生通过思考找出这个等量关系.第2题为工作量问题，教师应注意让学生找到本题关键点：由乙单独完成需要几小时.在对这两题进行分析后，教师可让学生上台板演.第3题综合性强，题较难，教师应给予充分的提示，此题是一个工程问题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.各个工作量之和=总工作量.将注满一池水的工作量设为1，设三管齐开放了xh，可列表如下：

如若教师在进行上面的提示之后，学生仍无法动手，教师可与学生进行互动，不必要求学生上台板演.
【答案】1.解：设应分配x名工人生产凳子面，(90-x)名工人生产凳子腿.依题意可列方程，得：
4×10x=(90-x)×50
去括号，得40x=4500-50x
移项，得40x+50x=4500
合并同类项，得90x=4500
系数化为1，得x=50
所以90-x=40
答：应分配50名工人生产凳子面，40名工人生产凳子腿.
2.解：设还需x小时完成，依题意列方程得：

去分母，得35+2x=60
移项及合并同类项，得2x=25
系数化为1，得x=12.5
答：还需12.5小时完成.
3.设三管齐开放注水xh，根据题意得

去分母，得6x+9x+18+4x+8=30.
移项，得6x+9x+4x=30-8-18.
合并同类项，得19x=4.
系数化为1，得x=4/19.
答：三管齐开放了4/19h水.
五、师生互动，课堂小结
通过以下问题引导学生反思小结：
1.通过这节课的学习，你有什么收获？
2.在解决应用问题方面你获得了哪些经验？这些问题中的相等关系有什么特点？

1.布置作业：：从教材习题3.4中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

本课时的内容主要是结合前面所学内容解决实际问题，所以教学时教师应给予学生充分的独立思考空间，注重与学生进行互动.引导学生应注意找出等量关系，因为这是列方程解应用题的关键所在.此外，考虑到这是第1课时，所以教学时应注意让学生总结解决实际问题的步骤，让学生养成规范化解题和答题的习惯.
第2课时 销售中的盈亏问题

1.使学生能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系，列出方程，掌握商品盈亏的求法.
2.培养学生分析问题、解决问题的能力.
3.学生在从事探索性活动的学习过程中，形成良好的学习方式和学习态度，借助学生身边熟悉的例子认识数学的应用价值.
【教学重点】
1.让学生知道商品销售中的盈亏的算法.
2.把生活中的实际问题抽象成数学问题.
【教学难点】
弄清题意，分析实际问题中的数量关系，找出解决问题的等量关系.

