2023-2024学年湖南省多校联考高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省多校联考高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.1+2i1−3i=( )
A. 12+12iB. −12+12iC. 12−12iD. −12−12i
2.已知集合M={x|lg2x<2}，N={x|x2−x−2<0}，则M∩N=( )
A. (0,4)B. (0,2)C. (−1,4)D. (−1,2)
3.若直线经过A(1,0),B(2, 3)两点，则直线AB的倾斜角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
4.函数f(x)=sinx1+csx(x∈(−π,π))的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.如图，边长为2的正方形A′B′C′D′是用斜二测画法得到的四边形ABCD的直观图，则四边形ABCD的面积为( )
A. 3 2
B. 6 2
C. 4 2
D. 8 2
6.已知直线l：y=k(x−1)与圆C：(x−1)2+(y−2)2=5相交于A，B两点，若∠ACB<90°，则实数k的取值范围为( )
A. (− 53, 53)B. (−2 55,2 55)C. (− 155, 155)D. (−23,23)
7.已知−π6,5π6为函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0)的零点，且在区间(−π6,5π6)上f(x)有且仅有两条对称轴，则ω⋅φ可以是( )
A. 5π3B. 7π3C. 8π3D. 10π3
8.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，O为坐标原点，在抛物线C上存在两点A，B(异于原点)，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，若k3=−2k1，则k2k1=( )
A. −34B. −23C. −12D. −32
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：
67 57 37 40 46 62 31 47 31 30
则这组数据的( )
A. 众数是31B. 中位数是40
C. 极差是37D. 10%分位数是30.5
10.如图所示，四边形ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面ABF，E为AB的中点，AF⊥BF，且AB= 2AF=2，则下列结论正确的是( )
A. |CA+CB|=2 5
B. 直线BC到平面ADF的距离为 3
C. 异面直线AD与FC所成角的余弦值为 63
D. 直线AC与平面BCF所成角的正弦值为12
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且a1<0，若a10+a15=a12，则下列命题正确的是( )
A. 数列{an}是递增数列B. a13是数列{an}中的最小项
C. S12和S13是{Sn}中的最小项D. 满足Sn<0的n的最大值为25
12.已知焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线C的实轴长为2 2，过双曲线C的右焦点F且斜率不为零的直线l与双曲线交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，则( )
A. 双曲线的标准方程为x22−y22=1
B. 若直线l的斜率为2，则|AB|=10 23
C. 若点B，A，F依次从左到右排列，则存在直线l使得A为线段BF的中点
D. 直线AD过定点P(1,0)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a，b的夹角的余弦值为14，|a|=2，|b|=4，则a⋅(b−a)= ______ ．
14.若空间向量a=(1,1,1),b=(1,2,1),c=(1,0,m)共面，则实数m= ______
15.已知数列{an}满足a1=1，a2=2，且an+1=an+an+2，则a2029= ______ ．
16.已知点P是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于上下顶点的任意一点，O为坐标原点，过点P作圆O：x2+y2=b2的切线，切点分别为M，N，若存在点P使得∠MPN=90°，则椭圆离心率的最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2ccsC+c2bcsB=ab2+ac2−a3．
(1)求A；
(2)若b+c=2，求a的最小值．
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=2，b1=1，b3=3+a2．
(1)若b2=−2a4，求数列{bn}的通项公式；
(2)若T3=13，求S3．
19.(本小题12分)
已知点P(x0,y0)是双曲线C：x25−y2=1上任意一点．
