山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）

这是一份山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题），共34页。试卷主要包含了计算，，交y轴于点C等内容，欢迎下载使用。
山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•潍城区二模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中x是4的平方根．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
2．（2023•潍坊一模）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．
（1）该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
（2）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023•潍坊一模）（1）计算：；
（2）解不等式组，把解集表示在数轴上，写出所有整数解．
四．一次函数综合题（共1小题）
4．（2023•青州市二模）如图1，两个正方形拼接成一个“L”型的图形，现用一条直线将图形分为面积相等的两部分．小颖在研究时发现了三种不同的分割方法，图2是其中一种方法．
（1）请在下面图形（图5）中再画出另外两种分割方法；
（2）若小正方形的边长为2，大正方形的边长为4．小颖在利用绘图软件研究分割方法时，将图1放置在平面直角坐标系中，如图3所示，此时图2所示的分割直线AB的表达式为y＝﹣x+．小颖发现：上述三种不同的分割直线都经过同一个点．请你证明此发现；
（3）小颖继续研究，又发现了一种分割方法，如图4所示．请根据此图，简述其作图思路；
（4）通过上述探究过程，谈谈你的收获．（两条即可）

五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
5．（2023•潍城区二模）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣n）两点，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，且S△OBC＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出y1≥y2时自变量x的取值范围．

6．（2023•临朐县一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（2，m）与点B（4，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得AP+BP最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

六．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．（2023•潍城区二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）交x轴于点A（4，0）和点B（﹣2，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标．

七．二次函数的应用（共1小题）
8．（2023•潍坊一模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度OH＝1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l的距离OD为d米．

（1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFC位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．
八．多边形（共1小题）
9．（2023•潍坊一模）【问题背景】图1中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．

请参照下面的探究过程，完成相应的问题！
【观察发现】：
（1）图2，当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表．

C
D
E
F
边上的点数x
4
8
8
9
多边形面积S
2
4
4

请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：　 　．
（2）当多边形内部有2个点时，在下面的格点图3中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中．

图1
图2
边上的点数x
　 　
　 　
多边形面积S
　 　
　 　
归纳S与x之间的关系式为：　 　．
【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积．
【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图4中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形．
九．四边形综合题（共2小题）
10．（2023•潍城区二模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，进行如下操作．
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在DC上选一点P，沿AP折叠，使点D落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，AM，并延长PM交BC于点Q，连接AQ．
（1）操作判断
根据以上操作，当点M在EF上时，如图1，请回答下列问题：
①写出图中一个30°的角；
②∠MAQ＝　 　°，∠BAQ＝　 　°．
（2）迁移探究
改变点P在DC上的位置（点P不与点C，D重合），如图2，判断∠MAQ与∠BAQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
已知正方形纸片ABCD的边长为4cm，随着点P在DC上的位置变化，当FQ＝0.5cm时，求出DP的长．

11．（2023•青州市二模）某工厂加工车间要从一块四边形钢板ABCD中切割一个正方形，已知AD＝9米，CD＝2米，AB＝14米，∠A＝∠D＝90°．如图，现有方案1和方案2两种切割方案，图中的正方形AEFG和正方形MNPQ四个顶点都在原四边形的边上．

（1）求BC的长；
（2）求的值；
（3）若在△BEF余料上再切割一个最大正方形．请直接写出此正方形的边长．
一十．切线的判定与性质（共2小题）
12．（2023•潍城区二模）如图，AB为⊙O的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分∠DAE．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）作DF⊥CD，OF⊥DF，垂足分别为点D，F，若AB＝10，OF＝3，求AE的长．

13．（2023•潍坊一模）如图，在水平地面上放置了一个⊙O和矩形ABCD，⊙O与地面相切于点E，EA＝6，，矩形的宽AB＝3，长AD＝6．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D′．

（1）旋转过程中，当点B′，C′，D三点共线时，如图①．求证：直线AD′与⊙O相切；
（2）旋转过程中，当边AD′落在OA上时，如图②．求矩形ABCD扫过的面积．
一十一．圆的综合题（共1小题）
14．（2023•临朐县一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明：EF是⊙O的切线；
（2）若圆的半径R＝5，BH＝3，求GH的长；
（3）求证：DF2＝AF•BF．

