高考数学三轮冲刺卷：椭圆的几何性质（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：椭圆的几何性质（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 过点 且与椭圆 有相同焦点的椭圆的标准方程是
A. B. C. D.

2. 已知椭圆的方程为 （）．如果此椭圆的焦点在 轴上，那么它的焦距为
A. B. C. D.

3. 椭圆以 轴和 轴为对称轴，经过点 ，长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的方程为
A. B.
C. 或 D. 或

4. 已知椭圆 的中心为 ，一个焦点为 ，若以 为圆心， 为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.

5. 椭圆 的焦距为 ，则 等于
A. B. C. 或 D.

6. 直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.

7. 设 是椭圆 的离心率，且 ，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.

8. 已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 与 轴垂直，直线 交 轴于点 ．若 ，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.

9. 如图，已知 ， 分别是椭圆的左、右焦点，现以 为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点 ，．若过点 的直线 是圆 的切线，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.

10. 已知 ， 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.

11. 已知直线 与椭圆 交于 ， 两点，其中右焦点 的坐标为 ，且 与 垂直，则椭圆 的离心率的取值范围为
A. B. C. D.

12. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，，且以线段 为直径的圆与直线 相切，则椭圆 的离心率为
A. B. C. D.

13. 已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 交椭圆 于 ， 两点．若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围为
A. B. C. D.

14. 焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 等于
A. B. C. D.

15. 椭圆 的两顶点为 ，，且左焦点为 ， 是以角 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 为
A. B. C. D.

16. 与椭圆 有相同焦点，且短轴长为 的椭圆的标准方程为
A. B. C. D.

17. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知 ， 是一对相关曲线的焦点， 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为
A. B. C. D.

18. 已知 ，曲线 的方程为 ，曲线 的方程为 ， 与 的离心率之积为 ，则 的渐近线方程为
A. B. C. D.

19. 若双曲线 与直线 无交点，则离心率 的取值范围是
A. B. C. D.

20. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 直线 过椭圆 的左焦点 和一个顶点 ，则椭圆的方程为 ．

22. 焦距是 ，离心率等于 的椭圆的标准方程为 ．

23. 已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 和 ，短轴的两个端点分别为 和 ，点 在椭圆 上，且满足 ．当 变化时，给出下列三个命题：
① 点 的轨迹关于 轴对称；
② 存在 使得椭圆 上满足条件的点 仅有两个；
③ 的最小值为 ．
其中，所有正确命题的序号是 ．

24. 已知椭圆 上的一点 到两焦点的距离的乘积为 ，当 取最大值时，点 的坐标是 ．

25. 以下关于圆锥曲线的命题中：①双曲线 与椭圆 有相同的焦点；②设 ， 是两个定点， 为非零常数，若 ，则动点 的轨迹为双曲线的一支；③设点 ， 分别是定圆 上一个定点和动点， 为坐标原点，若 ，则动点 的轨迹为圆；其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题（共5小题；）
26. 在下面的坐标系中画出长轴长和短轴长分别为 厘米、 厘米的椭圆的草图．若要把一个边长分别为 米和 米的矩形木板锯成椭圆形，使它的长轴长和短轴长分别为 米、 米，请用简便的方法在木板上画出这个椭圆的草图．

27. 已知椭圆方程 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）当 时，若椭圆的左右焦点分别为 ，，直线 过椭圆的左焦点 并且与椭圆 交于 ， 两点，求 的周长．

28. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，且过点 ，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．

