【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线被圆截得的弦长

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线被圆截得的弦长，共7页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共28小题；共140分）
1. 已知圆 x2+y2−2x+2y+a=0 截直线 x+y−4=0 所得弦的长度小于 6，则实数 a 的取值范围为
A. 2−17,2+17B. 2−17,2
C. −15,+∞D. −15,2

2. 直线 l：3x+4y+5=0 被圆 M：x−22+y−12=16 截得的弦长为
A. 7B. 5C. 27D. 10

3. 若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 相交于 P，Q 两点，且 ∠POQ=120∘（其中 O 为原点），则 k 的值为
A. −3 或 3B. 3C. −2 或 2D. 2

4. 圆心为 1,−2，半径为 25 的圆在 x 轴上截得的弦长是
A. 8B. 6C. 62D. 43

5. 过点 P1,3 作圆 O：x2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A 和 B，则弦长 ∣AB∣=
A. 3B. 2C. 2D. 4

6. 若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 相交于 P，Q 两点，且 ∠POQ=120∘（其中 O 为原点），则 k 的值为
A. −3 或 3B. 3C. −2 或 2D. 2

7. 已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A，B 两点，且 OA+OB=OA−OB（其中 O 为坐标原点），则实数 a 的值为
A. 2B. 6C. 2 或 −2D. 6 或 −6

8. 已知直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 相交于 A 、 B 两点，且 ∣AB∣=3 ，则 OA⋅OB=
A. −12B. 12C. 32D. −32

9. 台风中心从 A 地以每小时 20km 的速度向东北方向移动，离台风中心 30km 内的地区为危险地区，城市 B 在 A 的正东 40km 外，B 城市处于危险区内的时间为
A. 0.5hB. 1hC. 1.5hD. 2h

10. 圆心在直线 x−2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 23，则圆 C 的标准方程为
A. x−22+y+12=4B. x+22+y+12=4
C. x−22+y−12=4D. x+22+y−12=4

11. 已知圆 x2+y2−6x=0 的、，过点 1,2 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

12. 过三点 A1,3，B4,2，C1,−7 的圆交 y 轴于 M，N 两点，则 MN 等于
A. 26B. 8C. 46D. 10

13. 直线 y−1=kx−3 被圆 x−22+y−22=4 所截得的最短弦长等于
A. 3B. 23C. 22D. 5

14. 已知圆 x2+y2−6x=0，过点 1,2 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

15. 若直线 l：ax−by+2=0a>0,b>0 被圆 C：x+22+y−22=9 截得的弦长为 6，则 2a+3b 的最小值为
A. 10B. 4+26C. 5+26D. 46

16. 直线 y=kx+1 与圆 x−22+y−12=4 相交于 P，Q 两点．若 ∣PQ∣≥22，则实数 k 的取值范围是
A. −34,0B. −33,33C. −1,1D. −3,3

17. 直线 l：3x+4y+5=0 被圆 M：x−22+y−12=16 截得的弦长为
A. 7B. 5C. 27D. 10

18. 直线 y=kx+3 与圆 x−32+y−22=4 相交于 M，N 两点，若 ∣MN∣≥23，则 k 的取值范围是
A. −34,0B. −∞,−34∪0,+∞
C. −33,33D. −23,0

19. 已知 P 为圆 O:x2+y2=1 上的一个动点，O 为坐标原点，过点 P 作圆 O 的切线与圆 O1:x2+y2−2x−8y−19=0 相交于 A，B 两点，则 ∣AB∣ 的最小值是
A. 17−1B. 17+1C. 217−2D. 217+2

20. 过点 A3,5 作圆 x2+y2−4x−8y−80=0 的最短弦，则这条弦所在直线的方程是
A. 2x−y−6=0B. 2x+y−6=0C. x−y−3=0D. x+y−8=0

21. 已知圆 C:x2+y−32=4，过 A−1,0 的直线 l 与圆 C 相交于 P，Q 两点，若 ∣PQ∣=23，则直线 l 的方程为
A. x=−1 或 4x+3y−4=0B. x=−1 或 4x−3y+4=0
C. x=1 或 4x−3y+4=0D. x=1 或 4x+3y−4=0

