高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质备课课件ppt

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1.理解增函数和减函数的定义.2.理解函数单调性的含义,掌握利用定义证明函数的单调性的方法.3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.
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目 录 索 引
知识点 函数单调性的概念
2.如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间　　　叫做y=f(x)的单调区间.  函数的局部性质名师点睛1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个子集.2.对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.
过关自诊1.已知函数f(x)(x∈[-2,6])的图象如图.根据图象写出f(x)的单调区间,单调递增区间为　　　　　　　,单调递减区间为　　　　　. 
[-2,-1]和[2,6]
解析 由图象可知f(x)在[-2,6]上的单调递增区间为[-2,-1]和[2,6],单调递减区间为[-1,2].
2.若函数f(x)=ax-3在R上单调递增,则a的取值范围为　　　　　. 
解析 因为f(x)=ax-3在R上单调递增,所以a>0.
3.[人教B版教材例题]求证:函数f(x)=-2x在R上是减函数.
证明 任取x1,x2∈R且x10,从而f(x1)>f(x2).因此,函数f(x)=-2x在R上是减函数.
探究点一　确定函数的单调区间
【例1】 (1)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　　)A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=-D.f(x)=-|x|
(2)函数y=x2-2|x|+1的单调递增区间是(　　)A.[-1,0]B.[-1,0]和[1,+∞)C.(-∞,-1]D.(-∞,-1]和[0,1]
作出函数图象如图所示,由图象可知,函数的单调递增区间为[-1,0]和[1,+∞).故选B.
规律方法　1.一次、二次函数及反比例函数的单调性.(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=- 为分界线.
(3)反比例函数y= (k≠0)的单调性如下表所示.
2.对于含绝对值的函数可以去掉绝对值号转化为分段函数或作出函数图象判断函数单调性.
变式训练1 已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.
由图象可知,函数的单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调递减区间为[1,2].
探究点二　证明函数的单调性
【例2】 [北师大版教材例题]试用函数单调性的定义证明:函数f(x)=x+ 在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
规律方法　利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
特别提醒　作差变形的常用技巧(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例.(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断这个函数在(-∞,-2)上的单调性并证明.
故函数f(x)的定义域为{x|x≠-2}.(2)f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
∵x10,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)探究点三　函数单调性的应用
角度1.根据函数单调性比较大小【例3】 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较f(a2-a+1)与 的大小.
规律方法　函数单调性的应用问题的解题策略(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.(2)利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.
变式训练3 已知g(x)的定义域是[-2,2],且在区间[-2,2]上单调递增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
解 ∵g(x)在区间[-2,2]上单调递增,且g(t)>g(1-3t),
角度2.根据函数单调区间或单调性求参数范围【例4】 函数f(x)=x2+(2a+1)x+1在区间[1,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
规律方法　含参数的函数单调性问题,应明确若函数在某一区间I上单调递增(或单调递减),则该区间是函数的原单调递增区间(或单调递减区间)D的子集,即I⊆D.
变式训练4 如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-3]B.[-3,+∞)C.(-∞,5]D.[5,+∞)
图象开口向上,∴函数在区间(-∞,1-a]上单调递减,要使f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,则1-a≥4,解得a≤-3.
角度3.含参数的分段函数的单调性问题【例5】 [2023湖北武汉期末]已知f(2x)=|x-a|,若函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,则a的取值范围是(　　)A.a≥1B.a>1C.a≥2D.a>2
所以f(x)在区间(-∞,2a]上单调递减.因为函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,所以2a≥2,得a≥1.故选A.
规律方法　判断分段函数的单调性时不要忽视分段函数定义域的分界点的大小,由于分段函数是一个函数,因此对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小应满足函数的单调性的性质,否则求出的参数的范围会出现错误.
变式训练5 若函数f(x)= 是R上的单调函数,则实数a的取值范围为　　　　　. 
本节要点归纳1.知识清单:(1)函数单调性的概念.(2)求函数的单调区间.(3)证明函数的单调性.(4)函数单调性中的含参数类综合问题.2.方法归纳:定义法、数形结合法、配方法.3.常见误区:(1)函数的单调区间误用并集;(2)忽视单调区间的开闭问题.
1.(多选题)若函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则下列区间是函数f(x)的单调递减区间的为(　　)A.[-4,-2]B.[-3,-1]C.[-4,0]D.[1,4]
解析 由图象可得f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,1]上单调递增,在[1,4]上单调递减,故选AD.
2.[2023广东惠阳月考]已知函数f(x)=ax+1在R上单调递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为(　　)A.[-2,+∞)B.[2,+∞)C.(-∞,2]D.(-∞,-2]
解析 ∵函数f(x)=ax+1在R上单调递减,∴a<0.∴函数g(x)=a(x2-4x+3)的图象开口向下,其对称轴方程为x=2.∴g(x)在(-∞,2]上单调递增,即函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为(-∞,2].故选C.
3.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)< 的实数x的取值范围是　　　　　.