高考数学三轮冲刺卷：解三角形的实际应用问题（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：解三角形的实际应用问题（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 如图，在河岸 测量河宽 时，测量下列四组数据较适宜的是
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

2. 在地面上一点 测得一电视塔塔尖的仰角为 ，再向塔底方向前进 ，又测得塔尖的仰角为 ，则此电视塔高约为
A. B. C. D.

3. 美国为了加强对伊拉克的控制，进行了战略部署，在位于科威特和沙特的两个距离 的军事基地 和 ，测得伊拉克两支精锐部队分别在 处和 处，且 ，，，，如图所示，则伊军这两支精锐部队间的距离是
A. B. C. D.

4. 有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为 ，下底长为 ，高为 ，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为
A. ，B. ，C. ，D. ，

5. 如图所示，长为 的木棒 斜靠在石堤旁，木棒的一端 在离堤足 处 的地面上，另一端 在离堤足 处 的石堤上，石堤的倾斜角为 ，则坡度值 等于
A. B. C. D.

6. 如图，一货轮航行到 处，测得灯塔 在货轮的北偏东 ，与货轮相距 ，随后货轮沿北偏西 的方向航行 后，于 处测得灯塔 在货轮的东北方向，则货轮的速度为
A. B.
C. D.

7. 一船向正北航行，看见正西方向有相距 海里的两个灯塔恰好与它在同一直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 ，另一灯塔在船的南偏西 ，则这艘船的速度是每小时
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里

8. 如图，海平面上的甲船位于中心 的南偏西 ，与 相距 海里的 处．现甲船以 的速度沿直线 去营救位于中心 正东方向 的 处的乙船，则甲船到达 处需要的时间为
A. B. C. D.

9. 甲船在 岛的正南 处，，甲船以 的速度向 岛航行，同时，乙船自 岛出发以 的速度向北偏东 的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是
A. B. C. D.

10. 某人在 点测得某塔在南偏西 ，塔顶仰角为 ，此人沿南偏东 方向前进 到 ，测得塔顶 的仰角为 ，则塔高为
A. B. C. D.

11. 在 中，，（），，则满足此条件的三角形的个数是
A. B. C. D. 无数

12. 如图所示，在地面上共线的三点 ，， 处测得一建筑物的仰角分别为 ，，，且 ，则建筑物的高度为
A. B. C. D.

13. 已知 ，， 三点在地面同一直线上，，从 ， 两点测得 的点仰角分别为 ，，则 点离地面的高 等于
A. B. C. D.

14. 某人驾驶一艘小游艇位于湖面 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东 方向，且塔顶的仰角为 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶 米后到达 处，此时测得塔底位于北偏西 方向，则该塔的高度约为
A. 米B. 米C. 米D. 米

15. 如图，塔 的底部为点 ，若 ， 两点相距 并且与点 在同一水平线上，现从 ， 两点测得塔顶 的仰角分别为 和 ，则塔 的高约为 （精确到 ，，）
A. B. C. D.

16. 在 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是 和 ，则塔高为
A. B. C. D.

17. 海上有 ， 两个小岛相距 ，从 岛望 岛和 岛成 的视角，从 岛望 岛和 岛成 的视角，则 ， 间的距离为
A. B. C. D.

18. 海上 ， 两个小岛相距 海里，从 岛望 岛和 岛成 的视角，从 岛望 岛和 岛成 的视角，则 ， 间的距离是
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里

19. 如图所示，要测量河对岸 ， 两点间的距离，今沿河岸选取相距 米的 ， 两点，测得 ，，，，则 ， 间的距离是
A. 米B. 米C. 米D. 米

20. 在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为 ，由此点向塔底沿直线行走 米，测得塔顶的仰角为 ，再向塔前进 米，又测得塔顶的仰角为 ，则塔高为
A. 米B. 米C. 米D. 米

二、填空题（共5小题；）
21. 如图， 是竖立在地面上的一根杆子，高为 ， 为 的中点，在地面 处测得点 的仰角为 ，则在 处测点 的仰角应是多少（精确到 ）?

