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2023-2024学年湖南重点中学联考高三（上）月考数学试卷（一）（含解析）
展开这是一份2023-2024学年湖南重点中学联考高三（上）月考数学试卷（一）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设A={x|x+1x≤3}，B={x|x2≤9}，则A∩B中整数个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 已知母线长为5的圆锥的侧面积为20π，则这个圆锥的体积为( )
A. 12πB. 16πC. 24πD. 48π
3. 若△ABC是锐角三角形，则复数z=(csB−sinA)+i(sinB−csA)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 已知OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A. a−b+c−d=0B. a−b−c+d=0
C. a+b−c−d=0D. a+b+c+d=0
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n∈N*)，则有( )
A. {an}为等差数列B. {an}为等比数列C. {Sn}为等差数列D. {Sn}为等比数列
6. 为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%.那么此人在开车前至少要休息(参考数据：lg2≈0.301，1g3≈0.477)( )
A. 4.1小时B. 4.2小时C. 4.3小时D. 4.4小时
7. 已知函数f(x)的定义域为R，设f(x)的导数是f′(x)，且f(x)⋅f′(x)+sinx>0恒成立，则( )
A. f(π2)
C. |f(π2)|<|f(−π2)|D. |f(π2)|>|f(−π2)|
8. 若正三棱锥P−ABC满足|AB+AC+AP|=1，则其体积的最大值为( )
A. 172B. 184C. 196D. 1108
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，且1a>1b，则ab<0B. 若a
10. 设正方体ABCD−A1B1C1D1中A1B1，BB1，BC的中点分别为E，F，G，则( )
A. ∠EFG=4∠EGF
B. 平面EGF与正方体各面夹角相等
C. E，F，G，D1四点共面
D. 四面体C−EFG，D1−EFG体积相等
11. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(x0)=f(x0+1)= 22，且f(x)在(x0,x0+1)上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是( )
A. f(x0+12)=1
B. 若x0=0，则f(x)=sin(πx+π4)
C. f(x)的最小正周期为4
D. f(x)在(0,2024)上的零点个数最少为1012个
12. 已知直线y=a与曲线y=xex相交于A，B两点，与曲线y=lnxx相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则( )
A. x2=aex2B. x2=lnx1C. x3=ex2D. x1+x3>2x2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线f(x)=(x+a)ex在点(0,f(0))处的切线与直线y=−12x垂直，则a= ______ ．
14. 若圆(x−1)2+(y−1)2=2关于直线y=kx+3对称，则k的值是______ ．
15. 如图，正四棱锥P−ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形.若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为 ．
16. 已知数列{an}的各项均为非零实数，其前n项和为Sn，a1=1，且对于任意的正整数n均有Sn+1+Sn=an+12．
(1)若a3=−2，则a2= ______ ；
(2)若a2023=−2022，则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是an= ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BCD=135°，BD= 5CD= 10．
(Ⅰ)求sin∠CBD的值；
(Ⅱ)若△ABD的面积为4，求AD的长．
18. (本小题12.0分)
已知数列{an}满足a1=12，当n≥2时，an=nan−1+1n+1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：a2a1+a3a2+……+an+1an