一、情境导入,初步认识
前一课时我们初步探讨了如何用一元一次方程解决实际问题，归纳了解决实际问题的一般步骤和一般方法.
本课时我们将继续深入的探讨用一元一次方程解决实际问题.先来看下面5个问题：
1.某商品原来每件零售价是a元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是______；
2.某种品牌的彩电降价3%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为______元；
3.某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原价是______；
4.某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%，则该商品的标价为______；
5.我国政府为解决老百姓看病问题，决定下调药品的价格，某种药品在2011年涨价30%后，2013年降价70%至a元，则这种药品在2011年涨价前价格为______元.
【教学说明】安排这一组生活中的问题的目的是让学生产生兴趣和疑问，老师可适当引导、分步提示，试着让学生自己作答.
二、思考探究，获取新知
探究销售中的盈亏（教材第102页探究1）
教师：展示图片，提出问题.
学生：欣赏图片，自主读题并思考.
学生分析：
（1）利润＝售价－成本；
（2）售价＝成本＋成本×利润率.
教师：解释利润、利润率等含义.
【教学说明】创设学生比较熟悉的生活情景，给学生一种轻松的心理氛围，容易提高学生学习知识的兴趣.下面通过设问的形式将问题逐步深入下去，让学生寻找解决问题的途径，培养学生的独立思考问题的习惯.
设问1：若一件商品的进价是40元，如果卖出后盈利25％，那么商品利润是多少？若卖出后亏损25％，那么利润又是多少？
学生：独立思考，自主寻找解决问题的途径，然后可以充分发表自己的见解，展现他们的思维过程.
教师：观察学生的活动，可以适当提出问题、点拨，但要以学生为主体.
解：盈利25％时，利润是40×25％＝10（元）；亏损25％时，利润是40×（－25％）＝－10（元）.
设问2：你能否求出探究问题中的两件物品的进价吗？
解：设盈利25％的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是0.25x元.根据进价与利润的和等于售价，可以得到方程x＋0.25x＝60.
由此得x＝48.
类似地，设另一件衣服的进价为y元，它的商品利润是－25％y元，可以得到方程y－0.25y＝60.
解得：y＝80.
设问3：你能分析总的亏损情况吗？
分析可知，两件衣服的进价是x＋y＝128（元），而两件衣服的售价是120元，进价大于售价，由此可以知道卖这两件衣服总的盈亏是亏损8元.
试一试 教材第106页练习第1题.
三、典例精析，掌握新知
例某市百货商场元月一日搞促销活动，购物不超过200元不给优惠；超过200元，而不足500元优惠10%；超过500元其中500元按9折优惠，超过部分按8折优惠，某人两次购物分别用了134元和466元，问：
（1）此人两次购物其物品如果不打折，值多少钱？
（2）在此次活动中，他节省了多少钱？
（3）若此人将两次购物的钱合起来购相同的商品是更节省还是亏损？说明你的理由.
【分析】该题给出的优惠标准实质是：200元以上给予优惠，且分两个等级.（1）中首先应判定134元的商品是否给予优惠.因为200×90%=180>134，所以购134元的商品并未优惠.其次是466元的商品是如何优惠的？（3）中应计算买相同商品其付款数为多少，然后再与600元进行比较，问题得以解决.
解：（1）∵200×90%>134，故购134元的商品未优惠，
又500×0.9=450<466，故购466元的商品有两次优惠，设其售价为x元，
依题意得：500×0.9+（x-500）×0.8=466，x=520.
∴商品如果不打折分别值134元和520元，共654元;
（2）节省654-600=54（元）；
（3）654元的商品优惠价为：500×0.9+（654-500）×0.8=573.2（元）.
故节省600-573.2=26.8（元）.
所以若买相同的商品，合起来购买更节省，节省26.8元.
【教学说明】上面的例题稍有点复杂，教师可按“分析”对学生进行提示，然后让学生上台板演.
四、运用新知，深化理解
1.某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，那么商店可降多少元出售此商品？
2.某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了m件，为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，销售量将提高10%，要使销售利润（销售利润=销售价-成本价）保持不变，该产品每件的成本应降低多少元？
【教学说明】上面两题中，第1题比较基础，可让学生上台板演，第2题稍难，教师应给予充分提示，然后师生共同完成.
【答案】1.解：设商店可降x元出售此商品，根据题意列方程，得
1000×（1+5%）=1500-x
1050=1500-x
x=450.
答：商店可降450元出售此商品.
2.解：由题意可知未降价前的利润为（510-400）m元，若设每件成本降低x元，则降价后的利润为\[510×（1-4%）-（400-x）\]×m（1+10%），再利用“销售利润保持不变”这一条件可列方程得：
（510-400）m=[510×（1-4%）-（400-x）]×m（1+10%）
由此得110=（89.6+x）×1.1.
x=10.4.
答：该产品每件的成本应降低10.4元.
五、师生互动，课堂小结
教师引导学生归纳本课时知识，让学生说一说在销售问题中应注意哪些问题.

1.布置作业：：从教材习题3.4中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

商品销售问题是现实生活中比较典型的问题，教学时可以紧密联系实际，用切身的体会与经历进行讲解，这样有助于活跃课堂气氛，提高和增强学生的学习效果.商品销售中的“进价”、“标价”、“成本”及“利润”是理解题意的关键点，教师应向学生进行详细的讲解.

第3课时 球赛积分表问题

1.通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分一类问题的方法.
2.培养学生分析问题、解决问题的能力.
3.学生在从事探索性活动的学习过程中，形成良好的学习方式和学习态度，借助学生身边熟悉的例子认识数学的应用价值.
【教学重点】
1.让学生知道球赛积分的算法.
2.把生活中的实际问题抽象成数学问题.
【教学难点】
弄清题意，分析实际问题中的数量关系，找出解决问题的等量关系.

