新高考数学一轮复习提升练习考向42 抛物线 (含解析)

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考向42 抛物线

1．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】
首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】
抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
2．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】
【分析】
先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】
抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，

因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】
利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.


1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：

若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.
3．确定及应用抛物线性质的关键与技巧：
(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.
4．直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.
（3）＋为定值.
（4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．
（5）以AB为直径的圆与准线相切．
（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.

1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
2．抛物线的标准方程
（1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为；
（2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为；
（3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为；
（4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为.
3．抛物线的几何性质
标准方程




图 形




几
何
性
质
范 围




对称性
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
焦点




准线方程




顶 点
坐标原点(0，0)
离心率

4．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径．
根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
抛物线方程




焦半径公式





【知识拓展】
抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．
焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则
抛物线方程




焦点弦公式




其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为2p．


1．（2021·全国·模拟预测（理））已知抛物线的准线为，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点分别作，垂足为，，垂足为，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·上海·模拟预测）过点，且顶点在原点､对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为___________.
3．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（理））已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则_____________．
4．（2020·陕西富平·二模（文））如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，，，，且，则___________.






1．（2021·湖南湘潭·一模）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
2．（2021·吉林长春·一模（理））已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·吉林长春·一模（理））已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为6，若点为抛物线的准线上的动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2021·吉林·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）一模（文））已知是抛物线上的一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（理））抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·河南·模拟预测（文））抛物线：的焦点为，过点且平行于轴的直线与线段的中垂线交于点，若点在抛物线上，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学二模（文））已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点.若，则的值等于________.
8．（2021·浙江·模拟预测）设正四面体的棱长是，、分别是棱、的中点，是平面内的动点.当直线、所成的角恒为时，点的轨迹是抛物线，此时的最小值是______.
9．（2021·陕西富平·二模（理））已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3，1），则周长的最小值为___________.
10．（2021·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线：上一点到焦点的距离.不经过点的直线与交于，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线，的斜率之和为2，证明：直线过定点.
11．（2021·云南五华·模拟预测（理））已知抛物线：，是坐标原点，是的焦点，是上一点，，．
（1）求的标准方程；
（2）设点在上，过作两条互相垂直的直线，，分别交于，两点（异于点）．证明：直线恒过定点．
12．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线的焦点到其准线的距离为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与直线交于点、（为原点）.

（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，试问：的外接圆是否恒经过轴上的定点（异于点）？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.



1．（2014·江西·高考真题（理））在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
3．（2020·全国·高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
4．（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
5．（2012·四川·高考真题（文））已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点．若点到该抛物线焦点的距离为，则
A． B． C． D．
6．（2014·陕西·高考真题（文））抛物线的准线方程为_____．
7．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于?轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.
8．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______．
9．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.

（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
10．（2021·山东·高考真题）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．





1．【答案】B
【分析】
令抛物线焦点为F，利用抛物线定义可得，再求点F到直线的距离即可.
【详解】
令抛物线的焦点为F，则，连接PF，如图，

因是抛物线的准线，点是抛物线上的动点，且于，于是得，
点到直线：的距离，
又于，显然点P在点F与N之间，于是有，当且仅当F，P，N三点共线时取“=”，
所以的最小值为.
故选：B
2．【答案】或
【分析】
设抛物线方程为或，代入点即可求解.
【详解】
因为点在第二象限，
所以设抛物线方程为或，
代入点A，得，
所以所求抛物线方程为或
故答案为：或
3．【答案】3；
【分析】
过点作准线的垂线，由抛物线的定义和三角形相似、可知，，进而可求得结果.
【详解】
如图所示：

过点作交于点，利用抛物线定义得到.
设准线交x轴于点，因为，
所以，又焦点到准线的距离为4，所以，
所以.
故答案为：3
4．【答案】
【分析】
分别过点，作准线的垂线，交准线于、两点，，由题意可得，所以，即可求出的值，再利用，平行线分线段成比例即可求解.
【详解】

如图：分别过点，作准线的垂线，交准线于、两点，
设，则，
由双曲线的定义可得：，所以，
在中，，
因为，，
所以，可得，
设准线与轴相交于点，因为，所以即，
可得：，
故答案为：.


1．【答案】A
【分析】
设为，得到，，得到，由，联立方程组求得，结合，求得的值，即可求解.
【详解】
设为，则，
又由，所以，
因为，所以，可得，
由，联立方程组，消去，可得，所以，故，
又由，所以，即，解得或，
所以的方程为或．
故选：A．
2．【答案】D
【分析】
设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.
【详解】
设点，其中，则，，
取，则，
可得，因为，可得，解得，则，
因此，.
故选：D.
3．【答案】C
【分析】
求出坐标原点关于准线的对称点的坐标，由，则，根据两点间的距离公式即可求解.
【详解】
解：由题意，抛物线的准线方程为，
∵，
∴点到准线的距离为6，即点的横坐标为4，不妨设点在第一象限，
则点的坐标为，
∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为，
∴，
∴的最小值为.
故选：C.
4．【答案】C
【分析】
过作垂直准线，为垂足，则有，则可转化
，分析即得解
【详解】

