高考数学三轮冲刺卷：直线被圆截得的弦长（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：直线被圆截得的弦长（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 若直线 被圆 所截得的弦长为 ，则实数 的值为
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

2. 圆 截直线 所得弦长为 ，则 的值为
A. B. C. D. 或

3. 设圆 的方程为 ，直线 的方程为 ，圆 被直线 截得的弦长等于
A. B. C. D. 与 有关

4. 直线 被圆 截得的弦长为
A. B. C. D.

5. 直线 被圆 截得的弦长等于
A. B. C. D.

6. 直线 截圆 的弦长为 ，则
A. B. C. D.

7. 圆 被直线 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 ，则 的值
A. B. C. D.

8. 若直线 被圆 所截得的弦长为 ，则正数
A. 或 B. C. D.

9. 已知圆的方程是 ，记过点 的最长弦和最短弦分别为 ，，则直线 ， 的斜率之和等于
A. B. C. D.

10. 直线 与圆 相交所得弦长为
A. B. C. D.

11. 直线 截圆 得到的弦长为
A. B. C. D.

12. 若直线 被圆 所截得的弦长为 ，则实数 为
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

13. 直线 是圆 的一条对称轴，过点 作斜率为 的直线 ，则直线 被圆 所截得的弦长为
A. B. C. D.

14. 已知直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则圆 的标准方程为
A. B.
C. D.

15. 已知 ，直线 被圆 所截得的弦长为 ，且 为圆 上任意一点，则 的最大值为
A. B. C. D.

16. 直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则 的取值范围是
A. B.
C. D.

17. 若双曲线 （，）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的离心率为
A. B. C. D.

18. 以双曲线 上一点 为圆心作圆，该圆与 轴相切于 的一个焦点 ，与 轴交于 ， 两点，若 ，则双曲线 的离心率是
A. B. C. D.

19. 设 ，，，，， 都是非零实数，不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ，则“”是“”的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件

20. 已知双曲线 的焦距为 ，直线 与双曲线 的一条斜率为负值的渐近线垂直且在 轴上的截距为 ，以双曲线 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆 与直线 交于 ， 两点，若 ，则双曲线 的离心率为
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 过原点且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为 ．

22. 直线 被圆 所截的弦长为 ，则圆 的方程可以为 ．（写出一个即可）

23. 过点 作直线 与圆 交于 ， 两点，若 ，则直线 的方程为 ．

24. 已知圆 ，点 的坐标为 ，其中 ，若过点 有且只有一条直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线 的一般式方程是 ．

25. 在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别是 和 ，则四边形 的面积为 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知圆 的圆心在直线 上，圆 与 轴相切，且直线 被圆 所截得的线段的长为 ，求圆 的方程．