一、情境导入,初步认识
上一课时我们探究了有关销售中的盈亏问题，通过学习学生应初步掌握了有关一元一次方程实际问题的解决办法.本课时我们继续探讨有关球赛积分表的问题，先来看一个问题：
暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛了9场，得分17分.比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几场呢？
二、思考探究，获取新知
探究球赛积分表问题（教材第103～104页探究2）
设问1：通过观察积分榜，你能选择出其中哪一行最能说明负一场积几分吗？进而你能得到胜一场积几分吗？
【教学说明】教师让学生观察教材或课件中的积分表进行思考.
观察积分榜，从最下面一行数据可以看出：负一场积1分；设胜一场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值，如可以从第一行列方程10x＋4＝24.
由此得x＝2.
即：负一场积1分，胜一场积2分.
设问2：你能用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系吗？
教师引导学生分析：如果一个队胜m场，则负（14－m）场，胜场积分2m分，负场积分（14－m）分，总积分为2m＋（14－m）＝m＋14.
设问3:某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
教师引导学生分析：设一个队胜了x场，则负了（14－x）场.如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则得方程2x－（14－x）＝0.
由此得x=14/3.
由于x的值必须是整数，所以x=143不符合实际，因此没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分.
【教学说明】以上探究中，教师通过逐层提出问题，根据具体情况放手让学生充分发表自己的见解，探索解题思路，最终达到解决问题的思路，这样能培养学生的独立思考问题的习惯.另外，探究解决问题的方法，体验解决问题的思维方式，渗透特殊值法、分类讨论思想，有利于提高学生的数学建模能力.
三、运用新知，深化理解
一份试卷共25道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案选出来，每题选对得4分，不选或选错扣1分，如果一个学生得90分，那么他选对几题？现有500名学生参加考试，有得83分的同学吗？为什么？
【教学说明】本题要注意其结果是否符合实际，这题可让学生板演后再讲解.
【答案】一个学生得90分，他选对23题；若有500名学生参加考试，不可能有得83分的同学.
四、师生互动，课堂小结
教师通过以下问题引导学生小结：
（1）由学生谈谈本节课学到了哪些知识？学后有何感受？
（2）由学生说说在积分问题中有哪些基本等量关系？

1.布置作业：：从教材习题3.4中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

积分问题的解题思路告诉我们：表格数据能够给我们提供重要的解题信息，而利用方程解决这类问题不仅可求得具体数值，而且还可以进行推理判断.另外，用方程解决实际问题时要注意让学生进行检验.由于本课时的学习有了上一课时作为基础，所以教学时教师应注意让学生进行独立思考并合作交流，而教师仅起引导作用.




第4课时 分段计费与最优方案问题

1.学生通过旅游、选灯、用电、水费、用气、电信等问题的方案设计，弄清各类问题中的等量关系，掌握用方程来解决一些生活中的实际问题的技巧.
2.通过一个开放式的空间，放手让学生去探索，去发现，培养学生分析问题和用方程去解决实际问题的能力.
3.让学生在生动活泼的问题情境中感受数学的应用价值，产生对数学的兴趣，养成认真倾听他人发言的习惯，感受与同伴交流的乐趣.
【教学重点】
引导学生弄清题意，设计出各类问题的最佳方案.
【教学难点】
把生活中的实际问题抽象出数学问题.