一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
15．（2023•潍坊一模）图①是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩AB的高度进行了测量，图②是其设计的测量示意图．已知桥墩底端点B到河岸的参照点C的距离为100米，该小组沿坡度i＝1：2.4的斜坡CD行走52米至坡顶平台的点D处，再沿平台行走52米到达点E处，在E处测得桥墩顶端点A的仰角为19°．

（1）求平台DE到水平面BC的垂直距离；
（2）求桥墩AB的高度．
（参考数据：sin19°≈0.33，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34）
一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
16．（2023•潍城区二模）如图，灯塔C在港口A的东北方向，一艘巡逻艇接到指令，从A出发以速度v前往正东方向的灯塔B执行紧急任务．完成任务后，巡逻艇再以速度v′由B出发，沿B→C→A的路线返回港口A．已知灯塔C在灯塔B的北偏西方向，巡逻艇由B到C再返回港口A所用时间是它由A到B所用时间的2倍，求v′（结果用含v的代数式表示）．


山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•潍城区二模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中x是4的平方根．
【答案】（1）﹣2；
（2），1．
【解答】解：（1）
＝×﹣4﹣（﹣1）
＝1﹣4+1
＝﹣2；
（2）
＝（﹣）÷﹣1
＝×﹣1
＝×﹣1
＝﹣
＝．
∵x是4的平方根，
∴x＝±2．
由于x＝2时，原分式没有意义，
所以x＝﹣2．
当x＝﹣2时，
原式＝＝1．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
2．（2023•潍坊一模）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．
（1）该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
（2）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？
【答案】（1）第一次购进了这种服装200件，每件进价240元．
（2）销售价定为280元/件．
【解答】解：（1）设第一次购进了这种服装x件，
由题意可得：．
解之得x＝200，经检验x＝200是方程的解，并符合题意．
则48000÷200＝240．
答：第一次购进了这种服装200件，每件进价240元；
（2）设销售价为t元/件，则每天销售量为：（件）．
则由题意可得：（t﹣250）×（680﹣2t）＝3600，
整理，得t2﹣590t+86800＝0，
解得t1＝280，t2＝310．
∵让利促销，
∴t2＝310（舍去），取t1＝280．
答：销售价定为280元/件．
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023•潍坊一模）（1）计算：；
（2）解不等式组，把解集表示在数轴上，写出所有整数解．
【答案】（1）1﹣；
（2）不等式组的解集为﹣1≤x＜4．整数解为：﹣1，0，1，2，3．
【解答】解：（1）原式＝1﹣﹣（）
＝1﹣1﹣
＝1﹣；
（2）解不等式①，得x＜4．
解不等式②，x≥﹣1．
在数轴上表示出不等式①和②的解集：

所以原不等式组的解集为﹣1≤x＜4．
整数解为：﹣1，0，1，2，3．
四．一次函数综合题（共1小题）
4．（2023•青州市二模）如图1，两个正方形拼接成一个“L”型的图形，现用一条直线将图形分为面积相等的两部分．小颖在研究时发现了三种不同的分割方法，图2是其中一种方法．
（1）请在下面图形（图5）中再画出另外两种分割方法；
（2）若小正方形的边长为2，大正方形的边长为4．小颖在利用绘图软件研究分割方法时，将图1放置在平面直角坐标系中，如图3所示，此时图2所示的分割直线AB的表达式为y＝﹣x+．小颖发现：上述三种不同的分割直线都经过同一个点．请你证明此发现；
（3）小颖继续研究，又发现了一种分割方法，如图4所示．请根据此图，简述其作图思路；
（4）通过上述探究过程，谈谈你的收获．（两条即可）

【答案】（1）见解答；
（2）三种不同的分割直线都经过同一个点为：（﹣，）；
（3）见解答；
（4）（答案不唯一）：①根据例题可以得出只要过矩形的中心即可平分面积，以及找到圆心与矩形的中心即可平分面积；②平分面积的直线经过同一点．
【解答】解：（1）将图形补成矩形，再连接矩形中心，即可平分面积，如图：