22. 直线 3x+y−2=0 截圆 x2+y2=4 得到的弦长为
A. 1B. 23C. 22D. 2

23. 已知圆 M:x2+y2−2ay=0a>0 截直线 x+y=0 所得线段的长度是 22，则圆 M 与圆 N:x−12+y−12=1 的位置关系是
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离

24. 若点 M3,0 是圆 x2+y2−8x−4y+10=0 内一点，则过点 M3,0 的最长的弦所在的直线方程是
A. x+y−3=0B. x−y−3=0C. 2x−y−6=0D. 2x+y−6=0

25. 圆心坐标为 2,−1 的圆在直线 x−y−1=0 上截得的弦长为 22，那么这个圆的方程为
A. x−22+y+12=4B. x−22+y+12=2
C. x−22+y+12=8D. x−22+y+12=16

26. 已知圆的方程为 x2+y2−6x−8y=0，设该圆中过点 3,5 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积是
A. 106B. 206C. 306D. 406

27. 过点 P−1,1 的直线与圆 x2+y2+4x=0 相交于 A 、 B 两点，当 ∣AB∣ 取最小值时，直线的方程是
A. x+y+2=0B. x−y=0C. x+y−2=0D. x+y=0

28. 过点 M1,2 的直线 l 将圆 x−22+y2=9 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线 l 的方程是
A. x=1B. y=1C. x−y+1=0D. x−2y+3=0

二、选择题（共2小题；共10分）
29. 已知圆 M 的一般方程为 x2+y2−8x+6y=0，则下列说法正确的是
A. 圆 M 的圆心为 −4,3B. 圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8
C. 圆 M 的半径为 5D. 圆 M 被 y 轴截得的弦长为 6