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)已知点A(4,0)，求|PA|的最小值．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PAB，AD//BC，PA⊥AB，E为侧棱PA上一点，平面BCE与侧棱PD交于点F，且AB=BC=AE=12AD=2，DP与底面ABCD所成的角为45°．
(1)求证：F为线段PD的中点；
(2)求平面PDC与平面PBC的夹角的正弦值．
21.(本小题12分)
给定数列{an}，若满足a1=a(a>0,a≠1)，对于任意的m，n∈N*，都有am+n=am⋅an，则称{an}为“指数型数列”.若数列{an}满足：a1=1，an=2an+1+an⋅an+1；
(1)判断{1an+1}是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(2)若bn=1an+n，求数列{bn}的前n项和Tn．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为12，点A( 33,− 112)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点T(2a,0)作直线l1(直线l1的斜率不为0)与椭圆C相交于M，N两点，过焦点F作与直线l1的倾斜角互补的直线l2，与椭圆C相交于P，Q两点，求|PF|⋅|QF||TM|⋅|TN|的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1+2i1−3i=(1+2i)(1+3i)10=−12+12i．
故选：B．
根据复数四则运算法则计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵M={x|lg2x<2}=(0,4)，N={x|x2−x−2<0}=(−1,2)，
∴M⋂N=(0,2)，
故选：B．
分别解不等式可得集合M与N，进而可得M∩N．
本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵直线经过A(1,0),B(2, 3)两点，
∴直线AB的斜率k= 3−02−1= 3，
设直线的倾斜角为α，∴tanα= 3，
∵α∈[0,π),α≠π2,∴α=60°
∴直线AB的倾斜角α=60°．
故选：C．
由直线经过A(0,1)，B(3,4)两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
4.【答案】A
【解析】解：∵f(x)=sinx1+csx=2sinx2⋅csx22cs2x2=tanx2．
故选：A．
先根据正余弦的倍角公式化简，再判断．
本题考查三角恒等变换，三角函数的图象，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为直观图的面积为S′=22=4，
所以原四边形ABCD的面积为S=2 2S′=2 2×4=8 2．
故选：D．
根据直观图的面积与原图形的面积比为1：2 2，计算即可．
本题考查了平面直观图的面积计算问题，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为C：(x−1)2+(y−2)2=5的圆心为C(1,2)，半径为 5，
过点C作CH⊥AB，垂足为H，如图，
由∠ACB<90°，可得∠ACH<45°，则∠HAC>45°，
所以sin∠HAC=|CH||AC|> 22，可得|CH|> 22|AC|= 102，
因为直线l：y=k(x−1)可化为kx−y−k=0，
所以|CH|=|k−2−k| k2+1> 102，可得− 155故选：C．
结合图形得到|CH|> 102，再利用点线距离公式列式，解之即可得解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：因为−π6,5π6为函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0)的零点，且在区间(−π6,5π6)上有且仅有两条对称轴，
所以T=5π6−(−π6)=π，得ω=2πT=2，
由函数f(x)的零点为−π6，
得2×(−π6)+φ=π2+kπ,k∈Z，
所以φ=5π6+kπ，k∈Z，
当k=0时，φ=5π6，
此时ω⋅φ=5π3．
故选：A．
根据函数零点的概念和三角函数的图象与性质可得T=π，且ω>0可得ω=2πT=2，由2×(−π6)+φ=π2+kπ,k∈Z，取k=0可求φ的值，进而可得结论．
本题主要考查余弦函数的图象与性质，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)且x1，x2≠0，
又A，B两点都在C上，
则y12=2px1,y22=2px2，
则k1=y1x1=y1y122p=2py1,k2=y2x2=y2y222p=2py2，k3=y2−y1x2−x1=y2−y1y222p−y122p=(y2−y1)2p(y2−y1)(y2+y1)=2py1+y2，
由k3=−2k1，
有2py1+y2=−2×2py1，
可得y1y2=−23，
有k2k1=2py22py1=y1y2=−23．
故选：B．