（2）将图1按照题设图3的方式建立坐标系如图3，

则点G、H的坐标分别为：（﹣2，3）、（﹣1，1），
设直线GH的表达式为：y＝k（x+2）+3，
将（﹣1，1）代入上式得：1＝k（﹣1+2）+3，
解得：k＝﹣2，
则直线GH的表达式为：y＝﹣2x﹣1，
联立y＝﹣x+和y＝﹣2x﹣1并解得：x＝﹣，
即交点为：（﹣，）；
经验证，图2的直线也过该点，
即三种不同的分割直线都经过同一个点；

（3）设点H（1，0），将点H右侧矩形补到AB上侧，构成矩形OHGD，
连接FG、EH交于点P，过点P作于GE和FH都相交的直线，即为所求直线；

（4）基本收获（答案不唯一）：①根据例题可以得出只要过矩形的中心即可平分面积，以及找到圆心与矩形的中心即可平分面积；②平分面积的直线经过同一点．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
5．（2023•潍城区二模）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣n）两点，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，且S△OBC＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出y1≥y2时自变量x的取值范围．

【答案】（1）一次函数为y1＝﹣2x+2，反比例函数为y2＝﹣；
（2）x≤﹣1或0＜x≤2．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象点B，BC⊥y轴，垂足为C，且S△OBC＝2，
∴S△OBC＝，
∵k2＜0，
∴k2＝﹣4，
∵反比例函数的图象过A（﹣1，m），B（n，﹣n）两点，
∴﹣1×m＝n×（﹣n）＝﹣4，
∴m＝4，n＝2，
∴A（﹣1，4），B（2，﹣2），
把A、B点的坐标代入y1＝k1x+b得，
解得，
∴一次函数为y1＝﹣2x+2，反比例函数为y2＝﹣；
（2）观察图象，y1≥y2时自变量x的取值范围是x≤﹣1或0＜x≤2．
6．（2023•临朐县一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（2，m）与点B（4，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得AP+BP最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝，一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；
（2）6；
（3）P（，0）可使AP+BP最小．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B（4，2），
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A（2，m）在y＝上，
∴m＝4，
∴A点坐标为（2，4）；
把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得，
解得，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；
（2）当x＝0时，y＝﹣x+6＝6，
∴D点坐标为（0，6），
∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝＝6，
即△AOB的面积为6；
（3）在x轴上存在点P，使得AP+PB最小．
作点B（4，2）关于x轴的对称点B′（4，﹣2），如图，连接AB′．
设直线AB'的解析式为：y＝a′x+b′，
∴，
解得，
∴直线AB'的解析式为：y＝﹣3x+10，
令y＝0，解得x＝，
∴P（，0）可使AP+BP最小．

六．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．（2023•潍城区二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）交x轴于点A（4，0）和点B（﹣2，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）点P坐标为（，﹣）．
【解答】解：（1）把点A（4，0）和点B（﹣2，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）由（1）知，点C坐标为（0，﹣4），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣t﹣4），（0＜t＜4），
则E（t，0），D（t2﹣t，t2﹣t﹣4），
∴PE+PD＝﹣（t2﹣t﹣4）+t﹣（t2﹣t）＝﹣t2+3t+4＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当t＝时，PE+PD有最大值，最大值为．
∴点P坐标为（，﹣）．
七．二次函数的应用（共1小题）
8．（2023•潍坊一模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度OH＝1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l的距离OD为d米．

（1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFC位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．
【答案】（1）喷出水的最大射程OC为6m；
（2）（2，0）；
（3）2≤d≤2．
【解答】解：（1）由题意得点A的横坐标为2，纵坐标为1.5+0.5＝2，
所以上边缘抛物线的顶点为A（2，2），
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移得到，
∴可设y＝﹣（x+t﹣2）2+2，
将点（0，1.5）代入得t1＝4，t2＝0（舍去），
∴下边缘抛物线的关系式为y＝﹣（x+2）2+2，
∴当y＝0时，0＝﹣（x+2）2+2，
解得x1＝2，x2＝﹣6（舍去），
∴点B的坐标为（2，0）；
（3）∵EF＝1，
∴点F的纵坐标为1，
∴1＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝2+2，x2＝2﹣2（舍去），
∴d的最大值为2+2﹣DE＝2，
当下边缘抛物线经过点D时，d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2．
八．多边形（共1小题）
9．（2023•潍坊一模）【问题背景】图1中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．

