2022届高考大一轮复习知识点精练：直线被圆截得的弦长

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：直线被圆截得的弦长，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知圆 x2+y2−6x=0，过点 1,2 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

2. 设 P，Q 分别为直线 x−y=0 和圆 x2+y−62=2 上的点，则 PQ 的最小值为
A. 22B. 32C. 42D. 4

3. 若双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线被圆 x−22+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 233

4. 已知直线 y=kx+1 与圆 x2−4x+y2=0 相交于 M，N 两点，且 MN≥23，那么实数 k 的取值范围是
A. −4≤k≤−13B. 0≤k≤43
C. k≥0 或 k≤−43D. −43≤k≤0

5. 直线 y=x+m 与圆 x2+y2=4 相交于 M，N 两点，若 ∣MN∣≥22，则 m 的取值范围是
A. −2,2B. −4,4
C. 0,2D. −22,−2∪2,22

6. 已知直线 l:x+ay−1=0a∈R 是圆 C:x2+y2−4x−2y+1=0 的对称轴．过点 A−4,a 作圆 C 的一条切线，切点为 B，则 ∣AB∣=
A. 2B. 42C. 6D. 210

7. 已知圆 x−32+y2=9 与直线 y=x+mm>0 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 A 轴的垂线，且与 x 轴分别交于 C，D 两点，若 ∣CD∣=2，则 m=
A. 3B. 2C. 2D. 1

8. 已知直线 l:x+ay=2 与圆 C:x2+y2=4 相交于 M，N 两点，若 ∣MN∣=23，则直线 l 的斜率为
A. 33B. ±33C. 3D. −3

9. 已知直线 l：y=mx−2+2 与圆 C：x2+y2=9 交于 A，B 两点，则使弦长 AB 为整数的直线 l 共有
A. 6 条B. 7 条C. 8 条D. 9 条

10. 设 F 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P，Q 两点，若 ∣PQ∣=∣OF∣，则 C 的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 5

11. 已知直线 l 经过点 P−4,2，且被圆 x+12+y+22=25 截得的弦长为 8，则直线 l 的方程是
A. 7x+24y−20=0B. 4x+3y+25=0
C. 4x+3y+25=0 或 x=−4D. 7x+24y−20=0 或 x=−4

12. 直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A，B 两点，则“k=1”是“∣AB∣=2”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

13. 过三点 A1,3，B4,2，C1,−7 的圆交 y 轴于 M，N 两点，则 MN 等于
A. 26B. 8C. 46D. 10

14. 在平面直角坐标系 xOy 中，过 A4,4，B4,0，C0,4 三点的圆被 x 轴截得的弦长为
A. 2B. 42C. 4D. 22

15. 已知圆 x2+y2−4x+a=0 截直线 x−3y=0 所得弦的长度为 23，则实数 a 的值为
A. −2B. 0C. 2D. 6

16. 已知圆 x2+y2−2x+2y+a=0 截直线 x+y−2=0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是
A. −8B. −6C. −5D. −4

17. 直线 x−y+2=0 与圆 x+12+y2=2 相交于 A，B 两点，则 ∣AB∣=
A. 12B. 22C. 32D. 6

18. 若双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线被圆 x+32+y2=9 所截得的弦长为 3，则 E 的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 233

19. 若双曲线 E:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线被圆 x+32+y2=9 所截得的弦长为 3，则 E 的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 233

20. 若双曲线 C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线被圆 x+22+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为
A. 233B. 2C. 3D. 2

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知直线 x−3y+8=0 和圆 x2+y2=r2r>0 相交于 A，B 两点．若 AB=6，则 r 的值为 ．

22. 设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2−2ay−2=0a>0 相较于 A，B 两点，若 AB=23，则 a= ．

23. 已知直线 l:x+y−2=0 与圆 C:x−12+y2=1 相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长度为 ．

24. 如果直线 ax−y+3=0 被圆 x2+y2−6x−8y=0 所截得的弦长为 45，那么 a 的值为 ．

25. 已知圆 C:x2+y2−2x−2y−6=0．直线 l 过点 0,3，且与圆 C 交于 A，B 两点，∣AB∣=4，则直线 l 的方程 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知直线 ax−y+2−a=0 与圆 C：x−32+y−12=9 相交于 A，B 两点，若弦 AB 的长为 32，求实数 a 的值．

