新高考数学一轮复习提升练习考向41 双曲线 (含解析)

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考向41  双曲线1．（2021·山东·高考真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】易得的坐标为，设点坐标为，求得，由可得，然后由a，b，c的关系求得，最后求得离心率即可.【详解】的坐标为，设点坐标为，易得，解得，因为直线与轴垂直，且，所以可得，则，即，所以，离心率为．故选：A.2．（2021·全国·高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 1.待定系数法求双曲线方程最常用的设法：(1)与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝t(t≠0)；(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝t(t≠0)；(3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2<k<a2)；(4)过两个已知点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)；(5)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<k<a2)．合理利用上述结论求双曲线的方程可简化解题过程，提高解题速度．3.求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．二、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、、轴长虚轴的长    实轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称离心率，越大，双曲线的开口越阔渐近线方程三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。①.     若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。②.     若，设。③.     .时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 【知识拓展】弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则====1．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率e为（    ）A． B． C． D．22．（2021·全国·模拟预测）设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．83．（2021·广西南宁·模拟预测（文））已知双曲线C的离心率，虚轴长为，则其标准方程为（    ）A． B．或C． D．或4．（2021·上海·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，且，则双曲线的方程为___________.  1．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（理））若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ）A．2 B． C． D．2．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．3．（2021·浙江宁波·高三月考）设直线与双曲线两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是（    ）A． B．C． D．4．（2021·广东·高三月考）若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（    ）A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m5．（2021·内蒙古宁城·高三月考（理））已知，是双曲线的左右顶点，为该双曲线上任一点（与，不重合），已知与斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）A． B．C． D．6．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））已知是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，，则下列结论中错误的是（    ）A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为C．点到双曲线的左焦点距离是 D．的面积为7．（2021·云南师大附中高三月考（文））双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足，则C的离心率为___________.8．（2021·云南师大附中高三月考（理））双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，若x轴上存在点Q使得的角平分线过F2，且满足，则C的离心率为__________.9．（2021·浙江金华第一中学高三月考）已知，若圆经过双曲线的焦点，则______．10．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））方程表示的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是；④的图象不经过第一象限.其中正确的命题是_______________________．（填写命题序号）11．（2021·广东·高三月考）双曲线的右焦点为F，以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切．（1）求C的离心率；（2）已知点，过F点的直线与C的右支交于M，N两点，证明：F点到的距离相等．12．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右两个焦点分别为，点P在双曲线右支上.（Ⅰ）若当点P的坐标为时，，求双曲线的方程；（Ⅱ）若，求双曲线离心率的最值，并写出此时双曲线的渐近线方程.  1．（2021·江苏·高考真题）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（    ）A． B． C．2 D．2．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．3．（2021·全国·高考真题（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ）A． B． C． D．4．（2010·全国·高考真题（文））中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A． B．C． D．5．（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．6．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（    ）A． B． C． D．7．（2021·全国·高考真题（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．8．（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．9．（2021·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________． 10．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.  1．【答案】A【分析】根据题意渐近线的斜率为，所以该渐近线的方程为，所以，求得，利用，求得即可得解.【详解】∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，∴该渐近线的方程为，∴，解得或（舍去），∴，∴双曲线的离心率为．