高考数学三轮冲刺卷：数列模型的实际应用问题（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：数列模型的实际应用问题（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 根据 年央行商业贷款基准利率的有关规定：一年以下（含一年）年利率为 ；一至三年（含三年）利率为 ，三至五年（含五年）利率也为 ，五年以上利率为 ；某人向银行贷款 万元，按年计复利的话，五年后一次性还清，则需要还款
A. 万元B. 万元
C. 万元D. 万元

2. 某林场计划第一年造林 亩，以后每年比前一年多造林 ，则第四年造林
A. 亩B. 亩C. 亩D. 亩

3. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．在龙门石窟的某处“浮雕象”共有 层，每一层的数量是它下一层的 倍，这些“浮雕象”构成一幅优美的图案．已知该处共有 个“浮雕象”，则正中间那层的“浮雕象”的数量为
A. B. C. D.

4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座 层塔共挂了 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 倍，则塔的顶层共有灯
A. 盏B. 盏C. 盏D. 盏

5. 古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 倍，已知她 天共织布 尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于 尺，则至少需要
A. 天B. 天C. 天D. 天

6. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 节的竹子，身上而下各节的容积成等差数列，上面 节的容积共 升，下面 节的容积共 升，则第 节的容积为
A. B. C. D.

7. 某厂在 年底制定生产计划，要使 年底的总产量在 年底的基础上翻两番，则年平均增长率为
A. B. C. D.

8. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?该问题中， 斗为 升，则马主人应偿还粟
A. 升B. 升C. 升D. 升

9. 《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高 尺，莞第一天长高 尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的 倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为（结果精确到 ，参考数据：，）
A. 天B. 天C. 天D. 天

10. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 天后到达目的地”则该人第一天走的路程为
A. 里B. 里C. 里D. 里

11. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为 ，则第八个单音的频率为
A. B. C. D.

12. 《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸 ，头圈一尺三 ．逐节多三分 ，逐圈少分三 ．一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远?”（注释：①第一节的高度为 尺；②第一圈的周长为 尺；③每节比其下面的一节多 尺；④每圈周长比其下面的一圈少 尺）问：此民谣提出的问题的答案是
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺

13. "神六飞天，举国欢庆"，据科学计算，运载“神舟六号”飞船的“长征二号”系列火
箭，在点火 分钟通过的路程为 ，以后每分钟通过的路程增加 ，在达到离地面 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大概需要的时间是
A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟

14. 某棵果树前 年的总产量 与 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前 年的年平均产量最高， 值为
A. B. C. D.

15. 九章算术 中的“竹九节”问题：现有一根 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 节的容积共 升，下面 节的容积共 升，现自上而下取第 ，， 节，则这 节的容积之和为
A. 升B. 升C. 升D. 升

16. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”则该问题的答案是
A. 盏B. 盏C. 盏D. 盏

17. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙．大老鼠第一天打进 尺，以后每天进度是前一天的 倍．小老鼠第一天也打进 尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为 尺，则两鼠穿透此墙至少在第
A. 天B. 天C. 天D. 天

18. 某地区在六年内第 年的生产总值 （单位：亿元）与 之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是
A. 第一年到第三年B. 第二年到第四年
C. 第三年到第五年D. 第四年到第六年

19. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 ，，，，，，，，，，，，，，，，其中第一项是 ，接下来的两项是 ，，再接下来的三项是 ，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数 ： 且该数列的前 项和为 的整数幂．那么该款软件的激活码是
A. B. C. D.