根据题意，设点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，并把k1，k2，k3表示出来，由k3=−2k1得y1y2值，从而得到k2k1．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了斜率公式，属中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：由题意，这组数据按从小到大排列为：30，31，31，37，40，46，47，57，62，67，
则众数为31，选项A正确；
中位数为40+462=43，选项B错误；
极差为67−30=37，选项C正确；
∵10×10%=1，∴10%分位数为30+312=30.5，选项D正确．
故选：ACD．
将这组数据按从小到大排列，分别按众数，中位数，极差和百分位数的定义求解即可．
本题考查统计的应用，考查学生数据分析能力，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由题四边形ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面ABF，E为AB的中点，AF⊥BF，且AB= 2AF=2，
对于A，所以CE2=CB2+BE2，|CA+CB|=2|CE|=2 12+22=2 5，故A正确；
对于B，易知BC/​/AD，BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，
所以BC/​/平面ADF，又AF⊥BF，AD⊥BF，
所以BF⊥平面ADF，
所以直线BC到平面ADF的距离为BF= 2，即B错误；
对于C，异面直线AD与FC所成角即BC与FC所成角，因此余弦值为BCFC= 63，故C正确；
对于D，易知AF⊥平面BCF，即∠AFC=90°，
所以AC与平面BCF所成角的正弦值为AFAC=12，故D正确．
故选：ACD．
根据几何体特征，可利用空间线面位置关系和夹角逐项计算求解即可．
本题考查求异面直线所成的角，求直线与平面的距离，求线面角，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且a1<0，a10+a15=a12，
所以a1+9d+a1+14d=a1+11d，
所以a13=a1+12d=0，因为a1=−12d<0，所以d>0，数列{an}是递增数列，A正确；
对于B：因为数列{an}是递增数列，所以最小项是首项a1，B错误；
对于C：因为a1<0，a13=0，所以当n=12或n=13时，Sn取最小值，C正确；
对于D：由不等式Sn=na1+n(n−1)2d=n(a13−12d)+n(n−1)2d=dn2(n−25)<0，
可得0故选：AC．
对于A：通过a13=0以及a1<0来判断；对于B：根据数列的单调性来判断；对于C：通过a1<0以及a13=0来判断；对于D：通过计算Sn=na1+n(n−1)2d<0来判断．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：设等轴双曲线C的标准方程为x2t2−y2t2=1(t>0)，由双曲线C的实轴长为2 2，可得t= 2，
所以双曲线C的标准方程为x22−y22=1，故A选项正确；
由上知F(2,0)，设直线l的方程为y=2(x−2)，A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
联立方程x22−y22=1y=2(x−2)，消去y后整理为3x2−16x+18=0，
所以Δ=162−4×3×18=40>0，x1+x2=163,x1x2=6，
所以|AB|= (1+22)×[(163)2−4×6]=10 23，故B选项正确；
由点B，A，F依次从左到右排列知x1> 2,x2<− 2，所以x2+22<1− 22< 2，
故不存在直线l使得A为线段BF的中点，故C选项错误；
设直线l的方程为x=my+2，联立方程x22−y22=1x=my+2，
消去x后整理为(m2−1)y2+4my+2=0，所以Δ=16m2−8(m2−1)>0，y1+y2=−4mm2−1,y1y2=2m2−1，
点D坐标为(x2,−y2)，直线AP斜率为y1x1−1=y1my1+1，直线DP斜率为−y2x2−1=−y2my2+1，
若直线AD过定点P，则y1my1+1=−y2my2+1，即2my1y2+y1+y2=0，
而2my1y2+y1+y2=2m2m2−1+−4mm2−1=0恒成立，
所以直线AD过定点P(1,0)，故D选项正确．
故选：ABD．
选项A根据等轴双曲线C的实轴长为2 2即可求出方程；选项B根据弦长公式求解；C选项首先确定B，A分别在双曲线的左、右支，根据横坐标的范围及中点坐标公式即可做出判断；D选项通过验证A，P，D三点共线恒成立得出判断．
本题考查了双曲线的性质，属于难题．
13.【答案】−2
【解析】解：向量a，b的夹角的余弦值为14，|a|=2，|b|=4，
则a⋅b=|a||b|cs=2×4×14=2，
故a⋅(b−a)=a⋅b−a2=2−22=−2．
故答案为：−2．
根据已知条件，结合平面向量的数量积运算，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：由题可知 c=λa+μb，