一、情境导入,初步认识
生活中，有许多问题的解决有多种多样的方案，而这些方案中有的较好、有的欠佳，这就需要我们根据实际情况从中找出最佳方案.本课时的内容就是围绕这一话题展开的，下面我们给出了几个生活中常见的问题，教师让学生分成三组进行讨论，并在10分钟后，小组选派代表交流发言.
问题1 电价问题
据我们调查，我市居民生活用电价格为每天7时到23时每度0.47元，每天23时到第二天7时每度0.25元.请根据你家每月用电情况，设计出用电的最佳方案.
问题2水费问题
我市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元／吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.8元／吨收费，超过20吨部分按1.3元／吨收费，某月甲户比乙户多交水费3.75元，已知乙户交水费3.15元.
问：(1)甲、乙两户该月各用水多少吨？（自来水按整吨收费）
(2)根据你家用水情况，设计出最佳用水方案.
问题3用气问题
某市按下列规定收取每月的煤气费：用煤气如果不超过60m3，按每立方米0.8元收费；如果超过60m3，超过部分按每立方米1.2元收费.怎样用气最节约？请设计出方案来.
【教学说明】以上三个问题均是与本课时内容相关的问题，学生对于这三个问题的发言肯定有所欠缺，教师要予以鼓励并加以补充，只要学生有根据实际情况选择最佳方案这种意识并能大致说出方案即可.因为下面的栏目中将具体探讨选择方案的问题.
二、思考探究，获取新知
探究 电话计费问题（教材第104~105页探究3）
【教学说明】在和学生共同探究这个问题之前，教师应事先向学生普及一下电话计费方面的问题，如什么叫“月使用费”、“主叫”或“被叫”，电话计费目前怎么操作的，然后设计几个问题，让学生循序渐进地逐步深入.
设问1：观察表格，你认为电话计费与什么有关？
学生对此作出回答，教师予以点明：电话计费与主叫时间有关.
设问2：当一个月内通话150分钟和350分钟时，按两种计费方法各需多少元？
教师让两个学生分别作答，教师给予点拨：
当t=150时，按方式一应交58元，按方式二应交88元.
当t=350时，按方式一[58+0.25×（350-150）]，应交108元，按方式二应交88元.
【教学说明】此处讲解时，教师可画图以帮助学生理解.

设问3：当t小于150、t大于150且小于350或t大于350时，按两种计费方式各需交多少元？
教师可结合图进行分析，并及时与学生互动.
当t小于150时，按方式一和方式二应分别交58元、88元.
当t大于150且小于350时，按方式一应交58+0.25(t-150)元，按方式二应交88元.
当t大于350时，按方式一应交58+0.25（t-150）元，按方式二应交88+0.19(t-350)元.
设问4：有没有一个时间点，按两种方式交费都是一样的？
此处教师应让学生找出这个时间点，然后解这个方程.
即58+0.25(t-150)=88.
解得t=270.
注意如有学生认为当t大于350时交费一样，教师可让学生先解这个方程，然后从实际角度回答这是不可能的.
设问5：你知道如何选择方案最省钱？
教师引导学生通过设问4让学生回答：
当t<270时，选择方式一省钱；
当t=270时，选择方式一和方式二是一样的；
当t>270时，选择方案二省钱.
【教学说明】通过这个问题的探究，旨在让学生掌握解决有关按照实际问题选择最佳方案的思路，教学时，教师应注重与学生进行互动，最大限度地调动学生的积极性.
三、典例精析，掌握新知
例 某地上网有两种收费方法，用户可以任选其一：A计时制：1元/小时，B包月制：80元/月，此外，每一种上网方式都加收通讯费0.1元/小时.
（1）某用户每月上网40小时，选用哪种上网方式比较合算？
（2）某用户每月有100元钱用于上网，选用哪种上网方式比较合算？
（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式.
【分析】（1）分别计算出两种上网方式上网40小时的消费额，进行比较；（2）分别计算出两种方式下的上网时间，进行比较；（3）设每月上网m小时两种上网方式的消费额相等，再进行分析.
解：（1）如果用户每月上网40小时，则选择A需支付40×（1+0.1）=44（元），选择B需支付80+40×0.1=84（元）.
因为44<84，所以选用A方式比较合算.
（2）设用户选择A方式用100元可以上网x小时，选择B方式用100元可以上网y小时.
由题意，得（1+0.1）x=100，80+0.1y=100.
解得x=100011，y=200.
因为100011≈91<200，所以选用B方式较合算.
（3）设每月上网m小时两种上网方式的消费额相等.
由题意，得(1+0.1)m=80+0.1m.
解得m=80.
故当每月上网不足80小时时，选用A上网方式比较合算；当每月上网80小时时，两种上网方式的消费额相等；当每月上网超过80小时时，选用B方式比较合算.
四、运用新知，深化理解
1.教材第106页练习第2题.
2.甲种货车和乙种货车的载重量及每种车运费如下表所示，现有货物13吨，要求一次装完，并且每辆车要满载，探究怎样安排运费最省？需要多少钱？

