高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数课文ppt课件

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1.通过具体实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y= 的图象,理解它们的变化规律.3.能利用幂函数的基本性质解决相关的实际问题.
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目 录 索 引
知识点1 幂函数的定义
一般地,函数　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. α可取任意实数,但现在只研究α为有理数的情形名师点睛幂函数的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=-x2都是幂函数.(　　)(2)所有二次函数都是幂函数.(　　)2.下列所给的函数中是幂函数的为(　　)A.y=2x5B.y=x3+1C.y=x-3D.y=3x
知识点2 幂函数的性质与图象
1.在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象如下图所示.
过关自诊1.如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则曲线C1,C2,C3,C4对应的n依次为(　　)
解析 根据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,y=xn递增速度越快,
与3.71-1的大小关系为　 　　　　.  3.通过对知识点2中5个幂函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?
3.17-1>3.71-1
提示 第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象.
探究点一　幂函数的概念
【例1】 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的值.
解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
规律方法　幂函数的判断方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必是这种形式.
变式训练1 如果幂函数y=(m2-3m+3) 的图象不过原点,求实数m的取值.
解 由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0, 其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.
探究点二　幂函数的图象
【例2】 下列关于函数y=xα与y=αx 的图象正确的是(　　)
解析 函数y=xα是幂函数,而y=αx是一次函数.选项A,直线对应函数为y=x,曲线对应函数为y=x-1;选项B,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y= ;选项C,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x2;选项D,直线对应函数为y=-x,曲线对应函数为y=x3,故C正确.
规律方法　函数y=xα(α为常数)的图象特点(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= ,y=x3)来判断.(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都上升;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都下降.
变式训练2 如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　)A.nm>0D.m>n>0
解析 画出直线y=1的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,1), (2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,2n<2m<1,即n探究点三　利用幂函数的单调性比较大小
【例3】 比较下列各组中两个数的大小:
规律方法　1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
变式训练3 比较下列各组数的大小:
探究点四　幂函数性质的综合应用
【例4】 函数f(x)=(m2-m-1) 是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,则实数m为(　　)A.1B.-1C.2D.-1或2
规律方法　幂函数y=xα在(0,+∞)上的单调性与α的关系:当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减.
变式训练4 [2023湖南常德期末]已知幂函数f(x)=xa的图象过点(2,4).(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数h(x)=2f(x)-kx-1在区间[-1,1]上是单调函数,求实数k的取值范围.
解 (1)因为幂函数f(x)=xa的图象过点(2,4),代入解析式有4=2a,解得a=2.所以函数f(x)=x2.
本节要点归纳1.知识清单:(1)幂函数的定义.(2)几个常见幂函数的图象.(3)幂函数的性质.2.方法归纳:待定系数法、数形结合法.3.常见误区:(1)对幂函数形式的判断易出错,只有形如y=xα(x是自变量,α为常数)的函数为幂函数,其他形式都不是幂函数;(2)对于幂函数的图象,一般只考虑第一象限的情况,忽略其他象限可能的情形.
1.已知幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),则k+α等于(　　)
解析 ∵幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),∴k-1=1,2α=4,∴k=2,α=2.∴k+α=4,故选D.
2.下列函数是幂函数且在(0,+∞)上单调递减的是(　　)