高考数学三轮冲刺卷：解析几何 （含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：解析几何 （含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，倾斜角为 的直线 过点 ，且与椭圆交于 ， 两点，则 的周长为
A. B. C. D.

2. 若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.

3. 圆 上的点到直线 的距离最大值是
A. B. C. D.

4. 从圆 外一点 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为
A. B. C. D.

5. “”是“方程 表示双曲线”的
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件

6. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ，，以 为圆心， 为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于 ， 两点．若 ，则该双曲线的离心率是
A. B. C. D.

7. 双曲线方程为 ，其中 ，双曲线的渐近线与圆 相切，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.

8. 直线 截圆 所得劣弧所对的圆心角是
A. B. C. D.

9. 若双曲线 的一条渐近线与圆 相切，则该双曲线得离心率为
A. B. C. D.

10. 是方程 表示双曲线的
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件

11. 点 与圆 上任一点连线的中点轨迹方程是
A. B.
C. D.

12. 直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则 的取值范围是
A. B.
C. D.

13. 在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离．当 ， 变化时， 的最大值为
A. B. C. D.

14. 已知 ，直线 ， 为 上一个动点，过点 作 的切线 ，切点为 ，则 的最小值为
A. B. C. D.

15. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，， 为双曲线的两条渐近线．设过点 且平行于 的直线交 于点 ．若 ，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.

16. 已知椭圆 的长轴端点为 ，，若椭圆上存在一点 使 ，则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.

17. 点 与圆 上任一点连线的中点的轨迹方程是
A. B.
C. D.

18. 已知平面直角坐标系内曲线 ：，曲线 ：，若点 不在曲线 上，则下列说法正确的是
A. 曲线 与 无公共点
B. 曲线 与 至少有一个公共点
C. 曲线 与 至多有一个公共点
D. 曲线 与 的公共点的个数无法确定

19. 在平面直角坐标系中，， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，则圆 面积的最小值为
A. B. C. D.

20. 抛物线 的准线与 轴交于点 ，若过点 的直线 与抛物线有公共点，则直线 的斜率的取值范围是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 若双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则 ．

22. 已知 是双曲线 的左焦点，， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为 ．

23. 已知 ， 是椭圆 的焦点，则在 上满足 的点 的个数为 ．

24. 若实数 、 满足 ，则 的最大值为 ．

25. 圆 在点 处的切线方程为 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知点 ， 在椭圆 ： 上，其中 为椭圆的离心率，椭圆的右顶点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 过椭圆 的左焦点 交椭圆 于 ， 两点，直线 ， 分别与直线 交于 ， 两点，求证：．

27. 已知焦点在 轴上的抛物线上一点 到焦点的距离为 ，求抛物线的标准方程．

28. 直线 过曲线 ： 的焦点 ，并与曲线 交于 ， 两点．
（1）求证：；
（2）曲线 分别在点 ， 处的切线（与 只有一个公共点，且 在其一侧的直线）交于点 ，求点 的轨迹．

29. 如图，动圆 过定点 ，且与 轴相切于点 ，点 关于圆心 的对称点为 ，动点 的轨迹为 ．
（1）求轨迹 的方程；
（2）过点 作直线 与 相交于 ， 两点，若 ，求 的面积．

30. 在平面直角坐标系 中， 为直线 上的动点，动点 满足 ，且原点 在以 为直径的圆上．记动点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，点 （异于 ，）在 上，直线 ， 分别与 轴交于点 ，，且 ，求 面积的最小值．
答案
1. D【解析】依题作图如下，
因为 ，
所以 ，
由定义可知，，，
所以