即 (1,0,m)=λ(1,1,1)+μ(1,2,1)，
所以λ+μ=1λ+2μ=0λ+μ=m，故 m=λ+μ=1．
故答案为：1．
根据空间向量的共面的坐标表示求解．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：a1=1，a2=2，且an+1=an+an+2，
可得a3=a2−a1=2−1=1，a4=a3−a2=1−2=−1，
a5=a4−a3=−1−1=−2，a6=a5−a4=−2−(−1)=−1，
a7=a6−a5=−1−(−2)=1，a8=a7−a6=1−(−1)=2，…，
可得数列{an}是最小正周期为6的数列，
则a2029=a6×338+1=a1=1．
故答案为：1．
计算数列的前几项，推得数列{an}是最小正周期为6的数列，进而可得所求值．
本题考查数列的周期性和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
16.【答案】 22
【解析】解：当∠MPN=90°时，由于M，N为切点，
由勾股定理得|OP|= 2b，
又因为点P在椭圆上，设P(acsθ,bsinθ),θ∈[0,π2)∪(π2,3π2)∪(3π2,2π),
则|OP|= a2cs2θ+b2sin2θ= a2+(b2−a2)sin2θ，
因为sin2θ∈[0,1)，b2−a2<0，所以a2+(b2−a2)sin2θ∈(b2,a2]，
故|OP|∈(b,a]，
因此b< 2b≤a，即2b2≤a2，a2≤2c2，
又离心率e∈(0,1)，解出 22≤e<1．
故答案为： 22．
先得到|OP|= 2b，设P(acsθ,bsinθ),θ∈[0,π2)∪(π2,3π2)∪(3π2,2π)，得到|OP|∈(b,a]，从而得到不等式，求出离心率．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
b2ccsC+c2bcsB=a(b2+c2−a2)=a⋅2bccsA，
所以bcsC+ccsB=2acsA，
即sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA，
即sinA=2sinAcsA⇒csA=12,A∈(0,π)⇒A=π3；
(2)由余弦定理有a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3⋅(b+c2)2=1，
当且仅当b=c=1时取等号，
故a的最小值为1．
【解析】(1)根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可；
(2)应用余弦定理结合基本不等式求值即可．
本题考查了正余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由b3=3+a2，得q2=5+d，
又b2=−2a4，得q=−6d−4，
解得d=−1136q=−136(舍去)或d=−1q=2，
因此数列{bn}的通项公式为bn=2n−1；
(2)由b1=1，T3=13，得q2+q−12=0，解得q=3或−4(舍)，
当q=3时，由q2=5+d得d=4，
则S3=3×2+3×22×4=18．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式；
(2)运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和公式，计算即可得答案．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：双曲线C：x25−y2=1的渐近线方程为x− 5y=0和x+ 5y=0，
由P(x0,y0)是双曲线上一点，可得x02−5y02=5，
则P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是|x0− 5y0| 6⋅|x0+ 5y0| 6=|x02−5y02|6=56(常数)；
(2)|PA|= (x0−4)2+y02= (x0−4)2+x025−1= 65x02−8x0+15= 65(x0−103)2+53，
由y02≥0，可得x02≥5，即x0≥ 5，或x0≤− 5，
则当x0=103≥ 5时，|PA|取得最小值 153．
【解析】(1)求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，结合点P在双曲线上满足双曲线的方程，化简可得定值；
(2)由两点的距离公式和二次函数的最值求法，可得所求最小值．
本题考查双曲线的方程和性质，以及两点的距离的最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：因为AD⊥平面PAB，PA，AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB，AD⊥PA，
又PA⊥AB，且AD∩AB=A，AD，AB⊂面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD，则∠PDA为DP与平面ABCD所成的角，
由∠PDA=45°，有PA=AD=4，所以E为PA中点，
因为AD//BC，BC⊄平面ADP，AD⊂平面ADP，所以BC/​/平面ADP，