请参照下面的探究过程，完成相应的问题！
【观察发现】：
（1）图2，当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表．

C
D
E
F
边上的点数x
4
8
8
9
多边形面积S
2
4
4

请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：　　．
（2）当多边形内部有2个点时，在下面的格点图3中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中．

图1
图2
边上的点数x
　6　
　10　
多边形面积S
　×6+1　
　×10+1　
归纳S与x之间的关系式为：　（答案不唯一）　．
【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积．
【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图4中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形．
【答案】（1）；
（2）×6+1，×10+1，S＝x+1（答案不唯一）；11.5；x＝24，y＝8．
【解答】解：【观察发现】（1）表中数据为4.5，S与x之间的关系式为；
故答案为：；
（2）如图3，图4，

由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，
的各边上格点的个数为6，面积为4＝×6+1，
⑥的各边上格点的个数为10，面积为6＝×10+1，
∴S＝x+1；
故答案为：×6+1，×10+1，S＝x+1（答案不唯一）；
【规律总结】用含x，y的代数式表示S为
A图形中，∵y＝6，x＝13；
∴；
【拓展应用】由题意可得，
解之得．
如图所示：（答案不唯一）．

九．四边形综合题（共2小题）
10．（2023•潍城区二模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，进行如下操作．
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在DC上选一点P，沿AP折叠，使点D落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，AM，并延长PM交BC于点Q，连接AQ．
（1）操作判断
根据以上操作，当点M在EF上时，如图1，请回答下列问题：
①写出图中一个30°的角；
②∠MAQ＝　15　°，∠BAQ＝　15　°．
（2）迁移探究
改变点P在DC上的位置（点P不与点C，D重合），如图2，判断∠MAQ与∠BAQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
已知正方形纸片ABCD的边长为4cm，随着点P在DC上的位置变化，当FQ＝0.5cm时，求出DP的长．

【答案】（1）①∠PQC；（答案不唯一，如：∠AME，∠DAP，∠MAP）．
②15，15；
（2）∠MAQ＝∠BAQ，理由见解答；
（3）DP的长是cm或cm．
【解答】解：（1）①∠PQC．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠得EF垂直平分AD，EF垂直平分BC，AM＝AD，∠AMP＝∠D＝90°，
∴∠AEF＝90°，AE＝DE＝AD＝AM，
∵点M在EF上，
∴sin∠AME＝＝，
∴∠AME＝30°，
∴∠DAM＝90°﹣∠AME＝60°，
∴∠BAM＝30°，∠DAP＝∠MAP＝∠DAM＝30°，
∴∠APD＝∠APM＝60°，
∴∠CPQ＝180°﹣∠APD﹣∠APM＝60°，
∴∠PQC＝30°．
（注：答案不唯一，如：∠AME，∠DAP，∠MAP）．
②∵∠DAB＝90°，∠DAM＝60°，
∴∠BAM＝∠DAB﹣∠DAM＝30°，
∵AM＝AD，AB＝AD，
∴AM＝AB，
∵∠AMQ＝180°﹣∠AMP＝90°，
∴∠AMQ＝∠B＝90°，
∵AQ＝AQ，
∴Rt△AMQ≌Rt△ABQ（HL），
∴∠MAQ＝∠BAQ＝∠BAM＝15°，
故答案为：15，15．
（2）∠MAQ＝∠BAQ，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠B＝90°，AB＝AD，
由折叠得EF垂直平分AD，AM＝AD，∠AMP＝∠D＝90°，
∴∠AMQ＝180°﹣∠AMP＝90°，AM＝AB，
∵AQ＝AQ，
∴Rt△AMQ≌Rt△ABQ（HL），
∴∠MAQ＝∠BAQ．
（3）∵正方形纸片ABCD的边长为4cm，FQ＝0.5cm，
∴CB＝CD＝4cm，
∴BF＝CF＝CB＝2cm，
由折叠得MP＝DP，
∵Rt△AMQ≌Rt△ABQ，
∴MQ＝BQ，
设DP＝xcm，则PC＝（4﹣x）cm，
∵∠C＝90°，
∴PC2+CQ2＝PQ2，
当点Q在BF上，如图1，则MQ＝BQ＝2﹣0.5＝1.5（cm），CQ＝2+0.5＝2.5（cm），
∴（4﹣x）2+2.52＝（1.5+x）2，
解得x＝；
当Q在CF上，如图2，则MQ＝BQ＝2+0.5＝2.5（cm），CQ＝2﹣0.5＝1.5（cm），
∴（4﹣x）2+1.52＝（2.5+x）2，
解得x＝，
综上所述，DP的长是cm或cm．
11．（2023•青州市二模）某工厂加工车间要从一块四边形钢板ABCD中切割一个正方形，已知AD＝9米，CD＝2米，AB＝14米，∠A＝∠D＝90°．如图，现有方案1和方案2两种切割方案，图中的正方形AEFG和正方形MNPQ四个顶点都在原四边形的边上．