即 的周长为 ．
2. B【解析】若双曲线 的一条渐近线：，渐近线经过点 ，可得 ，即 ，可得 ，
所以 ，，
所以双曲线的离心率为 ．
3. B【解析】圆心为 ，，．
4. B【解析】提示：设切线与点 和圆心连线的夹角为 ，则两切线夹角为 ．易知 ，由二倍角定理知 ，从而 ．
5. C
【解析】若“”，则 ， 均不为 ，方程 ，可化为 ，
若“”，， 异号，方程 中，两个分母异号，则其表示双曲线，
故“”是"方程 表示双曲线”的 充分条件．
反之，若 表示双曲线，则其方程可化为 ，此时 ， 异号，则必有 ，
故“”是“方程 表示双曲线”的 必要条件．
综合可得：“”是"方程 表示双曲线”的 充要条件．
6. C【解析】依题知 ，，
由双曲线的定义知 ，即 ，所以 ．
7. A
8. D【解析】圆 的圆心到直线 的距离 ，圆的半径 ，
所以弦长与两半径围成的三角形是等腰三角形，底角为 ，
所以顶角为 ，即劣弧所对的圆心角是 ．
9. D【解析】根据圆的方程知，圆心为 ，半径为 ；
根据双曲线方程得，渐近线方程为 ；
据题意知，圆心到渐近线的距离为 ，则：；
所以 ；
所以 ；
解得 ．
10. A
【解析】当 时，，，此时方程 表示双曲线；
反之，若方程 表示双曲线，则有 ，即 或 ．
故 是方程 表示双曲线的充分不必要条件．
11. A【解析】设圆上任一点 ， 中点为 ，则 代入圆方程即可．
12. A【解析】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，重点考查数形结合思想的运用．
圆心的坐标为 ，且圆与 轴相切．当 时，由点到直线的距离公式，解得 或 ，结合图形可知 的取值范围为 ．
13. C
14. D【解析】圆 方程可化为 ，则圆心 ，半径 ，
因为 为圆 的切线且 为切点，
所以 ，
所以根据勾股定理知 ，
所以 最小时， 最小．
因为 ，
所以 ，
所以 最小值为 ．
15. B
【解析】直线 的方程为 ，联立直线 与直线 得 ，又因为 ，所以 得 ，所以双曲线的离心率为 ．
16. B【解析】不妨设 ，
则 ，，，
所以 ，，
则 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值，
所以当 在短轴上时， 取得最大值，
因为椭圆上存在一点 使 ，
所以 （ 为短轴顶点），设 ，则 ，
又因为 ，所以离心率 ，
又因为 ，所以 的取值范围为 ．
17. A【解析】设圆上任一点的坐标为 ，
则 ，连线中点的坐标为 ，
则 代入 中，得 ．
18. A【解析】假设曲线 与 有公共点 ，则 和 同时成立，
所以 ，
所以点 在曲线 上，这与已知条件点 不在曲线 上矛盾．
所以假设不成立，
所以曲线 与 无公共点．
19. A【解析】设直线 ，
因为 ，其中 为点 到直线 的距离，
所以圆心 的轨迹为以 为焦点， 为准线的抛物线．
圆 半径最小值为 ，其中 为点 到直线 的距离，圆 的面积的最小值为 ．
20. C
【解析】由题意，得 ．设 的方程为 ，代入 ，得 ，所以当 时，直线 与抛物线恒有一个交点；当 时，，即 ，所以 ，且 ，综上，．
21.
【解析】抛物线 焦点为 所以 ，
22.
【解析】注意到 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为 ，于是结合 ，可得 ，
当且仅当 三点共线时等号成立．
23.
24.
【解析】设 ，则 ，由题设可知当直线 与圆相切时，， ，故 的最大值为 ．
25.
【解析】先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为 ，则过 切线方程为 ．
26. （1） 依题意得：
解得 ，，所以椭圆 的方程为 ．
（2） 由（Ⅰ）得 ，如图．
设 ，，，，
把直线 ： 代入椭圆方程，得 ，
所以 ，，
因为 ，， 三点共线，得 ，
所以
同理，由 ，， 三点共线，得
因为
所以把①②代入③得

所以 ．
27. 依题意，设抛物线方程为 ，
因为点 到焦点的距离为 ，所以由抛物线定义可得 到准线的距离为 ，即
所以 ，故抛物线方程为 ．
28. （1） 曲线 ： 的焦点 为 ，
由题意可得直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 消 可得 ，
因为 ，，
所以 ．
（2） 由（）可得 ，，
由 ，可得 ，
所以切线方程分别为 ，，
且 ，，可得
解得 ，，
则 的轨迹方程为直线 ．
29. （1） 解法一：连接 ，过点 作 于点 ，
则 ．
因为 ，
所以点 到直线 的距离等于点 到点 的距离，
所以 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所以曲线 的方程为 ．
解法二：设动点 ，则 ，
由题意，得 ，
化简并整理，得 ，
所以轨迹 的方程为 ．
（2） 设直线 交曲线 于点 ，，
联立 得 ，故 ，
由 ，得 ，故 ，
解得 ， 或 ，，
所以 ．
30. （1） 由题意，不妨设 ，则 ，，，
因为 在以 为直径的圆上，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以曲线 的方程为 ．
（2） 设 ，，，，，
依题意，可设 （其中 ），
由方程组 消去 并整理，得 ，
则 ，，
同理可设 ，，
可得 ，，
所以 ，，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以

所以

所以当 时， 面积取得最小值，其最小值为 ．