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AF⊥平面ABCD，AF//DE，AB=AF=2DE=2，M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面α与FC，EC分别交于P，Q两点．
(1)若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ，并说明P，Q的位置及作法理由；
(2)线段BF上是否存在点M，使得直线AC与平面α所成角的正弦值为 1010？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由．
20. (本小题12.0分)
2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》.对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x∈N且100≤x≤275)，调整后研发人员的年人均投入增加(4x)%，技术人员的年人均投入调整为a(m−2x25)万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点F1，F2在x轴上，离心率为12，点P在C上，且△PF1F2的周长为6．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M(4,0)的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，求△ABE的面积的最大值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=(x−a)(ex+1)，g(x)=axlnx+x+e−2(a∈R)，设max{m,n}表示m，n的最大值，设F(x)=max{f(x),g(x)}．
(1)讨论f′(x)在(0,+∞)上的零点个数；
(2)当x>0时F(x)≥0，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵A={x|x+1x≤3}，B={x|x2≤9}={x|−3≤x≤3}，
∴集合B中元素包含的整数有−3，−2，−1，0，1，2，3．
以上整数满足集合A中不等式的有−3，−2，−1，1，2，
故A∩B中整数个数为5，
故选：D．
由题意，先求出集合B，可得B中的元素，带入集合A中检验，可得A∩B中整数个数．
本题主要考查不等式的解法，求集合的交集，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，
∵圆锥的侧面积为20π，
∴5πr=20π，∴r=4，
∴h= 25−r2=3，
∴V=13πr2h=π3×16×3=16π．
故选：B．
根据圆锥的侧面积与体积公式，即可求解
本题考查圆锥的侧面积与体积公式，方程思想，属基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
根据三角形是锐角三角形，得到A+B>90°，变形为B>90°−A，根据三角函数在第一象限的单调性，得到csB
本题考查复数和三角函数的问题，复数的几何意义，属于基础题．
【解答】
解：∵△ABC为锐角三角形，
∴A+B>90°，B>90°−A，
∴csB
∴csB−sinA<0，sinB−csA>0，
∴z对应的点在第二象限．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的运算，解题时要结合实际情况注意公式的灵活运用，属于基础题．
观察四个选取项，由题设条件知a−b+c−d=BA+CD=0．
【解答】
解：∵在平行四边形ABCD中OA=a,OB=b,OC=c,OD=d，
∴a−b+c−d=BA+DC=0．
故答案选：A．
5.【答案】D
【解析】解：由题意，数列{an}的前n项和满足an+1=2Sn(n∈N*)，
当n≥2时，有an=2Sn−1，两式相减可得：
an+1−an=2(Sn−Sn−1)=2an，即an+1=3an，
则有an+1an=3(n≥2)，又a1=1，
当n=1时，a2=2S1=2，所以a2a1=2，
所以数列{an}的通项公式为an=1,n=12⋅3n−2,n≥2，
故数列{an}既不是等差数列也不是等比数列，
当n≥2时，Sn=12an+1=3n−1，
又n=1时，S1=a1=1，适合上式，
所以Sn=3n−1，n∈N*，
又由Sn+1Sn=3，可得数列{Sn}为公比为3的等比数列，
综上可得选项D正确．
故选：D．
由递推式a1=1，an+1=2Sn可推得式为an=1,n=12⋅3n−2,n≥2，可判定AB选项；根据条件得出Sn=3n−1，可判定CD选项．
本题考查数列递推式，考查等比数列的定义，属中档题．
6.【答案】B
【解析】解：设经过x小时，血液中的酒精含量为y，
则y=0.3×(1−25%)x=0.3×0.75x，
由0.3×0.75x≤0.09，得0.75x≤0.3，