27. 已知圆 C 经过 A2,−3 和 B−2,−5 两点，圆心在直线 x−2y−3=0 上．
（1）求圆 C 的方程．
（2）过原点的直线 l 与圆 C 交于 M，N 两点，若 ∣MN∣=6，求直线 l 的方程．

28. 圆 C:x2+y2−2x−11=0 内有一点 P2,2，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A，B 两点．
（1）当直线 l 的倾斜角为 45∘ 时，求弦 AB 的长；
（2）当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 l 的方程；

29. 求经过点 P6,−4 且被圆 x2+y2=20 截得的弦长为 62 的直线的方程．

30. 已知点 A2,aa>0，圆 C：x−12+y2−5．
（1）若过点 A 只能作一条圆 C 的切线，求实数 a 的值及切线方程．
（2）设 l 为过点 A 且斜率为 1 的直线，若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 23，求实数 a 的值．

31. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x=−2+12t,y=32t,（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ=10，
（1）若 l 与 C 相交于 A，B 两点 P−2,0，求 ∣PA∣⋅∣PB∣．
（2）圆 M 的圆心在极轴上，且圆 M 经过极点，若 l 被圆 M 截得的弦长为 1，求圆 M 的半径．
答案
第一部分
1. B【解析】圆 x2+y2−6x=0 化为 x−32+y2=9，所以圆心 C 坐标为 C3,0，半径为 3．
设 P1,2，当过点 P 的直线和直线 CP 垂直时，
圆心到过点 P 的直线的距离最大，所求的弦长最短．
根据弦长公式最小值为 29−CP2=29−8=2．
2. A【解析】由题意可得圆心 0,6 到直线 x−y=0 的距离为 d=0−62=32，圆的半径 r=2，故 PQ 的最小值为 d−r=22．
3. A【解析】双曲线的渐近线为 y=±bax，即 ay±bx=0，圆 x−22+y2=4 的圆心为 2,0，半径为 2，圆心到渐近线的距离 d=±2ba2+b2，
因为渐近线被圆截得的弦长为 2，
所以 222−d2=2，d=±2ba2+b2=3，4b2=3a2+3b2，
所以 b2=3a2，
又由 c2=a2+b2，得 c2=4a2，解得离心率 e=ca=2．
4. D【解析】因为圆 x2−4x+y2=0，
即 x−22+y2=4，该圆的圆心为 2,0，半径为 2，
所以直线 y=kx+1 到圆心的距离 d=2k+1k2+1，
又因为 MN≥23，
所以 MN=2r2−d2=23−4kk2+1≥23，
化简得：3k2+4k≤0，
解得：−43≤k≤0．
5. A
【解析】根据题意，圆 x2+y2=4 的圆心为 0,0，半径 r=2，圆心到直线 y=x+m 的距离 d=∣m∣2，若 ∣MN∣≥22，即 ∣MN∣2=44−m22≥8，即 m22≤2，解可得：−2≤m≤2，即 m 的取值范围为 −2,2．
6. C【解析】圆 C 的标准方程为 x−22+y−12=22，圆心为 C2,1，半径 r=2，
由直线 l 是圆 C 的对称轴，知直线 l 过点 C，
所以 2+a×1−1=0，a=−1，
所以 A−4,−1，于是 ∣AC∣2=40，
所以 ∣AB∣=∣AC∣2−22=40−4=6．
7. D【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，
由 y=x+m,x−32+y2=9 消去 y，得 2x2+2m−3x+m2=0，
由韦达定理知，x1+x2=−m−3，x1x2=m22，
所以
∣CD∣=x1−x2=x1+x22−4x1x2=m−32−2m2=2.
即 −m2−6m+9=2，
所以 m2+6m−7=0，
解得 m=1或−7，
又 m>0，
所以 m=1．
8. B
9. C
10. A
11. D【解析】因为点 P 在圆上，
所以直线 l 有两条．
当直线斜率存在时，设直线方程为 y−2=kx+4，
即 kx−y+4k+2=0．
由圆的方程可知圆心为 −1,−2，半径 r=5，