30. 直线 y=kx+3 与圆 x−32+y−22=4 相交于 M，N 两点，若 MN≥23，则 k 的取值可以是
A. −1B. −12C. 0D. 1
答案
第一部分
1. D【解析】圆心 1,−1，半径 r=2−a，2−a>0，所以 a<2，
圆心到直线 x+y−4=0 的距离 d=∣1−1−4∣2=22．
则弦长为 22−a2−222=2−a−6<6．
解得 a>−15，故 −152. C
3. A【解析】由已知利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形可得圆心 O 到直线 y=kx+1 的距离为 12，由点到直线的距离公式，得 d=12=11+k2，解得 k=±3．
4. A【解析】弦心距 d=2，所以弦长 AB=2r2−d2=2252−4=8．
5. A
【解析】由题意得 OP=2，OA=1，OA⊥AP，故 ∠POA=60∘，∠AOB=2∠POA=120∘，故 AB=3．
6. A
7. C
8. A
9. B【解析】提示：建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为 20 千米，故处于危险区内的时间为 2020=1h．
10. C
【解析】根据题意，圆心在直线 x−2y=0 上，设圆心的坐标为 2t,t．
由圆 C 与 y 轴的正半轴相切，得 t>0，且圆的半径 r=2t．
由圆 C 截 x 轴所得弦的长为 23，得 t2+3=4t2，解得 t=1（t=−1 舍去），
则圆心坐标为 2,1，半径 r=2，
故圆 C 的标准方程为 x−22+y−12=4．
11. B【解析】由 x2+y2−6x=0 得圆心为 3,0，
设此点为 C，点 1,2 为 A，
当过点 A 的弦与 AC 垂直时，弦长最小，
易知 ∣AC∣=22+−22=22，
因为半径，半弦长，弦心距构成直角三角形，
所以弦的长度的最小值为 232−222=2．
12. C【解析】由已知，得 AB=3,−1，BC=−3,−9，
则 AB⋅BC=3×−3+−1×−9=0，
所以 AB⊥BC，即 AB⊥BC，
故过三点 A，B，C 的圆以 AC 为直径，
得其方程为 x−12+y+22=25，
令 x=0，得 y+22=24，
解得 y1=−2−26，y2=−2+26，
所以 MN=y1−y2=46．
13. C
14. B【解析】由圆的方程可得圆心坐标 C3,0，半径 r=3；
设圆心到直线的距离为 d，则过 D1,2 的直线与圆的相交弦长 AB=2r2−d2，
当 d 最大时弦长 AB 最小，当直线与 CD 所在的直线垂直时 d 最大，
这时 d=CD=3−12+2−02=22，
所以最小的弦长 AB=232−222=2．
15. C
16. C【解析】若 ∣PQ∣≥22，则圆心 2,1 到直线 y=kx+1 的距离 d≤4−2222=2，即 ∣2k∣1+k2≤2，解得 −1≤k≤1．
17. C【解析】因为圆 x−22+y−12=16，
所以圆心 2,1，半径 r=4，
圆心到直线的距离 d=∣6+4+5∣5=3，
所以直线 3x+4y+5=0 被圆 x−22+y−12=16 截得的弦长 l=27．
18. A
19. C
20. D
【解析】圆：x−22+y−42=102，圆心为 B2,4，r=10．
设这条弦所在直线为 l，则 AB⊥l．
因为 kAB=5−43−2=1，
所以直线 l 的斜率 k=−1．
所以所求直线的方程为 y−5=−x−3，即 x+y−8=0．
21. B【解析】根据题意，分 2 种情况讨论：
①，直线 l 的斜率不存在，此时直线 l 的方程为 x=−1，
又由圆 C:x2+y−32=4，此时有 y−32=3，
解可得：∣y1−y2∣=23，
即 ∣PQ∣=23，符合题意；
②，直线 l 的斜率存在，设直线的方程为 y=kx+1，即 kx−y+k=0，
圆 C:x2+y−32=4，圆心为 0,3，半径 r=2，
直线 l 与圆 C 相交于 P，Q 两点，
若 ∣PQ∣=23，则有 d=∣k−3∣1+k2=4−3，
解可得：k=43，
此时直线 l 的方程为 4x−3y+4=0；
综合可得：直线 l 的方程为 x=−1 或 4x−3y+4=0；
故选：B．
22. B【解析】圆的半径为 2，圆心 0,0 到直线的距离为 d=∣−2∣3+1=1，所以弦长为 2r2−d2=24−1=23．
23. B【解析】圆 M:x2+y2−2ay=0 的圆心 M0,a，半径 a，
所以圆心 M 到直线 x+y=0 的距离为 ∣a∣2．
由直线 x+y=0 被圆 M 截得的弦长为 22，知 a2−a22=2，
故 a=2，即 M0,2 且圆 M 的半径为 2．
又圆 N 的圆心为 N1,1，且半径为 1，
根据 1<∣MN∣=2<3，知两圆相交．
故选B．
24. C【解析】圆 x2+y2−8x−4y+10=0 的圆心坐标为 4,2，则过点 M3,0 且过圆心 4,2 的弦最长，则最长弦所在直线的斜率 k=2−04−3=2，结合选项知C正确．
25. A
【解析】d=∣2+1−1∣1+1=2，r=2+2=2，所以圆的方程为 x−22+y+12=4．
26. B
27. D【解析】过点 P−1,1 的直线被圆所截的弦长最短，则该直线垂直于过点 P−1,1 与圆心 −2,0 的直线，所以该直线的斜率为 −1．该直线的方程为 y=−x，即 x+y=0．
28. D【解析】要使劣弧最短，只需弦长最短，当 l 和点 M 与圆心连线垂直时弦最短，
∴kl⋅2−01−2=−1，得 kl=12，
再由点斜式得直线 l 的方程为 y−2=12x−1，即 x−2y+3=0．
第二部分
29. B， C， D
【解析】由圆 M 的一般方程为 x2+y2−8x+6y=0，得圆 M:x−42+y+32=52，
故圆心为 4,−3，半径为 5，则A错误，C正确；
令 x=0，得 y=0 或 y=−6，即圆 M 被 y 轴截得的弦长为 0−−6=6，故D 正确；
令 y=0，得 x=0 或 x=8，即圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8−0=8，故B正确．
30. B， C
【解析】圆 x−32+y−22=4 的圆心为 3,2，半径为 2，
由 MN≥23 可得圆心 3,2 到直线 y=kx+3 的距离 d=22−MN22≤1，
又直线方程可化为 kx−y+3=0，
所以 ∣3k−2+3∣k2+1≤1，解得 −34≤k≤0，
所以 k 的取值可以是 −12，0．