则xlg0.75≤lg0.3，
因为lg0.75<0，所以x≥−1lg3−lg4≈0.477−10.477−0.602=523125=4.184≈4.2，
所以开车前至少要休息4.2小时，
故选：B．
设经过x小时，血液中的酒精含量为y，由题意可知y=0.3×0.75x，再令y≤0.09结合对数的运算性质求出x的最小值即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是中档题．
7.【答案】D
【解析】解：设g(x)=f2(x)−2csx，
∵f(x)⋅f′(x)+sinx>0恒成立，
∴g′(x)=2f(x)⋅f′(x)+2sinx>0，
∴y=g(x)在定义域上是增函数，
∴g(π2)>g(−π2)，
即f2(π2)>f2(−π2)，
∴|f(π2)|>|f(−π2)|．
故选：D．
构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用函数单调性比较大小，即可求解．
本题考查导数的综合应用，构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设正三棱锥的底边长为a，侧棱长为b，
∵1=|AB+AC+AP|2=a2+a2+b2+2a2×12+2ab×a2b+2ab×a2b=5a2+b2，
又VP−ABC=13⋅S△ABC⋅h=13⋅ 34a2⋅ b2−13a2=112 3a4−16a6，0
当x∈( 24, 34)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
∴f(x)在(0, 34)上存在唯一的极值点x= 24，且在x= 24时取得最大值为164．
故正三棱锥P−ABC体积的最大值为196．
故选：C．
先根据向量数量积的运算的性质，三棱锥的体积公式，建立函数模型，最后利用导数即可求解．
本题考查三棱锥的体积的最值的求解，函数建模，导数的应用，函数思想，属中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，1a−1b=b−aab>0，又b−a<0，故ab<0，A正确．
对于B，若a
对于C，ac−a−bc−b=ac−ab−bc+ab(c−a)(c−b)=(a−b)c(c−a)(c−b)，
由c>a>b>0可得c−a>0，c−b>0，a−b>0，
∴(a−b)c(c−a)(c−b)>0，∴ac−a>bc−b，C错误．
对于D，∵a>b>c>0，∴a−b>0，b+c>0
则ab−a+cb+c=ab+ac−ab−bcb(b+c)=(a−b)cb(b+c)>0，
∴ab>a+cb+c，D正确．
故选：AD．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：正方体ABCD−A1B1C1D1中A1B1，BB1，BC的中点分别为E，F，G，
不妨设正方体的棱长为2a，
则FG= 2a，EF= 2a，EG= 6a，
所以cs∠EFG=2a2+2a2−6a22× 2a× 2a=−12，
从而∠EFG=120°，∠EGF=30°，故∠EFG=4∠EGF，故A正确；
由于平面EGF//平面CD1B1，又平面CD1B1的一个法向量C1A与正方体各面的夹角相等，
即平面EGF与正方体各面夹角相等，故B正确；
由于FG与ED1异面，∴E，F，G，D1四点不共面，故C错误；
由于CD1//平面EFG，∴C、D1到平面EFG距离相等，故选项D正确．
故选：ABD．
对于A，设正方体的棱长为2a，推导出∠EFG=120°，∠EGF=30°，从而∠EFG=4∠EGF；对于B，由于平面EGF//平面CD1B1，平面CD1B1的一个法向量C1A与正方体各面的夹角相等，从而平面EGF与正方体各面夹角相等；对于C，FG与ED1异面；对于D，CD1//平面EFG，从而C、D1到平面EFG距离相等．
本题考查正方体结构特征、二面角定义、异面直线、四面体体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A项，由题意得，f(x)在(x0,x0+1)的区间中点处取得最大值，
所以f(x0+x0+12)=f(x0+12)=1，所以A正确；
对于B项，假设若x0=0，则f(x)=sin(πx+π4)成立，由A项知，f(12)=1，
而而f(12)=sin3π4= 22≠1，故假设不成立，则B项错误；
对于C项，f(x0)=f(x0+1)= 22，且f(x)在(x0,x0+1)上有最大值，无最小值，
不妨令ωx0+φ=−34π+2kπ，ω(x0+1)+φ=π4+2kπ，k∈Z，
则两式相减，得ω=π2，即函数的最小正周期T=2πω=4，故C项正确；
对于D项，因为T=4，所以函数f(x)在区间(0,2024)上的长度恰好为506个周期，
当f(0)=0，即φ=kπ，k∈Z时，f(x)在区间(0,2024)上的零点个数至少为506×2−1=1011个，故D项错误．
故选AC．
根据三角函数的周期性、零点、最值、对称轴等知识确定正确答案．