所以 ∣−k+2+4k+2∣k2+12+42=25，
解得 k=−724，
所以直线方程为 7x+24y−20=0．
当直线斜率不存在时，直线方程为 x=−4，满足弦长为 8．
综上，所求直线方程为 7x+24y−20=0 或 x=−4．
12. A【解析】依题意，注意到 ∣AB∣=2=∣OA∣2+∣OB∣2 等价于圆心 O 到直线 l 的距离等于 22，即有 1k2+1=22，k=±1．因此，“k=1”是“∣AB∣=2”的充分不必要条件．
13. C【解析】由已知，得 AB=3,−1，BC=−3,−9，
则 AB⋅BC=3×−3+−1×−9=0，
所以 AB⊥BC，即 AB⊥BC，
故过三点 A，B，C 的圆以 AC 为直径，
得其方程为 x−12+y+22=25，
令 x=0，得 y+22=24，
解得 y1=−2−26，y2=−2+26，
所以 MN=y1−y2=46．
14. C【解析】由题意可知，A4,4，B4,0，C0,4 三点在圆上，且 AB⊥AC，
所以 △ABC 为直角三角形，
所以圆心为 BC 中点 2,2，
半径为 12BQ=22，
所以圆方程为 x−22+y−22=8，
圆心 2,2 到 x 轴的距离 d=2，
所以该圆被 x 轴截得的弦长为 28−22=4．
15. B
【解析】圆 x2+y2−4x+a=0 的圆心为 C2,0，半径 r=4−a，
因为圆 x2+y2−4x+a=0 截直线 x−3y=0 所得弦的长度为 23，
圆心 C2,0 到直线 x−3y=0 的距离 d=21+3=1，
所以 2r2−d2=24−a−1=23，解得 a=0．
16. D【解析】根据题意，圆 x2+y2−2x+2y+a=0，即 x−12+y+12=2−a，其圆心为 1,−1，半径 r=2−a，圆心到直线 x+y−2=0 的距离 d=21+1=2，
又由圆截直线 x+y−2=0 所得弦的长度为 4，则有 r2=d2+422=2+2=2−a，解可得 a=−4；
故选：D．
17. D
18. C【解析】由圆 C:x+32+y2=9 可得圆心 −3,0，半径为 3，
双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线为：bx−ay=0，
渐近线被圆 x+32+y2=9 所截得的弦长为：3，圆心到直线的距离为：3ba2+b2，
由弦长公式可得 32=9−9b2a2+b2，可得 a2a2+b2=14，即 c2a2=4．
可得 e=2，
故选：C．
19. C【解析】由圆 C:x+32+y2=9 可得圆心 −3,0，半径为 3，
双曲线 E:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线为：bx−ay=0，
渐近线被圆 x+32+y2=9 所截得的弦长为：3，圆心到直线的距离为：3ba2+b2，
由弦长公式可得 32=9−9b2a2+b2，可得 a2a2+b2=14，即 c2a2=4．
可得 e=2．
20. D
【解析】设双曲线 C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，
圆 x−22+y2=4 的圆心 2,0，半径为：2，
双曲线 C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线被圆 x−22+y2=4 所截得的弦长为 2，
可得圆心到直线的距离为：22−12=2ba2+b2，
解得：4c2−4a2c2=3，可得 e2=4，即 e=2．
第二部分
21. 5
【解析】因为圆心 0,0 到直线 x−3y+8=0 的距离 d=81+3=4，
由 AB=2r2−d2 可得 6=2r2−42，解得 r=5．
22. 2
23. 2
24. 2 或 −12
【解析】由 x2+y2−6x−8y=0，得 x−32+y−42=25，
则圆心坐标为 3,4，半径为 5，
因为直线 ax−y+3=0 被圆 x2+y2−6x−8y=0 所截得的弦长为 45，
所以圆心到直线 ax−y+3=0 的距离 d=3a−4+3a2+1=25−20=5，
解得 a=2 或 a=−12．
25. y=3 或 y=43x+3
【解析】根据题意，圆 C:x2+y2−3x−2y−6=7，即 x−12+y−22=8，圆心 C1,1，半径 r=22，
又由直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，则点 C 到直线 l 的距离 d=r2−∣AB∣22，