甲
乙
载重量（吨/辆）
3
2
运费（元/辆）
50
40
【教学说明】这两道题中，第2题稍难，教师要提示学生先要用含x的式子表示出安排乙种货车要多少辆，然后根据题意列方程.
【答案】1.当复印张数为60页时，两处的收费相同.
2.安排3辆甲种车和2辆乙种车，运费最省，需230元.
五、师生互动，课堂小结
教师先对前面各小组交流的方案进行简单评价作出小结，小结过程中，注意结合问题本身.

1.布置作业：：从教材习题3.4中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

课程改革的目的之一是促进学生学习方式的转变，加强学生学习的主动性和探究性，本章内容涉及大量的实际问题，丰富多彩的问题情境和解决实际问题的快乐更容易激起学生对数学的兴趣.在本课时中，引导学生从身边的移动电话收费，旅游费用等问题展开探究，使学生在现实、富有挑战性的问题情境中经历多角度认识问题，多种策略思考问题，培养探索精神和创新意识.








本章复习

1.能够熟练地解一元一次方程；能够准确找出实际问题中的等量关系，建立方程模型；能够在解决实际问题的过程中，判断一个方程的解的合理性.
2.能够体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，并在发现问题和解决问题的过程中寻求一种探究建立模型的方法.
3.能够从日常生活中发现和提出与方程相关的问题，并尝试从不同的角度寻求解决问题的方法.
4.敢于面对解方程和建立方程模型过程中的各种困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，对学习一元一次方程充满信心.
【教学重点】
方程的解法以及对列方程解实际问题的掌握.
【教学难点】
有效地分析实际问题中的等量关系，并准确建立方程模型.
一、 知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解
1.移项是解方程的关键步骤，但很多同学容易出现移项不变号，导致解题的错误.出现这种错误的主要原因是对移项认识和理解不深.因此，在移项时应注意以下两点：
（1）移项的理论依据是等式的性质1；
（2）移项法则——“移项必变号”.
例1 解方程：3x+2=-x-6.
【分析】解决本题的关键是移项时符号要改变.-x从等号右边移到左边应为x；+2从等号左边移到右边应为-2.
解：移项，得3x+x=-6-2.
合并同类项，得4x=-8.
系数化为1，得x=-2.
2.去分母时，漏乘不含分母的项，这是出错最多的地方，错误地认为含分母的项乘各分母的最小公倍数就可以了.去分母的理论依据是等式的性质2；去分母的方法是将方程两边的每一项都乘各分母的最小公倍数；去分母的目的是将分数系数的方程转化为整数系数的方程，为解方程的计算带来方便.另外，当分子是多项式时，不要忽略了分数线的括号作用.
例2 解方程：.
【分析】易出错的地方有三处：（1）去分母时，将方程两边都乘12，常数项5易漏乘；（2）去括号时，也易漏乘，如2（x+3)=2·x+2×3=2x+6,而易错写为2x+3；（3）忽略分数线的括号作用.
解：去分母，得3x-6(x-1)+60=2(x+3).
去括号，得3x-6x+6+60=2x+6.
移项，得3x-6x-2x=6-6-60.
合并同类项，得-5x=-60.
系数化为1，得x=12.
三、典例精析，复习新知
1.解一元一次方程
在解一元一次方程时，有时可根据方程特点，采用灵活的解题策略，不仅可以使问题化繁为简，而且有助于培养学生的观察能力与创新思维.

【分析】分母都是小数,不方便计算,应先利用分数基本性质把它化为整数.

即8t-3-25t+4=12-10t+3.
化简整理,解得:-7t=14.
所以t=-2.
【教学说明】化分母的小数为整数与去分母不同,它是应用分数的基本性质,只要同时把分子,分母扩大相同的倍数,分数值就不变,这个过程只在每一个分数内部进行,而不涉及分数以外的其他项.