27. 根据下列条件，求圆的方程．
（1）经过点 ，，且圆心在直线 上；
（2）经过 ， 两点，并且在 轴上截得的弦长等于 ．

28. 已知圆 ，直线 ．
（1）求直线 截圆 所得弦 的长度；
（2）若 为 轴上一点，过 向圆 作切线 ， 为切点，设 ，求点 的坐标．

29. 已知圆 经过 ，， 三点．
（1）求圆 的标准方程；
（2）若过点 的直线 被圆 截得的弦 的长为 ，求直线 的倾斜角．

30. 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 ．
（1）若 与 相交于 ， 两点 ，求 ；
（2）圆 的圆心在极轴上，且圆 经过极点，若 被圆 截得的弦长为 ，求圆 的半径．
答案
第一部分
1. A【解析】因为圆 ，所以圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线的距离为 ．
因为 ，解得 或 ．
2. D
3. A
4. D
5. D
【解析】设圆 与直线 交于 ， 两点，如图，连接 ，过 作 ，
根据垂径定理得： 为 的中点，
根据 得到圆心 的坐标为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离 ，而半径 ，
则在直角三角形 中根据勾股定理得 ，
所以 ．
6. C
7. A
8. B
9. B【解析】由题意可得最长弦为过点 的直径，此时 的斜率为 ，最短弦为过点 且与最长弦垂直的弦，此时 的斜率为 ，则直线 ， 的斜率之和等于 ．
10. A
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
故弦 ．
11. B【解析】圆的半径为 ，圆心 到直线的距离为 ，所以弦长为 ．
12. D【解析】因为圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离 ，
又直线 被圆 所截得的弦长为 ，
所以 ，即 ，解得 或 ．
13. C【解析】因为 圆 ，即 ，
表示以 为圆心、半径等于 的圆．
由题意可得，直线 经过圆 的圆心 ，
故有 ，
所以 ，点 ．
直线 ，圆心到直线的距离 ，
所以直线 被圆 所截得的弦长为 ．
14. B【解析】化圆 为 ，
可得圆心坐标为 ，半径为 ，
由圆心 到直线 的距离 ，且 ，
得 ，
所以圆 的标准方程为 ．
15. D
【解析】由题意，圆心 到直线 的距离为 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 的最大值为 ．
16. A【解析】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，重点考查数形结合思想的运用．
圆心的坐标为 ，且圆与 轴相切．当 时，由点到直线的距离公式，解得 或 ，结合图形可知 的取值范围为 ．
17. C【解析】由圆 可得圆心 ，半径为 ，
双曲线 （，）的一条渐近线为：，
渐近线被圆 所截得的弦长为：，圆心到直线的距离为：，
由弦长公式可得 ，可得 ，即 ．
可得 ．
18. B【解析】不妨设点 位于第一象限，由双曲线的性质可得 ，
由圆的弦长公式可得：，
结合 可得 ，
整理变形可得：，即 ，，
双曲线中 ，故 ，．
19. B
20. D
【解析】双曲线斜率为负值的渐近线方程为：，
所以直线 的斜率为 ，
则直线 方程为：，即 ，
由题意可知：圆 的圆心为 ，半径 ，
则圆心到直线 的距离：，
所以 ，
整理可得：，即 ，解得： 或 ，
因为双曲线离心率 ，
所以 ．
第二部分
21.
22. （答案不唯一）
23. 或
【解析】分直线有斜率和没斜率两种情况去讨论．有斜率的可以先把直线斜率设出来，然后利用直线和圆相交弦长的求法来解出斜率．
24.
25.
第三部分
26. 因为圆心在 上，可设其为 ．
因为 在 轴相切，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以所求圆的方程为 或 ．
27. （1） 由题意知 ， 中点为 ，设圆心 ．
因为圆过 ， 两点，
所以圆心一定在线段 的垂直平分线上，
则 解得 所以 ，
所以 ，
所以所求圆的方程为 ．
（2） 设圆的方程为 ．
将 ， 两点的坐标分别代入得
又令 ，得
设 ， 是方程③的两根，
由 ，得
由①②④解得 ，， 或 ，，．
故所求圆的方程为 或 ．
28. （1） 如图．
圆 的方程可化为 ，
所以圆 的圆心 ，半径 ．
过点 作 于 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
（2） 设点 ，由题意，得 ，
所以 ．
因为 ，，
所以 ．
所以 ，解得 ．
故点 的坐标为 ，．
29. （1） 解法一：
设圆 的方程为 ，
则 所以
即圆 为 ，
所以圆 的标准方程为 ．
解法二：
则 中垂线为 ， 中垂线为 ，
所以圆心 满足
所以 ，半径 ，
所以圆 的标准方程为 ．
（2） ①当斜率不存在时，即直线 到圆心的距离为 ，也满足题意，
此时直线 的倾斜角为 ；
②当斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由弦长为 ，可得圆心 到直线 的距离为 ，
，
所以 ，此时直线 的倾斜角为 ．
综上所述，直线 的倾斜角为 或 ．
30. （1） 由 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
设 ， 两点对应的参数分别为 ，，则 ，
故 ．
（2） 直线 的普通方程为 ，
设圆 的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ．
因为 ，
所以 ，
解得 （，舍去），
所以圆 的半径为 ．