若直线 l 的斜率不存在，直线 l 的方程为 x=4，不符合题意；
若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y=kx+3，
则有 d=∣k+2∣1+k2=2，
解得 k=0，或 k=43，
故直线 l 的方程为 y=3 或 y=43x+3；
故答案为：y=3 或 y=43x+3．
第三部分
26. 因为圆心到直线 ax−y+2−a=0 的距离为 ∣2a+1∣a2+1，
所以 ∣2a+1∣a2+12+3222=9，
解得 a=1 或 a=7．
27. （1） 因为 kAB=12，AB 中点为 0,−4，
所以 AB 中垂线方程为 y+4=−2x，
即 2x+y+4=0，解方程组 2x+y+4=0,x−2y−3=0, 得 x=−1,y=−2,
所以圆心 C 为 −1,−2．
根据两点间的距离公式，得半径 r=10，
因此，所求的圆 C 的方程为 x+12+y+22=10．
（2） ①当直线率不存在时，方程 x=0，
代入圆 C 方程得 1+y+22=9，
解得 y=−5 或 y=1，
此时 ∣MN∣=∣1−−5∣=6，符合．
②当直线 l 斜率存在时，设方程为 y=kx，
则圆心 −1,−2 到直线 l 的距离 d=∣−k+2∣1+k2，
又因为 ∣MN∣=2r2−d2=6，
所以 d2=1，
即 ∣−k+2∣1+k2=1，
解得 k=34，直线方程为 y=34x，
综上，直线 l 方程为 x=0 或 y=34x．
28. （1） 化圆 C:x2+y2−2x−11=0 为 x−12+y2=12，
圆心坐标为 C1,0，半径 R=23．
直线 l 的倾斜角为 45∘，则斜率为 1，
又直线 l 过点 P2,2，则直线方程为 y−2=x−2，即 x−y=0．
圆心 C 到直线 l 的距离 d=12，圆的半径为 23，
则弦 AB 的长为 212−12=46．
（2） 当弦 AB 被点 P 平分时，l⊥PC．
又 kPC=2−02−1=2，所以直线 l 的斜率为 12，
则直线 l 的方程为 y−2=−12x−2，即 x+2y−6=0．
29. 注意到，过点 P6,−4 倾斜角为 90∘ 的直线不满足题意，设所求直线为 y+4=kx−6，由弦长为 62，圆半径为 20，所以圆心 O 到所求直线的距离为 2，
即 6k+41+k2=2，解得 k=−1 或 k=−717，
所以所求直线方程为 x+y−2=0 或 7x+17y+26=0．
30. （1） 设圆 C 的圆心为 O．
因为过点 A 只能作一条圆 C 的切线，
所以点 A 在圆 C 上，
所以 2−12+a2=5，
所以 a2=4，
所以 a=±2．
若 a=2，则 kOA=0−21−2=2，
因为 OA 垂直于切线，所以 kOA 与切线的斜率之积为 −1，
所以切线斜率为 −12，
所以切线方程为 y−2=−12x−2，即 x+2y−6=0．
若 a=−2，则 kOA=0+21−2=−2，
因为 OA 垂直于切线，所以 kOA 与切线的斜率之积为 −1，
则切线斜率为 12，
所以切线方程为 y+2=12x−2，即 x−2y−6=0．
（2） 因为直线 l 过点 A 但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，
故设直线方程为 x+y=m（m≠0）．
因为直线 l 被圆 C 截得的弦长为 23，所以弦长的一半为 3，
所以直线 l 到圆 C 的圆心的距离为 5−32=2，
所以 d=1+0−m2=2，
所以 m=−1 或 m=3，
所以直线方程为 x+y=−1 或 x+y=3，
将点 A2,a 代入直线方程，得 a=1 或 a=−3．
31. （1） 由 ρ=10，得 x2+y2=10，
将 x=−2+12t,y=32t, 代入 x2+y2=10，得 t2−2t−6=0，
设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t2=−6，故 ∣PA∣⋅∣PB∣=∣t1t2∣=6．
（2） 直线 l 的普通方程为 3x−y+23=0，
设圆 M 的方程为 x−a2+y−b2=a2a>0，
圆心 a,0 到直线 l 的距离为 d=∣3a+23∣2，
因为 2a2−d2=1，
所以 d2=a2−14=3a+224，
解得 a=13（a=−1