29. 已知椭圆的中心在原点，两焦点 ， 在 轴上，且过点 ．若 ，求椭圆的标准方程．

30. 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 （）的左焦点为 ，右顶点为 ，上顶点为 ．
（1）已知椭圆的离心率为 ，线段 中点的横坐标为 ，求椭圆的标准方程．
（2）已知 外接圆的圆心在直线 上，求椭圆的离心率 的值．
答案
1. A
2. A
3. C【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的 倍，即有 ，又椭圆经过点 ，若焦点在 轴上，则 ，，椭圆方程为 ；若焦点在 轴上，则 ，，椭圆方程为 ．
4. A【解析】由于以 为圆心，以 为半径的圆内切于椭圆，所以要使以 为圆心，以 为半径的圆与椭圆恒有公共点，需满足 ，则 ，所以 ，所以 ．
5. C
【解析】当焦点在 轴上时，，
，所以 ．
当焦点在 轴上时，，，所以 ．
所以 ．
6. B【解析】如图，
为椭圆中心到 的距离，则 ，即 ，所以 ．
7. D【解析】当椭圆焦点在 轴上，即 时，，，
所以 ，
所以 ，解得 ；
当椭圆焦点在 轴上，即 时，，，
所以 ，解得 ．
故实数 的取值范围是 ．
故选D．
8. D【解析】不妨设点 在第二象限，如图所示，
由 ，得 ，即 ，
所以椭圆的离心率 ，
故选D．
9. A【解析】因为过点 的直线 是圆 的切线，，，
所以 ．
由椭圆定义可得 ，
可得椭圆离心率 ．
10. C
【解析】因为 ，
所以 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
又点 在椭圆的内部，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
又椭圆离心率 ，
所以 ．
11. C【解析】由 与 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，
可得 ，由 ，即 ，
可得 ，即 ．
又椭圆离心率 且 ，
所以得 ．
12. A
13. A【解析】如图所示，设 为椭圆 的左焦点，连接 ，，
则四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 ，不妨取 ，
因为点 到直线 的距离不小于 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以椭圆 的离心率的取值范围是 ．
14. C
15. B
【解析】由题可知 为直角三角形，其中 ，，，由勾股定理，得 ，即 ，整理得 ，两边同除以 得 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
16. B【解析】椭圆 可化为标准方程 ，
可知焦点在 轴上，焦点坐标为 ，
故可设所求椭圆方程为 ，
则 ．又 ，即 ，
所以 ，
故所求椭圆的标准方程为 ．
17. A【解析】不妨设椭圆：，
双曲线：．
，，，，．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
故选A．
18. B【解析】，椭圆 的方程为 ， 的离心率为：，
双曲线 的方程为 ， 的离心率为：，
因为 与 的离心率之积为 ，
所以 ，
所以 ，即有 ，
的渐近线方程为：，即 ．
19. B【解析】双曲线的渐近线方程为 ，
因为直线 与双曲线无交点，
所以有 ，即 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
20. D
【解析】椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，
由题，三者成等差数列，则 ，即 ，
平方得：，
椭圆内 ，代入化简得：，同除 得，
，，则 ，
，，椭圆 ，故 ．
21.
【解析】直线 与 轴的交点为 ，即为椭圆的左焦点，故 ．
直线 与 轴的交点为 ，即为椭圆的上顶点，故 ．
所以 ，
所以椭圆的方程为 ．
22. 或
【解析】由题意知 解得
又 ，
所以 ，
当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程为 ，
当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程为 ．
23. ①③
24. 或
【解析】记椭圆的两个焦点分别为 ，，
由题意知 ，，．
则 ，
当且仅当 ，等号成立，
即点 位于椭圆的短轴的顶点处时， 取得最大值 ．
所以点 的坐标为 或 ．
25. ①③
【解析】①在双曲线中，，在椭圆中，，且焦点均在 轴上，所以①正确；
②由双曲线的定义知，只有当 时，动点 的轨迹才为双曲线的一支，即②错误；
③若 ，则点 为弦 的中点，由垂径定理可知，，所以动点 的轨迹是圆，即③正确；
所以真命题为①③．
26. 略．
27. （1） 得 且 ．
（2） 当 时椭圆方程为 ，所以 ，即 ，则 周长
28. （方法 ）
若椭圆的焦点在 轴上，设方程为 ．
由题意得
解得
所以椭圆的标准方程为 ．
若焦点在 轴上，设方程为 ．
由题意得
解得
所以椭圆的标准方程为 ．
综上所述，椭圆的标准方程为 或 ．
（方法 ）
设椭圆的方程为 ，
则由题意知 或
解得 或
所以椭圆的标准方程为 或 ．
29. 设所求椭圆的标准方程为 ．
设焦点 ，．
因为 ，
所以 ，
而 ，，
所以 ，
所以 ，即 ．
所以 ，，
所以 ．
所以 ，
所以 ．
所以所求椭圆的标准方程为 ．
30. （1） 因为椭圆 （）的离心率为 ，
所以 ，则 ．
因为线段 中点的横坐标为 ，
所以 ．
所以 ，则 ，．
所以椭圆的标准方程为 ．
（2） 因为 ，，
所以线段 的中垂线方程为：．
又因为 外接圆的圆心 在直线 上，
所以 ．
因为 ，，
所以线段 的中垂线方程为：．
由 在线段 的中垂线上，得 ，
整理得，，
即 ．
因为 ，
所以 ．
所以椭圆的离心率 ．