20. 一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存 ，然后每 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的 倍，若该病毒占据 内存（），则开机后经过 分钟．
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 夏季某高山上的温度从山脚起，每升高 米降低 ，已知山顶处的温度是 ，山脚温度是 ，则该山的山顶相对于山脚处的高度是 ．

22. 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 天后到达目的地，则第二天走了 里路．

23. 有一种计算机病毒可以通过电子邮件进行传播，如果第一轮被感染的计算机数是 台，并且以后每一台已经被感染的计算机都感染下一轮未被感染的 台计算机，则至少经过 轮后，被感染的计算机总数超过 台．

24. 某地区森林木材存有量为 ，且每年增长率为 ，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为 ，设 为第 年末后该地区森林木材存量，则 ．

25. 对任何正整数 ，记 为 的各位数字的平方和，对 有 ，则 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 某区为推动教育现代化，计划从 年至 年为中小学每年新购置的电脑台数均按 的比率增长．其中 ， 年两年新购置的电脑数之和为 ，该区 年为中小学新购置的电脑台数为多少?

27. 某投资商到一开发区投资 万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出 万元，以后每年支出增加 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 万元．设 表示前 年的纯利润总和．
（ 前 年的总收入 前 年的总支出 投资额）．
（1）该厂从第几年开始盈利?
（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以 万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以 万元出售该厂，问哪种方案更合算?

28. 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日这一天到银行储蓄 元一年定期，若年利率为 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子 岁上学时（ 岁的生日不再存入）将所有存款（含利息）全部取出，请你为这对夫妇算一算，能取回的钱的总数是多少?

29. 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 （单位：），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 建设新住房，同时也拆除面积为 （单位：）的旧住房．
（1）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（2）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 ，则每年拆除的旧住房面积 是多少?（计算时取 ）

30. 在定期自动转存模型下，
（1）如果储户存入定期为 年的 元存款，定期年利率为 ，连存 年后，再取出本利和，试求出储户 年后所得的本利和公式；
（2）如果存入 万元定期存款，存期 年并自动转存，年利率为 ，那么 年后共得本利和多少万元?
答案
1. B
2. B【解析】第一年造林 亩，则第二年造林 （亩），第三年造林为 （亩），第四年造林 （亩）．故选B．
3. D【解析】根据题意，可知从最下层往上“浮雕象”每层的数量构成一个公比为 等比数列 ，
设最下层的浮雕数量为 ，则由 ，解得 ，
所以正中间那层为第 层，其“浮雕象”的数量 ．
4. B【解析】方法一：
设从上往下数第 层的灯盏数量为 ，前 层的灯盏数量和为 ，
由题意知， 为公比为 的等比数列，且 ，
所以 ，解得 ，即顶层的类为 盏．
故选B．
方法二：
设塔顶的 盏灯，由题意 是公比为 的等比数列，
所以 ，
解得 ．
故选：B．
5. C
【解析】由题意知，这是一个等比数列问题，已知等比数列 的公比 ，
，求 的最小正整数，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ．
故选C．
6. A【解析】设此等差数列为 ，公差为 ，
由题意得：，，
即
解得
所以 ．故选：A．
7. D【解析】设 年底的总产量为 ，年平均增长率为 ，则 ，
所以 ，
所以 ．
8. D【解析】因为 ，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为 ，，，
由题意可知其构成了公比为 的等比数列，且 ，
则 ，解得 ，
所以马主人要偿还的量为 ．
9. C【解析】设蒲的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ，则 ．
莞的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ．则 ，
由题意可得，，
整理得，，解得 或 （舍去）．
所以 ．
所以蒲、莞长度相等大约需要 天．
10. C
【解析】根据题意，设此人每天所走的路程为数列 ，其首项为 ，即此人第一天走的路程为 ，
又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则 是以为 首项， 为公比的等比数列，
又由 ，即有 ，
解得：．
11. D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为 ，则第八个单音的频率为：．
12. A【解析】因为每竹节间的长相差 尺，设从地面往上，每节竹长为：，，，，，
所以 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
由题意知竹节圈长，后一圈比前一圈细， 分 厘米即 尺，
设从地面往上，每节节圈长为 ，，，，，
由 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以一蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是：（尺）．
故答案选：A．
13. C
14. C【解析】方法一：因为随着 的增大， 在增大，要使 取得最大值，只要让随着 的增大 的值超过 （平均变化）的加入即可， 的值不超过 （平均变化）的舍去，由图象可知，，，， 这几年的改变量较大，所以应该加入，到第 ， 年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C．
方法二：假设 是 取的最大值，所以只要 即可，也就是 ，即可以看作点 与 连线的斜率大于点 与 连线的斜率，所以观察可知到第 与 连线的斜率开始大于点 与 连线的斜率．故答案为C．
15. B
16. B
17. B【解析】由题意：大老鼠与小老鼠每天走的路程为等比数列，
则有：大鼠：，前 天共走了 尺，
小鼠：，前 天共走了 尺，
若墙厚度 尺 尺，
，即 ，
时 ，未穿透，
时 ，穿透，
至少第 天．
18. A【解析】设年平均增长率为 ， 为第 年的生产总值，因为 ，所以 ，由图象比较 ，，， 的大小可知， 的值最大
19. A【解析】设该数列为 ，设 ，则 ，
由题意可设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，则 ．
可知当 为 时 ，数列 的前 项和为数列 的前 项和，即为 ．
容易得到 时，，
A 项，由 ，，可知 ，故 A 项符合题意．
B 项，仿上可知 ，可知 ，显然不为 的整数幂，故 B 项不符合题意．
C 项，仿上可知 ，可知 ，显然不为 的整数幂，故 C 项不符合题意．
D 项，仿上可知 ，可知 ，显然不为 的整数幂，故 D 项不符合题意．
方法二：由题意可知：，，，，，
根据等比数列前 项和公式，求得每项和分别为：，，，，，
每项含有的项数为：，，，，，
总共的项数为 ，
所有项数的和为