本题考查三角函数的性质的应用及函数的零点的求法，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：直线y=a与曲线y=xex相交于A，B两点，与曲线y=lnxx相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，
设f(x)=xex，得f′(x)=1−xex，x∈(−∞,0)，f′(x)>0，函数是增函数，x∈(1,+∞)，f′(x)<0，函数是减函数，则f(x)max=f(1)=1e．
设g(x)=lnxx，得g′(x)=1−lnxx2，x∈(0,e)，g′(x)>0，函数是增函数，x∈(e,+∞)，g′(x)<0，函数是减函数，则g(x)max=f(e)=1e，
从而可得0
由前面知x1=lnx2，ex2=x3，得x1x3=ex2lnx2，又由x2ex2=lnx2x2=a，得ex2=x2a，lnx2=ax2，则x1x3=x22，x1+x3>2 x1x3=2x2.故D正确．
故选：ACD．
通过构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值，推出x1，x2，x3，的范围，利用已知条件，判断选项的正误即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，函数的零点的应用，是难题．
13.【答案】1
【解析】解：由f(x)=(x+a)ex，得f′(x)=(x+a+1)ex，
∴f′(0)=a+1，
∵f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线y=−12x垂直，
∴a+1=2，解得a=1．
故答案为：1．
求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，利用两直线垂直与斜率的关系列式求解a值．
本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
14.【答案】−2
【解析】解：由题意知直线y=kx+3过圆心(1,1)，即1=k+3，
解得k=−2．
故答案为：−2．
根据题意可得直线y=kx+3过圆心(1,1)，由此得解．
本题考查圆关于直线的对称问题，属于基础题．
15.【答案】 318
【解析】【分析】
本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力．
连接PO，BD，取CD的中点E，连接PE，OE，过O作OH⊥PE于H.说明PO⊥底面ABCD，设AB=4，求出PO，设球M的半径为R，半球O的半径为R0.则R=2 2.然后转化求解半球O的体积与球M的体积的比值．
【解答】
解：如图，连接PO，BD，取CD的中点E，连接PE，OE，过O作OH⊥PE于H.易知PO⊥底面ABCD，
设AB=4，则BD= BA2+BC2=4 2，BO=12BD=2 2，PO= BP2−BO2=2 2．
则O为球M的球心，
设球M的半径为R，半球O的半径为R0.则R=2 2.易知R0=OH．
在等边三角形PCD中，PE= 42−22=2 3
由Rt△PHO∽Rt△POE
则R0R=OHPO=OEPE=1 3，
故V半球OV球M=12×4πR0334πR33=12(R0R)3= 318．
故答案为： 318．
16.【答案】2 n,1≤n≤20222022⋅(−1)n,n≥2023(答案不唯一)
【解析】解：(1)由已知，当n=2时，有2a1+2a2+a3=a32，
又a1=1，a3=−2，代入上式，解得a2=2；
(2)由已知，Sn+1+Sn=an+12，得2Sn=an+12−an+1，
当n≥2时，2an=2(Sn−Sn−1)=(an+12−an+1)−(an2−an)，
即(an+1+an)(an+1−an−1)=0，所以an+1=−an或an+1=an+1，
又a1=1，a2023=−2022，所以an=n,1≤n≤20222022⋅(−1)n,n≥2023(答案不唯一)．
由a1=1，a3=−2及Sn+1+Sn=an+12可求得a2的值；再由递推式经过变形代换，可得出an+1=−an或an+1=an+1，任选一种关系即可写出通项公式．
本题考查了由数列递推式求数列通项的方法，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)在△BCD中，由正弦定理知，BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，
所以BD⋅sin∠CBD=CD⋅sin∠BCD，
因为∠BCD=3π4，BD= 5CD= 10，
即sin∠CBD= 1010．
(Ⅱ)因为sin∠CBD= 1010，所以cs∠CBD=3 1010，
所以sin∠ABD=sin(π4−∠CBD)= 55，
所以cs∠ABD=2 55，
因为S△ABD=12AB⋅BD⋅sin∠ABD=4，所以AB=4 2，
所以AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cs∠ABD=10，