又BC⊂平面BCE，平面BCE∩平面ADP=EF，
所以BC/​/EF，所以EF/​/AD，
所以F为线段PD的中点；
(2)解：由(1)知AD，AB，AP两两垂直，以AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,4)，D(4,0,0)，C(2,2,0)，B(0,2,0)，
所以PD−=(4,0,−4),C−D−=(2,−2,0)，设平面PDC的法向量为n1=(x,y,z)，
则n1⋅PD=(x,y,z)⋅(4,0,−4)=4x−4z=0n1⋅CD=(x,y,z)⋅(2,−2,0)=2x−2y=0，取x=1，得到n1=(1,1,1)，
又BC=(2,0,0),BP=(0,−2,4)，
设平面PBC的法向量为n2=(a,b,c)，
则n2⋅BC=2a=0n2⋅BP=−2b+4c=0，取b=2，可得n2=(0,2,1)，
所以|cs|=3 3× 5= 155，
即平面PDC与平面PBC的夹角的余弦值为 155，
所以平面PDC与平面PBC的夹角的正弦值为 105．
【解析】(1)由线面垂直的性质有AD⊥AB，AD⊥PA，再由线面垂直的判定及线面角的定义得∠PDA为DP与平面ABCD所成的角，再证BC/​/平面ADP，最后线面平行的性质证BC/​/EF，进而证结论：
(2)构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的正弦值即可．
本题主要考查了直线与平面平行的判定定理，考查了利用空间向量求平面与平面所成的角，属于中档题．
21.【答案】解：(1){1an+1}是“指数型数列”．
证明：依题意，由an=2an+1+an⋅an+1两边同时乘以1an⋅an+1，
可得1an+1=2an+1，
两边同时加1，
可得1an+1+1=2an+1+1=2(1an+1)，
∴数列{1an+1}是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴1an+1=2n，n∈N*，
则对于任意的m，n∈N*，
都有(1an+1)⋅(1am+1)=2m+n=1an+m+1，
∴{1an+1}是“指数型数列”．
(2)由(1)知，1an+1=2n，
则bn=1an+n=2n+n−1，
∴Tn=b1+b2+…+bn
=(21+1−1)+(22+2−1)+…+(2n+n−1)
=(2+22+⋯+2n)+(1+2+⋯+n)−n
=2×(1−2n)1−2+(1+n)×n2−n
=2n+1+n(n−1)2−2．
【解析】(1)首先将原式化简整理成1an+1+1=2(1an+1)，根据等比数列的定义证明{1an+1}为等比数列，再根据等比数列的首项和公比求解{1an+1}的通项公式，最后通过通项公式证明{1an+1}是“指数型数列”；
(2)首先根据(1)求解出bn=2n+n−1，然后根据分组求和求解{bn}的前n项和Tn即可．
本题主要考查新定义数列的判定，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
22.【答案】解：(1)e=ca=12，可得a=2c,b= a2−c2= 4c2−c2= 3c，
可得椭圆方程为x24c2+y23c2=1，代入点A的坐标有112c2+1112c2=1，解得c=1，
故椭圆C的标准方程为x24+y23=1；
(2)a=2，点T为(4,0)，F(1,0)，
设点P，Q，M，N的坐标分别(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x4,y4)，
直线l2的方程为y=k(x−1)，直线l1的方程为y=−k(x−4)，
联立直线l2与椭圆方程得x24+y23=1y=k(x−1)，
消去y并整理得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，
有x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2−124k2+3，
联立直线l1与椭圆方程得x24+y23=1y=−k(x−4)，
消去y并整理得，(4k2+3)x2−32k2x+64k212=0，
有x3+x4=32k24k2+3,x3x4=64k2−124k2+3，
|PF|⋅|QF||TM|⋅|TN|= 1+k2|x1−1|× 1+k2|x2−1| 1+(−k)2|x3−4|× 1+(−k)2|x4−4|=|x1−1|×|x2−1||x3−4|×|x4−4|
=|x1x2−(x1+x2)+1||x3x4−4(x3+x4)+16|
=|4k2−124k2+3−8k24k2+3+164k2−124k2+3−128k24k2+3+16|=|4k2−12−8k2+4k2+364k2−12−128k2+16(4k2+3)|=936=14，
故|PF|⋅|QF||TM|⋅|TN|的值为14．
【解析】(1)根据离心率可得椭圆方程为x24c2+y23c2=1，代入点坐标计算得到答案；
(2)设出点和直线方程，联立方程消元得到根与系数的关系，计算|PF|⋅|QF||TM|⋅|TN|=|x1−1|×|x2−1||x3−4|×|x4−4|，代入化简计算得到答案．
本题考査了求椭圆方程，椭圆中的定值问题，考査了数学运算能力，转化能力和综合应用能力，考查了方程思想及转化思想，属于难题．