新高考数学一轮复习课时过关练习第08章 平面解析几何第5节 椭圆 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时过关练习第08章 平面解析几何第5节 椭圆 (含解析)，共21页。试卷主要包含了椭圆的标准方程和几何性质，焦点弦等内容，欢迎下载使用。

第5节　椭　圆
考试要求　1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、 几何图形、标准方程及简单几何性质.


1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形



性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
2.(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
答案　D
解析　把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，
则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选D.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12 C.9 D.6
答案　C
解析　由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.
4.(2022·广东六校联考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　由题意可知，椭圆E的半焦距c＝3，所以a2－b2＝9①.
因为直线AB经过点(1，－1)，F(3，0)，所以kAB＝＝.
设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减，
得＋＝0.
因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
且kAB＝＝，所以＝，即a2＝2b2②.
由①②，得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为＋＝1.
5.(易错题)已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________.
答案　3或
解析　若a2＝5，b2＝m，则c＝，
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝.
综上，m＝3或.
6.若方程＋＝1表示椭圆，则m满足的条件是___________________.
答案　
解析　由方程＋＝1表示椭圆，
知解得m＞且m≠1.

　考点一　椭圆的定义及应用
1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)
A.椭圆 　　　 B.双曲线
C.抛物线 　　　 D.圆
答案　A
解析　连接QA(图略).由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
2.设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为________.
答案　60°
解析　由椭圆＋＝1，可得2a＝8，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
可得
化简可得cos∠F1PF2＝，
∴∠F1PF2＝60°.
3.设点P为椭圆C：＋＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.
答案　
解析　由题意知，c＝.
又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝，
∴S△PF1F2＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝××＝.
4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.
答案　6＋　6－
解析　椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.
感悟提升　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
　考点二　椭圆的标准方程
例1 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点；
(4)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－).
解　(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1得a＝3，
∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴方程为＋y2＝1，
若焦点在y轴上，
设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1得b＝3，
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由已知，有
解得b2＝9，
∴所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(3)设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则有解得
则所求椭圆方程为＋＝1.
(4)椭圆＋＝1的离心率是e＝，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是＋＝1(a＞b＞0)，
∴解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∴
∴椭圆的标准方程为＋＝1，
故所求椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1.
感悟提升　(1)利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.
(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程＋＝1与＋＝λ(λ＞0)有相同的离心率.
②与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.
训练1 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　BD
解析　因为椭圆的长轴长为10，
其焦点到中心的距离为4，
所以解得a＝5，b2＝25－16＝9.
所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
答案　＋＝1
解析　设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
　考点三　椭圆的简单几何性质
角度1　离心率
例2 (1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
(2)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.
答案　
解析　由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.
因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去).
(3)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.
又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.
角度2　与椭圆几何性质有关的最值范围问题
例3 (1)已知点A(0，2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________.
答案　
解析　设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，
∴|PA|2＝x＋(y0－2)2.
∵＋y＝1，
∴|PA|2＝4(1－y)＋(y0－2)2＝－3y－4y0＋8
＝－3＋.
∵－1≤y0≤1，
∴当y0＝－时，|PA|＝，
即|PA|max＝.
(2)(2022·苏北四市调研)椭圆G：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足·＝0.则椭圆离心率e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　法一　设点M的坐标为(x0，y0)，
∵·＝0，F1(－c，0)，F2(c，0)，∴(x0＋c)·(x0－c)＋y＝0，即x＋y＝c2.①
又知点M在椭圆G上，∴＋＝1，②
由①②联立结合a2－b2＝c2解得x＝，由椭圆的性质可得0≤x≤a2，即即所以c2≥b2，又知b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥，又知0 ∴≤e<1.
法二　∵椭圆G上存在点M使·＝0，∴MF1⊥MF2，即△MF1F2是以M为直角顶点的直角三角形，
∵|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，(|MF1|＋|MF2|)2≤2(|MF1|2＋|MF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，∴|MF1|＋|MF2|≤2c，∴e＝≥＝，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝c时，等号成立，又知0 感悟提升　1.求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解.
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解.
(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
2.利用椭圆几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.
训练2 (1)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图，由题意可得，b＝c，则2b2＝c2，
即2(a2－c2)＝c2，则2a2＝3c2，
∴＝，即e＝＝.
(2)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝＝∈.
(3)已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.
答案　5
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.


1.椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)
A.(±3，0) B.(0，±3)
C.(±9，0) D.(0，±9)
答案　B
解析　根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3).
2.若椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　依题意可知，c＝b，
又a＝＝c，
∴椭圆的离心率e＝＝.
3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
4.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1.
5.(多选)对于曲线C：＋＝1，下面四个说法正确的是(　　)
A.曲线C不可能是椭圆
B.“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
答案　CD
解析　对于A，当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，A错误；
对于B，当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，B错误；
对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5＜k＜4，
所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，C正确；
对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜k＜2.5，D正确.
6.(多选)(2022·海南模拟)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜)与椭圆交于A，B两点，则(　　)
A.|AF|＋|BF|为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C.当m＝时，△ABF为直角三角形
D.当m＝1时，△ABF的面积为
答案　ACD
解析　设椭圆的左焦点为F′，
则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
因为|AF|＋|BF|为定值6，
∴|AB|的取值范围是(0，6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误；
将y＝与椭圆方程联立，
可解得A，B，
又∵F(，0)，
∴·＝＋＝0，∴AF⊥BF，
∴△ABF为直角三角形，C正确；
将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，
∴S△ABF＝×2×1＝，D正确.
7.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________.
答案　
解析　将原方程变形为x2＋＝1.由题意知a2＝，b2＝1，所以a＝，b＝1.所以＝2，所以m＝.
8.(2022·郴州模拟)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2，离心率为，则椭圆E的方程为________.
答案　＋＝1
解析　椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，
椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2，离心率为，
可得a＝2，c＝2，
从而b2＝4，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
9.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________.
答案　
解析　以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，整理为a2＝3b2，即a2＝3(a2－c2)⇒2a2＝3c2，即＝，e＝＝.
10.如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程.
解　(1)∵|AF1|＝|AF2|＝a，
且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，
∴2a2＝4c2，∴a＝c，∴e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由＝2，解得x＝，y＝－，
代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3，
∴b2＝a2－c2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
11.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
解　(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，
·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞).

12.已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图.
不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B.
由点B在椭圆上，得＋＝1，
得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.
13.(2022·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设P，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，
得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，
又0＜e＜1，故≤e＜1.
14.(2022·青岛调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.

解　(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得＋＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝.
(2)由(1)得椭圆E的方程为＋＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
⇒(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝，
x1x2＝.
又x1＋x2＝2，∴k＝，∴x1x2＝，
则|AB|＝
＝＝2，
∴b2＝，则a2＝10，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.