高考数学三轮冲刺卷：双曲线的简单几何性质（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：双曲线的简单几何性质（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 已知双曲线 的一个焦点在直线 上，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.

2. 已知双曲线 的焦距为 ，则双曲线 的渐近线方程为
A. B. C. D.

3. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为
A. B. C. D.

4. 已知双曲线方程 ，则下列叙述正确的是
A. 焦点 B. 渐近线方程：
C. 实轴长为 D. 离心率为

5. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.

6. 已知 为直角坐标系的坐标原点，双曲线 上有一点 ，点 在 轴上的射影恰好是双曲线 的右焦点，过点 作双曲线 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 ，，若平行四边形 的面积为 ，则双曲线的标准方程是
A. B. C. D.

7. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，， 为双曲线的两条渐近线．设过点 且平行于 的直线交 于点 ．若 ，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.

8. 已知 是双曲线 上的一点，， 是 的两个焦点．若 ，则 的取值范围是
A. B.
C. D.

9. 已知双曲线 ：（）， 为其左焦点，直线 ：，若过 和 的直线与 平行，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.

10. 已知双曲线的一个焦点为 ，它的渐近线方程为 ，则该双曲线的方程为
A. B. C. D.

11. 若双曲线 的左右焦点分别为 ，，线段 被抛物线 的焦点分成 的两段，则此双曲线的离心率为
A. B. C. D.

12. 已知双曲线 ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 ， 两点， 为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.

13. 已知 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，点 在 上， 与 轴垂直，，则 的离心率为
A. B. C. D.

14. 已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ，且双曲线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为
A. B. C. D.

15. 设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 满足 ，且 ，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.

16. 双曲线 的左焦点 关于直线 的对称点 在该双曲线上，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.

17. 已知抛物线 ，直线 与 相交于 ， 两点，与双曲线 的渐近线相交于 ， 两点，若线段 与 的中点相同，则双曲线 离心率为
A. B. C. D.

18. 已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，双曲线 的左顶点为 且离心率为 ，若双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为
A. B. C. D.

19. 点 是抛物线 与双曲线 的一条渐近线的一个交点，若点 到抛物线 的焦点的距离为 ，则双曲线 的离心率等于
A. B. C. D.

20. 已知双曲线 与函数 的图象交于点 ，若函数 的图象在点 处的切线过双曲线左焦点 ，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 双曲线 的渐近线为正方形 的边 ， 所在的直线，点 为该双曲线的焦点，若正方形 的边长为 ，则 ．

22. 双曲线 的渐近线为正方形 的边 ， 所在的直线，点 为该双曲线的焦点．若正方形 的边长为 ，则 ．

23. 已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为 ．

24. 已知过双曲线 右焦点且倾斜角为 的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率 的取值范围是 ．

25. 如果等差数列 ， 的公差都为 ，若满足对于任意 ，都有 ，其中 为常数，，则称它们为“同宗”数列．已知等差数列 中，首项 ，公差 ，数列 为数列 的“同宗”数列，若 ，则 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，焦距为 ，且此双曲线经过点 ，求它的标准方程．

27. 【复习题 A组】已知 ， 为双曲线 的焦点，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于点 ，且 ，求双曲线的渐近线方程．

28. 已知双曲线的方程为 ．
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设 和 是双曲线的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，求 的大小．

29. 已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且经过点 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）求双曲线 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．

30. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，且抛物线 的准线恰好过椭圆 的一个焦点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆交于 ， 两点，求 面积的最大值．
答案
1. A【解析】根据题意，双曲线 的焦点在 轴上，
而直线 与 轴交点为 ，则 ，
进而有 ，
解可得 ，
则双曲线的方程为：，
其渐近线方程为：．
2. D【解析】双曲线 的焦距为 ，可得 ，即 ，解得 ，可得双曲线的方程为 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 ．
3. D【解析】因为点 在渐近线 上，
所以 ，
又因为抛物线的准线为 ，
所以 ，
故 ，解得 ，，
故双曲线的方程为 ．
4. B【解析】双曲线 ，，，，
对于A选项：焦点为 ，故A选项不正确；
对于B选项：渐近线方程为 ，故B选项正确；
对于C选项：实轴长为 ，故C选项不正确；
对于D选项：离心率为 ，故D选项不正确．
故选B．
5. A
【解析】，
，
．
6. A【解析】设其中一条直线为 与 联立，得 ，故 ，点 到直线 的距离 ，
所以 ，又因为 ，
所以联立解得 ，又因为 ，所以 ，，所以双曲线方程为 ．
7. B【解析】直线 的方程为 ，联立直线 与直线 得 ，又因为 ，所以 得 ，所以双曲线的离心率为 ．
8. A【解析】若 ，则点 在以原点为圆心，半焦距 为半径的圆上，则 解得 ．可知： 点 在圆 的内部 ．
9. B【解析】由双曲线 ：（）得其左焦点 ，
直线 ： 的斜率为 ，
过 和 的直线斜率为 ，
又过 和 的直线与 平行，
所以 ，可得 ，
在双曲线中，，
可得 ，
可得 ，
所以双曲线的离心率 ．
10. C
【解析】因为双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
所以对应的双曲线方程为 ，，
因为双曲线的一个焦点为 ，
所以 ，且 ，
则 ，
则 ，，
则 ，
则 ，即双曲线的方程为 ．
11. C【解析】因为抛物线 的焦点 ，线段 ， 被抛物线 的焦点分成 的两段，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
所以此双曲线的离心率 ．
12. C
13. D【解析】因为 与 轴垂直，，
所以设 ，则 ，如图所示：
由双曲线的定义得 ，即 ，
在直角三角形 中，，即 ，
即 ，则 ．
14. A【解析】双曲线 的渐近线为 ，
而渐近线与 平行．
故 ，
所以
又因为双曲线的一个焦点为 ，则 ，
所以 ，
又 ，即
由①②可求得 ，，
所以双曲线方程为 ．
15. C
【解析】因为 ，且 ，
所以 ，
由双曲线的定义，得 ，
所以 ．
16. B【解析】设双曲线右焦点为 ， 与 交于 点，
所以在 中，，．
，
，
又因为 为 中点， 为 中点，
所以 ，
所以 且 ，
由双曲线定义可得：，
所以 ，
所以 中，，
所以 ，
所以 ，即 ．
17. C
18. D【解析】设抛物线的焦点为 ，
由抛物线的定义知，，解得 ，
所以抛物线的方程为 ，
不妨取 在第一象限，则其坐标为（ ，
由题意知 ，双曲线的渐近线方程为 ，
因为双曲线的离心率为 ，
所以 ，，
因为双曲线的一条渐近线与直线 垂直，
所以
由 ，解得 ，，
所以双曲线的方程为 ，
即 ．
19. B
20. A
【解析】设 的坐标为 ，
由左焦点 ，函数的导数 ，
则在 处的切线斜率 ，
即 ，得 ，则 ，
设右焦点为 ，则 ，即 ，
因为 ，
所以双曲线的离心率 ．
21.
【解析】因为两条渐近线是正方形 的相邻两边，
所以夹角为 ，可知渐近线的斜率为 ．
所以 ，．
因为 为该双曲线的焦点，
所以 ，由 ， 可得 ．
22.
【解析】不妨令 为双曲线的右焦点， 在第一象限，则双曲线如图所示．
因为四边形 为正方形，，
所以 ，．
因为直线 是渐近线，方程为 ，
所以 ，即 ．
又因为 ，
所以 ．
23.
【解析】法一：双曲线的渐近线方程为 ，
所以可设双曲线的方程为 ，
因为双曲线过点 ，
所以 ，
所以双曲线的标准方程为 ．
法二：
因为渐近线 过点 ，而 ，
所以点 在渐近线 的下方，在 的上方（如图）．
所以双曲线的焦点在 轴上，
故可设双曲线方程为 ，
由已知条件可得 解得
所以双曲线的标准方程为 ．
24.
25.
26. 或 ．
27. ．
28. （1） 由双曲线方程 得 ，
所以 ，，，
所以焦点坐标分别为 ，，离心率 ，渐近线方程为 ．
（2） 由双曲线的定义可知 ，
所以

则 ．
29. （1） 在双曲线 中，，，
则渐近线方程为 ，
因为双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，
所以 ，
所以方程可化为 ，
又双曲线 经过点 ，代入方程，
所以 ，解得 ，，
所以双曲线 的方程为 ．
（2） 由（）知双曲线 中，
因为 ，，，
所以实轴长 ，离心率为 ，
设双曲线 的一个焦点为 ，一条渐近线方程为 ，
所以 ，
即焦点到渐近线的距离为 ．
30. （1） 设椭圆的焦半距为 ，抛物线 的准线为 ，所以 ．
，所以 ，．
所以椭圆 的方程是 ．
（2） 由题意直线不能与 轴垂直，否则将无法构成三角形．
设其斜率为 ，那么直线 的方程为 ．
联立 与椭圆 的方程，消去 ，得 ．
．
设点 ，，得 ，．
所以 ．
又 到 的距离 ，
所以 的面积 ．
设 ，那么 ，．
所以 ．
因为 是减函数，
所以当 时，．
所以 面积的最大值是 ．