所以AD= 10．
【解析】(I)由已知结合正弦定理即可直接求解；
(II)由已知结合和差角公式及三角形面积公式可先求AB，然后结合余弦定理可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为an=nan−1+1n+1，
所以(n+1)an=nan−1+1，
即(n+1)an−nan−1=1，
所以数列{(n+1)an}为等差数列，其中首项为2a1=1，公差d=1，
所以(n+1)an=n，
所以an=nn+1．
(2)证明：因为an+1an=(n+1)2n(n+2)=1+1n(n+2)=1+12(1n−1n+2)，
所以a2a1+a3a2+⋯+an+1an=[1+12(1−13)]+[1+12(12−14)]+⋯+[1+12(1n−1n+2)]=n+12(1+12−1n+1−1n+2)
(2)采用裂项相消法求和可证结论．
本题考查了数列的递推式和数列的求和，属于中档题．
19.【答案】解：(1)如图，取P为FC的中点，Q为EC靠近点E的三等分点，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，∴AD//BC，又BC⊂平面FBC，AD⊄平面FBC，
∴AD//平面FBC，又平面ADM∩平面FBC=MP，M为FB的中点，
∴AD//MP，且P为FC的中点．
由题意知，平面ABF//平面DCE，平面ADM∩平面DCE=DQ，
又AM平分∠FAB，∴DQ平分∠EDC，
又EDDC=12，∴Q为EC的三等分点，且QC=2EQ，从而作出线段PQ；
(2)由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，
∴BF=(−2,0,2)，AD=(0,2,0)，AC=(2,2,0)，
设BM=λBF(0<λ≤1)，则M的坐标为(2−2λ,0,2λ)．
设平面DAM的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AM=(2−2λ)x+2λz=0m⋅AD=2y=0，取m=(1,0,1−1λ)，
设直线AC与平面α所成角为θ，则sinθ=|cs〈m,AC〉|=|m⋅AC||m||AC|，
假设存在点M使得直线AC与平面α所成角的正弦值为 1010，
则有|m⋅AC||m||AC|=22 2⋅ 1+(1−1λ)2= 1010，解得λ=13，MB=2 23，
∴线段BF上存在点M，位于靠近点B的三等分点处，使得直线AC与平面α所成角的正弦值为 1010．
【解析】(1)根据线面平行的判定定理，面面平行的性质定理，即可求解；
(2)建系，利用向量法向量夹角公式，方程思想，即可求解．
本题考查线面平行的判定定理，面面平行的性质定理，线面角的求解，属中档题．
20.【答案】解：(1)某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x∈N且100≤x≤275)，调整后研发人员的年人均投入增加(4x)%，技术人员的年人均投入调整为a(m−2x25)万元，
可得调整后研发人员的年人均投入为[1+(4x)%]a万元，
则(400−x)[1+(4x)%]a≥400a，(a>0)，整理得0.04x2−15x≤0，
解得0≤x≤375，
因为x∈N且100≤x≤275，所以100≤x≤275，故125≤400−x≤300，
所以要使这(400−x)名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为125人；
(2)由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得(400−x)[1+(4x)%]a≥x(m−2x25)a，
上式两边同除以ax得(400x−1)(1+x25)≥m−2x25，整理得m≤400x+x25+15；
由条件②由技术人员年人均投入不减少，得a(m−2x25)≥a，解得m≥2x25+1；
假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
即2x25+1≤m≤400x+x25+15(100≤x≤275)恒成立，
因为400x+x25+15≥2 400x⋅x25+15=23，
当且仅当400x=x25，即x=100时等号成立，所以m≤23，
又因为100≤x≤275，当x=275时，2x25+1取得最大值23，所以m≥23，
所以23≤m≤23，即m=23，
即存在这样的m满足条件，其范围为m∈{23}．
【解析】(1)根据题意，得到(400−x)[1+(4x)%]a≥400a，解得0≤x≤375，结合条件100≤x≤275，可求得125≤400−x≤300，由此可知调整后的研发人员的人数最少为125人；
(2)由条件①得m≤400x+x25+15，由条件②得m≥2x25+1，假设存在m同时满足以上两个条件，则上述不等式恒成立，进而求得23≤m≤23，即m=23，故确定存在m，且m∈{23}．