过作垂直准线，为垂足，，所以
（当且仅当纵坐标相等时取等号）
故选：C
5．【答案】D
【分析】
先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.
【详解】
抛物线的方程可化为x2y
故
其准线方程为y
故选：D
6．【答案】A
【分析】
若点在抛物线外部，由已知可得此种情况不存在；若点在抛物线内部，设线段的中点为，得，再由抛物线定义得 可得答案.
【详解】
若点在抛物线外部，如下图，设线段的中点为，
因为线段的中垂线是，所以，
由抛物线定义，又等于点到准线的距离，而图中，
所以点不在抛物线外部；

若点在抛物线内部，如下图，

设线段的中点为，，，
因为线段的中垂线是，所以，
再由抛物线定义得，解得或，
所以时，，
时，，
故选：A.
7．【答案】
【分析】
过点作垂直于准线于点，根据已知条件可得，可得，设准线与轴相交于点，根据，即可求得的值.
【详解】
抛物线：的焦点为坐标为，准线为
过点作垂直于准线于点，
由抛物线的定义知，
因为，所以，
所以，可得，
设准线与轴相交于点，则，，
在中，，所以，
所以的值等于．
故答案为：．

8．【答案】
【分析】
设点在底面的射影点为，连接，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设点，由已知条件可得出关于、所满足的等式，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】
设点在底面的射影点为，连接，则，，
以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
设点，则，，
，
整理可得，
由题意可知，方程表示的曲线为抛物线，
所以，故，即有，可得，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
9．【答案】
【分析】
求周长的最小值，即求的最小值．设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义，可知．因此问题转化为求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时最小，从而可得结果
【详解】
的焦点坐标为,求周长的最小值，即求的最小值，
设点在准线上的射影为，
根据抛物线的定义，可知
因此，的最小值，即的最小值
根据平面几何知识，可得当，，三点共线时最小，
因此的最小值为，
，
所以周长的最小值为，
故答案为：．

【点睛】
关键点睛：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当，，三点共线时最小，是解题的关键．
10．【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义由到准线的距离等于列方程求得的值，即可求解；
（2）求出点的坐标，设直线的方程是，，，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用列方程可得，再代入直线方程即可得所过的定点.
【详解】
（1）抛物线：的焦点，准线方程为，
因为抛物线上一点到焦点的距离，
由抛物线的定义得，所以.
所以抛物线的标准方程是；
（2）将代入可得或（舍），所以点坐标为，
因为直线的斜率不等于，设直线的方程是，，，
联立，得，
因为直线与有两个交点，所以，即.
由韦达定理得，
因为直线，的斜率之和为2，
所以
，
所以，
将代入上式可得：，即，
所以直线的方程是，它过定点.
【点睛】
思路点睛：解决定值、定点的方法
（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；
（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.
11．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题可知,代入抛物线，,求出p的值,即可得到抛物线方程；
（2）设直线的方程为，，，利用化简可得或，代入直线方程即可得证.
【详解】
（1）由，，可得，
代入：．
解得或（舍），从而：．
（2）由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
设，，
由，得，从而，
且，．
又，
，
∵
∴，
故，
整理得．
即，
从而或，即或．
若，则，过定点，与点重合，不符合：
若，则，过定点．
综上，直线过异于点的定点．
12．【答案】（1）；（2）是，.
【分析】
（1）根据抛物线的焦准距可求得的值，即可得出抛物线的方程；
（2）设直线的方程为，设点、，联立直线与抛物线的方程，列出韦达定理，求出点、的坐标，根据圆的几何性质可求得的外接圆圆心的坐标，根据结合两点间的距离公式求出的值，即可得出结论.
【详解】
（1）由题意可知，抛物线的焦点到其准线的距离为，
因此，抛物线的方程为；
（2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，
直线的方程为，联立可得，即点，
同理可得点，
设的外接圆圆心为，由于轴，则，
假设的外接圆恒过轴上一点，则，
故点的坐标为，
由于，从而，
整理可得，解得，
因此，的外接圆是否恒经过轴上的定点.



1．【答案】A
【详解】
试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A.
考点：抛物线定义.
2．【答案】B
【分析】
依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】
如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
3．【答案】C
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】
设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】
本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
4．【答案】D
【分析】
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】
因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【点睛】
本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
5．【答案】B
【详解】
设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=,

解得：

[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).
6．【答案】
【分析】
本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程．
【详解】
由抛物线方程可知，抛物线的准线方程为：．
故答案为．
【点睛】
本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题．
7．【答案】
【详解】
分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.
详细：由题意可得，点在抛物线上，将代入中，
解得：，，
由抛物线方程可得：，
焦点坐标为.

点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.
8．【答案】5
【分析】
根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求.
【详解】
因为抛物线的方程为，故且.
因为，，解得，故，
所以，
故答案为：5；.
9．【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.
【详解】
解：（1）由椭圆可知，，
所以，，则，
因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.

（2）由椭圆可知，，
若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.
所以直线的斜率存在，设为，直线过点，
则直线的方程为，
设点，，
联立方程组，
消去，得.①
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
则，
因为，且，
所以，
解得或，
因为，且，
所以不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，
即.
10．【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程.
（2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，，进而求，由题设向量垂直的坐标表示有求直线方程即可.
【详解】
（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，
∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是，
∴，解得，则抛物线方程是．
（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，
∴直线的斜率存在．设直线为，整理得，
设，，联立直线与抛物线的方程得，
消去，并整理得，于是，，
∴，
又，因此，即，
∴，解得或．
当时，直线的方程是，不满足，舍去．
当时，直线的方程是，即，
∴直线的方程是．