（1）求BC的长；
（2）求的值；
（3）若在△BEF余料上再切割一个最大正方形．请直接写出此正方形的边长．
【答案】（1）15m；
（2）；
（3）m．
【解答】解：（1）作CH⊥AB于H，

∵∠A＝∠D＝90°，CH⊥AB，
∴四边形ADCH是矩形，
∴CH＝AD＝9dm，AH＝CD＝2m，BH＝AB﹣AH＝12（m），
∴BC＝＝15（m）；
（2）设GF与CH相交于点I，正方形AEFG的边长为am，

∵sinB＝，
∴tanB＝，cosB＝，
在Rt△FIC中，tan∠CFI＝tanB＝，FI＝（a﹣2）m，CI＝（9﹣a）m，
∴，
解得a＝6；
设正方形MNPQ边长为bm，

∴∠B＝∠MNA，
在Rt△FIC中，sinB＝，则BN＝，
在Rt△MAN中，cos∠MNA＝，则AN＝，
∴，
解得b＝，
∴＝；
（3）如图，在△BEF余料上再截取一个正方形EKJL，设正方形EKJL的边长为m米，

∵BE＝AB﹣AE＝14﹣6＝8（m），
∴BK＝（8﹣m），
在Rt△BJK中，tanB＝，
∴，
解得m＝，即正方形EKJL的边长为m；
如图，在△BEF余料上再截取一个正方形RSTU，设正方形RSTU的边长为n米，

同理，在Rt△BST中，sinB＝，则BT＝，
在Rt△UTE中，cos∠UTE＝，则ET＝n，
∴，
解得n＝，即正方形RSTU的边长为m；
∵，
在△BEF余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为m．




一十．切线的判定与性质（共2小题）
12．（2023•潍城区二模）如图，AB为⊙O的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分∠DAE．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）作DF⊥CD，OF⊥DF，垂足分别为点D，F，若AB＝10，OF＝3，求AE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解答】（1）证明：∵点C为的中点，
∴，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵∠CDA＝∠CBA，
∴∠CAD＝∠CBA．
∵AC平分∠DAE，
∴∠EAC＝∠CAD，
∴∠EAC＝∠CBA．
∵AB为⊙O的直径，
∴ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠CAB+∠EAC＝90°，
∴∠EAB＝90°，
即OA⊥AE，
∵OA为⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥CD于点H，如图，
则DH＝CH＝CD．
∵DF⊥CD，OF⊥DF，OH⊥CD，
∴四边形OFDH为矩形，
∴DH＝OF＝3，
∴CD＝6．
∵AC＝CD，
∴AC＝6．
∴BC＝＝8．
由（1）知：∠EAB＝90°，
∵AC⊥BC，
∴△BAC∽△BEA，
∴，
∴，
∴AE＝．

13．（2023•潍坊一模）如图，在水平地面上放置了一个⊙O和矩形ABCD，⊙O与地面相切于点E，EA＝6，，矩形的宽AB＝3，长AD＝6．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D′．