由题意可知： 为 的整数幂．只需将 消去即可，
则① ，解得：，总共有 ，不满足 ，
② ，解得：，总共有 ，不满足 ，
③ ，解得：，总共有 ，不满足 ，
④ ，解得：，总共有 ，满足 ．
所以该款软件的激活码为 ．
20. A
【解析】因为开机时占据内存 ，然后每 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的 倍，所以 分钟后占据内存 ，两个 分钟后占据内存 ，三个 分钟后占据内存 ，故 个 分钟后，所占内存是原的 倍，则应有 ，所以 ，．
21. 米
22.
【解析】由题意，知每天所走路程形成以 为首项，公比为 的等比数列，则 ，解得 ，则 ，即第二天走了 里路．
23.
【解析】假设第 轮被感染的计算机为 台，则第 轮被感染的计算机数为 台，而 ，所以 ，令它大于 即可求出结果．
24.
【解析】由题意可知

25.
【解析】根据题意，得
于是从 开始它是一个周期为 的周期数列，从而
26. 台．
27. （1） 由题意知
由 ，即 ，解得 ．
由 知，从第三年开始盈利．
（2） 方案①：年平均纯利润
当且仅当 时等号成立．
故方案①共获利 （万元），此时 ．
方案②：
当 时，．
故方案②共获利 （万元）．
比较两种方案，获利都是 万元，但由于第①种方案只需 年，而第②种方案需 年，故选择第①种方案更合算．
28. 不妨从每年存入的 元到 岁时产生的本息入手考虑，出生时的 元到 岁时变成了 ， 岁生日的 元到 岁时变成了 ， 岁生日的 元到 岁时变成了 ，； 岁生日的 元到 岁时变成了 ．
所以由数列可知， 岁时取出的钱的总数为：．
29. （1） 第 年末的住房面积
第 年末的住房面积
（2） 第 年末的住房面积
第 年末的住房面积
第 年末的住房面积
依题意可知 ，解得 ，所以每年拆除的旧房面积为 ．
30. （1） 记得 年后所得本利和为 ，
根据题意，第 年存入的本金 元， 年后到期利息 元， 年后本利和为 （元）；
年后到期利息为 元， 年后本利和为 （元）；
；
各年的本利和是一个以 为首项， 为公比的等比数列 ．
故 年后到期的本利和 （元）．
（2） 根据上式， 年后本利和为 （万元）．
即 年后共得本利和约为 万元．