本题考查了利用给定函数模型解决实际问题，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1，
∵离心率为12，即e=ca=12，则a=2c．
∵△PF1F2的周长为6，则|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6，
∴2a+2c=6，即a+c=3．
于是2c+c=3，解得c=1，则a=2，b= a2−c2= 3．
∴椭圆C的标准方程是x24+y23=1．
(2)设直线l的方程为x=ty+4(t≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=ty+4x24+y23=1，消去x整理得(3t2+4)y2+24ty+36=0．
则y1+y2=−24t3t2+4，y1y2=363t2+4．
∵点B，D关于x轴对称，则D(x2,−y2).设点E(x0,0)，
∵A，E，D三点共线，则kAE=kDE，即y1x1−x0=−y2x2−x0，
即y1(x2−x0)=−y2(x1−x0)，即y1x2+y2x1=x0(y1+y2)，
得x0=y1x2+y2x1y1+y2=y1(ty2+4)+y2(ty1+4)y1+y2
=2ty1y2+4(y1+y2)y1+y2=2ty1y2y1+y2+4=−2t×3624t+4=1．
∴点E(1,0)为定点，|EM|=3．
S△ABE=|S△AME−S△BME|=12|EM|⋅|y1−y2|=32 (y1+y2)2−4y1y2
=32 (24t3t2+4)2−4×363t2+4=18 t2−43t2+4．
令 t2−4=m(m>0)，则S△ABE=18m3(m2+4)+4=18m3m2+16=183m+16m≤9 3m⋅16m=3 34，
当且仅当m=4 33时取等号，∴△ABE的面积的最大值为3 34．
【解析】(1)根据离心率的公式、椭圆定义和a2=b2+c2，求a，b，c即可得到椭圆方程；
(2)设直线l的方程，联立直线l和椭圆方程，根据韦达定理、A，E，D三点共线和点B点D关于x轴对称，得到点E(1,0)，然后利用割补的思路得到S△ABE=18 t2−43t2+4，最后利用换元和基本不等式的方法求最值即可．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，圆锥曲线中的最值问题，考查运算求解能力，属于难题．
22.【答案】解：(1)f′(x)=(x−a+1)ex+1，
令m(x)=(x−a+1)ex+1，则m′(x)=(x−a+2)ex，
当x
∴m(x)在(−∞,a−2)上单调递减，在(a−2,+∞)上单调递增．
对a分类讨论：
当a>2时，m(x)在(0,a−2)上单调递减，在(a−2,+∞)上单调递增．
∴m(x)的最小值为m(a−2)=1ea−2<0，而m(0)=2−a<0，m(a)=ea+1>0，
∴∃x0∈(a−2,a)，使得m(x0)=0，∴m(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点．
当a≤2时，m(x)在(0,+∞)上单调递增，m(x)>m(0)=2−a≥0，f′(x)无零点．
综上所述，当a≤2时，f′(x)在(0,+∞)上无零点；
当a>2时，f′(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点．
(2)(i)当a≤0时，f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，显然F(x)≥0；
(ii)当a>0时，若0
∵g(x)=axlnx+x+e−2，∴g′(x)=alnx+a+1．
令g′(x)>0，则x>e−1−1a；令g′(x)<0，则0
不妨令t=−1−1a，则a=−1t+1(t<−1)，则e−1−1a−a=et+1t+1=(t+1)et+1t+1．
令p(t)=(t+1)et+1，p′(t)=(t+2)et，
可得p(t)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,−1)上单调递增，
∴p(t)≥p(−2)=−e−2+1>0，∴e−1−1a
∴g(x)的最小值为g(e−1−1a)=a(e−1−1a)+e−2=e−2+ett+1．
令q(t)=ett+1+e−2(t<−1)，∴q′(t)=tet(t+1)2<0，∴q(t)在(−∞,−1)上单调递减，而q(−2)=0，
∵g(x)≥0在(0,a)上恒成立，∴q(t)≥0，∴t≤−2，即−1−1a≤−2，∴0
【解析】(1)f′(x)=(x−a+1)ex+1，令m(x)=(x−a+1)ex+1，可得m′(x)=(x−a+2)ex，对a分类讨论，可得函数m(x)的单调性与极值，进而得出结论．
(2)对a分类讨论，(i)当a≤0时，f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，可得F(x)≥0；(ii)当a>0时，若0
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