（1）旋转过程中，当点B′，C′，D三点共线时，如图①．求证：直线AD′与⊙O相切；
（2）旋转过程中，当边AD′落在OA上时，如图②．求矩形ABCD扫过的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）18+．
【解答】（1）证明：连接OA，OD′，如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D'AB'＝∠DAB＝90°，∠B'＝∠B＝90°，
∵B'，C'，D共线，
∴，
∴∠DAB'＝60°，
∴∠D'AD＝∠D'AB'﹣∠DAB'＝30°．
又∵∠EAD＝180°﹣∠DAB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EAD'＝90°﹣30°＝60°，
∵AE与⊙O相切与E，
∴OE⊥AE，
∴，
∴∠OAE＝30°，
∴∠OAD′＝60°﹣30°＝30°＝∠OAE．
在△OEA和△OD′A中，
，
∴△OEA≌△OD′A（SAS），
∴OE＝OD′，∠OEA＝∠OD′A＝90°，
∴OD′⊥AD′，
∵OD′为⊙O的半径，
∴直线AD'与⊙O相切；
（2）解：连接AC，AC'，如图，

在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝9+36＝45．
由（1）知：∠D'AD＝90°﹣30°＝60°，
∵AD'在OA上，
∴此时旋转角α＝60°，
∴∠CAC′＝60°．
由图形可知：矩形ABCD扫过的区域为△ABC，△AC'D'和扇形ACC'的面积之和，
∴矩形ABCD扫过的面积＝S△ABC+S扇形CAC′+S△AD′C′
＝6×3++6×3
＝9+π+9
＝18+．
一十一．圆的综合题（共1小题）
14．（2023•临朐县一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明：EF是⊙O的切线；
（2）若圆的半径R＝5，BH＝3，求GH的长；
（3）求证：DF2＝AF•BF．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∵OD为半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接OG，
∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝2．
∴GH＝＝＝．
（3）证明：由（1）知EF是⊙O的切线，
∴∠DAF＝∠FDB，
∵∠F＝∠F，
∴△DAF∽△FDB，
∴，即DF2＝AF•BF．
一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
15．（2023•潍坊一模）图①是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩AB的高度进行了测量，图②是其设计的测量示意图．已知桥墩底端点B到河岸的参照点C的距离为100米，该小组沿坡度i＝1：2.4的斜坡CD行走52米至坡顶平台的点D处，再沿平台行走52米到达点E处，在E处测得桥墩顶端点A的仰角为19°．

（1）求平台DE到水平面BC的垂直距离；
（2）求桥墩AB的高度．
（参考数据：sin19°≈0.33，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34）
【答案】（1）平台DE到水平面BC的垂直距离为20米．
（2）桥墩AB的高度为88米．
【解答】解：（1）作DH⊥BC，垂足为H，

∵i＝1：2.4，
∴，
设DH＝5x，则CH＝12x，
∴CD＝＝＝13x，
∴13x＝52，
解得x＝4，
∴CH＝48米，DH＝20米，
答：平台DE到水平面BC的垂直距离为20米．
（2）延长ED交AB于点G，则EG⊥AB，四边形GBHD为矩形．
∴GD＝BH，DH＝GB，
∴GE＝GD+DE＝BC+CH+DE＝100+48+52＝200（米），
∵∠AEG＝15°，
∴tan∠AEG＝≈0.34，
∴AG＝GE⋅0.34＝200×0.34＝68（米），
∴AB＝AG+GB＝AG+DH＝68+20＝88（米），
∴桥墩AB的高度为88米．
一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
16．（2023•潍城区二模）如图，灯塔C在港口A的东北方向，一艘巡逻艇接到指令，从A出发以速度v前往正东方向的灯塔B执行紧急任务．完成任务后，巡逻艇再以速度v′由B出发，沿B→C→A的路线返回港口A．已知灯塔C在灯塔B的北偏西方向，巡逻艇由B到C再返回港口A所用时间是它由A到B所用时间的2倍，求v′（结果用含v的代数式表示）．

【答案】v′＝v．
【解答】解：过C作CH⊥AB于H，
∴∠AHC＝∠BHC＝90°，
根据题意得，∠CAB＝45°，∠ABC＝60°，
∴AH＝CH，
设AH＝CH＝x，
∴AC＝x，BH＝x，BC＝2BH＝x，
∴AB＝AH+BH＝x+x＝x，
∵AC+BC＝x+x，
∵巡逻艇由B到C再返回港口A所用时间是它由A到B所用时间的2倍，
∴，
∴v′＝v．