高考数学三轮冲刺卷：数列的性质（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：数列的性质（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 已知 是等比数列，则“”是“ 是递增数列”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

2. 已知数列 中，，，则
A. B. C. D.

3. 已知数列 满足：，，则数列 是
A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 无法确定

4. 已知数列 满足 ，，则 等于
A. B. C. D.

5. 已知等比数列 是一个公比为 的递增数列，若 ，，则该数列的首项
A. B. C. D. 不能确定

6. 设等差数列 满足：，，公差 ，则数列 的前 项和 的最大值为
A. B. C. D.

7. 一个机器猫每秒钟前进或后退 步，程序设计人员让机器猫以每前进 步后再后退 步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以 步的距离为 个单位长，令 表示第 秒时机器猫所在的位置的坐标，且 ，那么下列结论中错误的是
A. B.
C. D.

8. 在等比数列 中，已知 ，则 等于
A. B. C. D.

9. 设等差数列 的公差为 ．若数列 为递减数列，则
A. B. C. D.

10. 设 是公差为 的等差数列， 为其前 项和，则“”是“ 为递增数列”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

11. 已知数列 的通项公式为 ，则数列
A. 有最大项，没有最小项B. 有最小项，没有最大项
C. 既有最大项又有最小项D. 既没有最大项也没有最小项

12. 在各项都为正数的数列 中，首项 ，且点 在直线 上，则数列 的前 项和 等于
A. B. C. D.

13. 已知 是等比数列， 为其前 项和，那么“”是“数列 为递增数列”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

14. 已知数列 满足 ，且 ，则该数列的前 项的和等于
A. B. C. D.

15. 若数列 是正项递增等比数列， 表示其前 项的积，且 ，则当 取最小值时， 的值等于
A. B. C. D.

16. 在数列 中，，，则
A. B. C. D.

17. 在数列 中，，， ，则
A. B. C. D.

18. 数列 满足 ，，其前 项的积为 ，则 的值为
A. B. C. D.

19. 在数列 中，，，则 的值为
A. B. C. D. 以上都不对

20. 已知数列 的通项公式为 ，则数列 中的最大项是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 在数列 中，，设 是数列 的前 项和，则： 的值为 ．

22. 设数列 的前 项和为 ，且 ，，．请写出一个满足条件的数列 的通项公式 ．

23. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，，设 ，若对于一切正整数 ，总有 成立，则实数 的取值范围是 ．

24. 如图，过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 ， 两点， 为坐标原点， 为抛物线准线与 轴的交点，且 ，则 ．

25. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为 ．第二位同学首次报出的数也为 ，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为 的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知数列 为等差数列，，．
（1）求数列 的通项公式和前 项和公式；
（2）若 ，， 依次成等比数列，求 的值．

27. 判断下列函数是否存在零点．若存在，求出零点．
（1）；
（2）．

28. 若数列 ，求数列 的最大项．

29. 已知数列 与 满足 ，．
（1）若 ，且 ，求数列 的通项公式；
（2）设 的第 项是最大项，即 ，求证：数列 的第 项是最大项．

30. 已知实数 ，，，当 取到最大值时，有多少个 ?
答案
1. B【解析】假设等比数列 的首项 ，公比 ，则 ，，
， 但数列 不是递增数列，
若数列 是递增数列，由定义可知，，
故“”是“ 是递增数列”的必要不充分条件．
2. A
3. B【解析】因为 ，，所以 ，，所以 是递减数列．
4. C【解析】由 及递推公式，得 ，，，，．由此， 是以 为周期的数列，所以 ．
5. C
6. C【解析】因为 ，
所以 ，化为：．
因为

所以 ，
所以 ，
因为公差 ，
所以 ，．
由 ，得 ．
所以 或 最大，最大值为 ．
7. D【解析】易知A、B正确，又机器猫每 秒钟实际向前进一步，故
8. D【解析】设等比数列 的前 项和为 ，则 ．易知等比数列 的公比 ，首项 ，所以 ，于是 ，所以 ．
9. C【解析】因为数列 为递减数列，
，
所以 ．
10. D
11. C
12. A【解析】由点 在直线 上，得 ，即 ，
又数列 各项均为正数，且 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以数列 是首项 ，公比 的等比数列，其前 项和 ．
13. B【解析】若 ，可取数列 为 ，，，，，，则可得数列 为 ，，，，，，显然数列 不是递增数列，即“”不是“数列 为递增数列”的充分条件；若数列 为递增数列，则有 ，所以 ，得 ，所以 ，则“”是“数列 为递增数列”的必要条件．故“”是“数列 为递增数列”的必要不充分条件．
14. C【解析】因为 ，，
所以 ，
从而 ，，，
可得 ，
故数列的前 项的和 ．
15. B
【解析】由 ，
得 ，
所以 ．
故 ．
因为数列 是正项递增数列，
所以 ，因此当 时， 取得最小值．
16. A【解析】数列 中，，，
当 时，，
当 时，，
当 时，，
当 时，，
故数列的周期为 ，
所以 ．
17. B【解析】因为在数列 中，，， ，
所以 ，同理可得 ，，，，，，可得 ．则 .
18. B【解析】由 得 ．
因为 ，所以 ，，，，．
故数列 具有周期性，周期为 ，因为 ，所以 ．
19. C
20. B
【解析】，又 ，所以当 时， 取得最大值，为 ．
21.
22. （答案不唯一）
【解析】，，则数列 是递增的，
，，即 最小，
只要前 项均为负数，或前 项为负数，第 项为 ，即可，
所以，满足条件的数列 的一个通项公式 （答案不唯一）．
23.
【解析】设等差数列 的公差为 ，
由题意得
解得 ，．
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以当 时，，且 ，
所以 的最大值为 ．
若对于一切正整数 ，总有 成立，则实数 的取值范围是 ．
24.
25.
【解析】所报的数依次为 ，他们被 除的余数分别为 ，这个余数组成的数列每 个数出现一个 ，即原数可以被 整除，然后算下前 个数有几个可以被 整除即可．
26. （1） 设数列 的公差为 ，
因为 ，，
所以
解得
因为 ，
所以所求通项公式为 ，
因为 ，
所以所求前 项和公式为 ．
（2） 因为 ，， 依次成等比数列，
所以 ，
所以 ，
解得 ．
27. （1） 由于 ，
因此方程 的两根分别为 ，，
故函数 存在零点，且零点是 ，．
（2） 由于 ，
令 ，得 或 ．
故函数 存在零点，且零点是 ，．
28. ，
当 时，，即 ，
当 时，，即 ，
又因为 ，
所以数列 的最大项为 ．
29. （1） 因为 ，
，
所以 ，
所以 是等差数列，首项为 ，公差为 ，即 ．
（2） 由 ，
得 ，
所以 为常数列，
，
即 ，
因为 ，，
所以 ，
即 ，
所以 的第 项是最大项．
30. 设 ，则 ，且 ，．
于是原问题转化为当 取最大值时，有几个 ．
当 中有不少于两个数，且同时不等于 ，不等于 时，设为 ，．
（i） 时，则
即 ．故不改变其他数字，用 代替 ， 代替 ， 增大；
（ii） 时，则 ，故用 代替 ， 代替 ， 增大．
综上所述，当 取最大值时，至多只有一个 ，且 ．
而 ，故 中应取 个 ， 个 ， 个 ．即有 个 ．