故选：A．2．【答案】C【分析】根据双曲线的方程求出的值，由双曲线的定义可得，由双曲线的性质可知，利用函数的单调性即可求得最小值.【详解】由双曲线：可得，，所以，所以，， 由双曲线的定义可得，所以，所以，由双曲线的性质可知：，令，则，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点，即的最小值为，故选：C.   3．【答案】D【分析】根据给定条件结合求出，再按焦点位置即可写出标准方程.【详解】设双曲线实半轴、虚半轴长分别为a、b，半焦距为c，则，即，于是得，而，解得，所以，当焦点在x轴上时，双曲线方程为，当焦点在y轴上时，双曲线方程为.故选：D4．【答案】或【分析】根据双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，再根据，求得，即可得出答案.【详解】解：因为双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，即，因为，所以，解得，所以双曲线的方程为或.故答案为：或.  1．【答案】D【分析】由题意，根据，代入即得解【详解】由题意，，又故故选：D2．【答案】C【分析】根据焦距可得的值，根据右焦点到渐近线距离可求得的值，由可得的值，再由即可求解.【详解】因为焦距为，所以，右焦点，，双曲线渐近线方程为：，所以右焦点到它的一条渐近线的距离为，所以，，所以离心率，故选：C.3．【答案】A【分析】设,的中点为，用点差法可得，由可得结合点在直线上，可得出 的关系，从而可得答案.【详解】由双曲线得到渐近线的方程为即双曲线的两条渐近线合并为设,的中点为，则，两式相减可得，即   ……………    ①又点在直线上，则  ……… ②由,则，则   …………… ③联立②，③可得， 将代入①可得所以渐近线的方程为故选：A4．【答案】C【分析】根据双曲线的标准方程，即可得出结论.【详解】双曲线可化为，因为双曲线的焦点在轴上，所以，即．故选：C.5．【答案】D【分析】先求出，，与斜率之积为，代入后得，又为该双曲线上任一点，代入后得到，关系.即可得到双曲线的渐近线方程.【详解】解： ，是双曲线的左右顶点，设，又与斜率之积为又为该双曲线上任一点（与，不重合）故可知，可知所以双曲线的渐近线为，即.故选：D6．【答案】C【分析】求出、、的值，可判断AB选项的正误；求出点的坐标，可判断CD选项的正误.【详解】在双曲线中，，，，该双曲线的左焦点为.设，则，由，可得，所以，，解得，即点.对于A选项，双曲线的离心率为，A对；对于B选项，双曲线的渐近线方程为，B对；对于C选项，点到双曲线的左焦点距离是，C错；对于D选项，的面积为，D对.故选：C. 7．【答案】【分析】画出图形，利用和是等边三角形的条件，得到各边之间的关系，再用余弦定理，找到a和c的关系，进而求出离心率.【详解】如图所示，由题意可得，因为，所以，所以，在等边三角形中，设，则，，由双曲线的定义可得，所以，即①，因为是等边三角形，所以，在中，，化简可得②，由①②可得，所以.故答案为：.8．【答案】【分析】设，结合已知得到，利用角平分线定理得到，再结合双曲线定义得到一个关于m，a的方程，在中利用余弦定理得到另一个m，c的方程，两个方程联立消元即可得到答案.【详解】如图所示，由题意可得，因为，所以，所以，设，则，因为平分，由角平分线的性质定理可得，，所以，，．由双曲线的定义可得，所以，即①，，所以，所以，即是等边三角形，所以，在中，，化简可得②，由①②可得，所以．故答案为：9．【答案】【分析】求双曲线的焦点，代入圆的方程，即可求得的值.【详解】双曲线的焦点坐标是，代入圆的方程，得，，，解得：.故答案为：10．【答案】①②③④【分析】根据题意作出函数的图象，由图可知，轨迹是两段双曲线的一部分加上一段椭圆圆弧组成的图形，结合图形可判断①②③④的正误.【详解】当时，由得，可得，则有，当时，由得，可得，则有，当时，由得，可得.所以，函数的图象是两段双曲线的一部分加上一段椭圆圆弧组成的图形，如下图所示：对于①，函数在上单调递减，①对；对于②，由于直线是双曲线、的一条公共渐近线，故函数的图象与直线无交点，即函数不存在零点，②对；对于③，函数的值域是，③对；对于④，的图象不经过第一象限，④对.故答案为：①②③④.11．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】(1)求出双曲线的渐近线方程，利用给定条件借助点到距离公式计算即得；(2)结合(1)的结论设出直线MN的方程，并与双曲线方程联立，借助韦达定理探讨直线AM，AN斜率关系即可推理作答.【详解】(1)双曲线的渐近线方程为，令点，则，因以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切，则，整理得，所以双曲线C的离心率为；(2)由(1)知，双曲线C的方程为：，点，显然直线MN不垂直于y轴，设直线MN：，因直线MN与双曲线右支交于两点，则直线MN与双曲线的两条渐近线在y轴右侧都相交，于是得，由消去x得：，设，则，直线AM的斜率 ，同理，直线AN的斜率 ，于是得，因此，直线AM与AN的倾斜角互补，则直线AM与AN关于x轴对称，而点F在x轴上，所以点F到直线AM与AN的距离相等.12．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），的最大值为2，无最小值.【分析】（Ⅰ）根据，利用数量积为0可求出，再根据双曲线的定义求出，即可求解；（Ⅱ）设，，，分两种情况求出与的关系，即可根据定义求出离心率，利用三角函数求取值范围.【详解】（Ⅰ）由题意知，， ，， 解得 . 由双曲线定义得:  所求双曲线的方程为: （Ⅱ）设，，.(1)当时， ，且 ，，此时 .(2)当，由余弦定理得:，，，综上，的最大值为2，但无最小值.此时，此时双曲线的渐近线方程为.  1．【答案】D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，所以.故选：D.2．【答案】B【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B3．【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.4．【答案】D【详解】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-x,∴-2=-×4,∴a=2b.设b=k,则a=2k,c=k,∴e===. 5．【答案】D【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．故选：．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．6．【答案】D【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，由，解得，即．故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．【答案】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.故答案为：8．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.9．【答案】【分析】根据离心率结合得出关系即可求出.【详解】由题离心率，即，又，即，则，故此双曲线的渐近线方程为.故答案为：.10．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；（2）设点，设直线的方程为，设点、，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，求出的表达式，设直线的斜率为，同理可得出的表达式，由化简可得的值.【详解】因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，所以，轨迹的方程为；（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，不妨直线的方程为，即，联立，消去并整理可得，设点、，则且.由韦达定理可得，，所以，，设直线的斜率为，同理可得，因为，即，整理可得，即，显然，故.因此，直线与直线的斜率之和为.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．