故x+2=3.所以x=1.
【教学说明】方程中有多层括号,各分母的最小公倍数是个非常大的数,无论是按常规去分母,或去括号,都不是容易的事,所以得另找蹊径,巧妙求解,采用从大到小逐层去括号的方法.
2.运用一元一次方程解决实际问题.
例3 小明、小亮两人相距40km，小明先出发1.5h，小亮再出发，小明在后，小亮在前，两人同向而行，小明的速度是8km/h，小亮的速度是6km/h，小明出发后几小时追上小亮？
【分析】如图，小明和小亮同向而行相距40km，小明先出发1.5h（注意此时小亮没有出发）后，小亮才出发和小明同向而行.后来小明追上了小亮.这样，寻求到等量关系：小明走的路程-小亮走的路程=两人原来的距离.

解：设小明出发xh后追上小亮，于是得方程8x-6(x-1.5)=40.
解得x=15.5.
答：小明出发15.5h后追上小亮.
例4在一次有12支球队参加的足球循环赛中（每两队必须赛一场），规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负的场数多两场，结果得18分，那么该队胜了几场？
【分析】由题意可知这支球队进行了11场比赛，若设胜了x场，则负的场数应为x-2，平的场数应为11-x-(x-2)，再根据列方程可求得.
解：设胜了x场，则负的场数应为(x-2)场，平的场数应为11-x-（x-2）=(13-2x)场.
则依题意可知3x+1×(13-2x)+0×(x-2)=18
解得x=5
答：该队胜了5场.
例5在商品市场上经常可以听到小贩的叫卖声和顾客的讨价还价声：“原价10元一个的玩具车打八折，快来买啊”，“能不能再便宜2元？”如果小贩真的让利（便宜）2元卖了，他还能获利20%，求一个玩具车进价是多少元？
【分析】在处理这类问题时，往往会用到下列两个公式：利润=进价×利润率，售价-成本（进价）=利润.
解：设一个玩具车进价是x元.
根据题意，得x×20%=10×0.8-2-x.
解得x=5.
则一个玩具车进价是5元.
【教学说明】上述例题只是对本章中具有代表性的问题进行了阐述，并未完全覆盖所有知识点及题型，教师教学时应注意适当补充和拓展.
四、复习训练，巩固提高
1.当x=_______时，的值是5/4.
2.解方程1－=得下列各式，其中变形正确的是（ ）
A. 1－=
B.3－30x=x
C.3－30x=10x
D.6－20x=3x
3.已知x=1是方程的解,则2k+3的值是( )
A.-2
B.2
C.0
D.-1
4.解下列方程:

5.当k为何值时,关于x的方程+k的解为1?
6.某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，制作甲、乙两种无盖的长方体小盒（如图）.现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？


【教学说明】以上几题供教师进行本章复习时组织学生练习.前5题让学生独立思考，自主完成，第6题稍难，教师应提示制作乙种小盒的个数是，然后再让学生动手做题.
【答案】1. 3 2.C 3.D
4.(1)x=-9.2 (2)x=36/7 (3)k=0 (4)x=3或-7/3
5.k=5/2
6.解：设制作甲种小盒x个，则制作乙种小盒150-x2个，由题意得：
4x+3×=300.
去分母，得8x+3(150-x)=600.
去括号，得8x+450-3x=600.
移项，得8x-3x=600-450.
合并同类项，得5x=150.
系数化为1，得x=30.
乙种小盒的个数为==60.
答：可以制作甲种小盒30个，乙种小盒60个.
五、师生互动，课堂小结
教师向学生提问：
通过本节课的复习，你有什么收获和体会？说说看.

1.布置作业：：从教材复习题3中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

本课时的复习目的是使学生进一步系统掌握方程知识，用一元一次方程解决实际问题的基本技能和基本方法，进一步提高综合应用数学知识、灵活地分析和解决问题的能力.要抓住应用问题的基本类型和一般等量关系，利用知识间的联系加强理解，便于实际应用，提高计算能力.
在选择训练习题时应注意筛选加强基础和提高能力、发展智力并举的问题，全面复习又要突出重点.教师指导学生练习时，更要针对学生普遍存在的易错点进行指导.