22. 在半径为 的圆形广场中央上空，置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为 ，若光源恰好照亮整个广场，则其高度应为 ． （精确到 ）

23. 我国《物权法》规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水面上，且楼高均为 米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于 米．若该小区内某居民在距离楼底 米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为 ，则该小区的住宅楼楼间距实际为 米．

24. 某海域中有一个小岛 （如图所示），其周围 海里内布满暗礁（ 海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域 处出发由西向东直线航行，在 处望见小岛 位于北偏东 ，渔船继续航行 海里到达 处，此时望见小岛 位于北偏东 ，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险?答： （填写“有”、“无”、“无法判断”三者之一）．

25. 已知 ， 为圆 ： 上的两点，且 ，设 为弦 上一点，且 ，则 的最小值为 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 某人从某处出发向正东方向走 千米后，向右转 ，如图所示，然后向前行走 千米，结果他与出发点相距 米，求 ．（结果精确到 米）

27. 某学校的平面示意图为如图五边形区域 ，其中三角形区域 为生活区，四边形区域 为教学区，，，，，， 为学校的主要道路（不考虑宽度）．，，．
（1）求道路 的长度；
（2）求生活区 面积的最大值．

28. 如图，某广场有一块边长为 的正方形区域 ，在点 处装有一个可以转动的摄像头，其能够捕捉到的图象的角 始终为 （其中点 ， 分别在边 ， 上），设 ，记 ．
（1）用 表示 的长度，并研究 的周长 是否为定值?
（2）问摄像头能捕捉到正方形 内部区域的面积 至多为多少 ?

29. 如图，滚珠轴承的内外圆半径分别为 和 ．如果在这个滚珠轴承里恰好能放入 颗滚珠，求 的值（结果用 表示）．

30. 图如所示，游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径．一种是从 沿直线步行到 ，另一种是先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 ．现有甲、乙两位游客从 处下山，甲沿 匀速步行，速度为 ，在甲出发 后，乙从 乘缆车到 ，在 处停留 后，再从匀速步行到 ．假设缆车匀速直线运动的速度为 ，山路 长为 ，经测量 ，．
（1）求索道 的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?
（3）为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟，乙步行的速度应该控制在什么范围内?
答案
1. D
2. A【解析】设电视塔塔尖为 ，塔底为 ，在地面上一点 向塔底方向前进 到点 ，作图如图所示，则 ，．
在 中，设 ，则 ．在 中，，，解得 ．
3. A【解析】因为 ，所以 是等边三角形．所以 ．
在 中，由正弦定理，得 ，所以 ．
所以在 中，由余弦定理，得 ，所以 ．
4. B【解析】如图所示，
横断面是等腰梯形 ，
，，高 ，
则 ，
，
．
5. A
【解析】由题意可得，在 中，，，，且 ．
由余弦定理，可得 ，即 ，解得 ，所以 ，所以 ．
6. B【解析】设货轮的速度为 ，由题意，得 ，，则 ，又 ，，则 ，解得 ，而 ，故 ．
7. C
8. B【解析】由题意，得 ，
因此 ，，因此甲船到达 处需要的时间为 ．
9. A【解析】如图，设经过 时甲船行至 处，乙船行至 处，且距离为 ．
在 中，由余弦定理，知
即
当 时， 最小，又 ．
10. C
【解析】如图，设塔高为 ，在 中，，则 ，
在 中，，则 ，
在 中，，．
由余弦定理得 ，
即 ，所以 ．
解得 或 （舍）．
11. A【解析】由正弦定理知 ，所以不存在这样的三角形．
12. D【解析】设建筑物的高度为 ，由题图知，，，，
所以在 和 中，分别由余弦定理，
得 ． ，
因为 ，所以 ．
由 ，解得 或 （舍去），即建筑物的高度为 .
13. A
14. C
15. D
【解析】设 ，因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，解得 ．
16. A【解析】如图所示，在 中，， ，所以 ，，在 中，， ，所以 ，所以 ．
17. D【解析】如图，．
由正弦定理可得 ，．
18. D【解析】根据题意，画出示意图．
在 中，，，，
所以 ．
由正弦定理可得 ，
即 ，
所以 （海里）．
19. C【解析】在 中，可得 （米），
在 中，由正弦定理得 （米），
又 ，
所以在 中，由余弦定理得 （米）．
20. C
【解析】由余弦定理求得 ．
21.
22.
23.
【解析】如图，
设该小区的住宅楼楼间距为 米，
则 米， 米，，
所以 ，
即 ，
解得 ．
24. 无
【解析】如图，过 作 的延长线的垂线，垂足为 ．
在 中，，，
则 ，
所以 为等腰三角形．，又 ，
所以 ，，所以渔船没有触礁的危险．
25.
【解析】由题设可得：，，
因为 ，
所以
即
所以 ．
因为 ， 为圆 ： 上的两点，
且 ，
所以 ，即 ，
所以点 的轨迹为圆 ，
又 ，
其几何意义为圆 上一点到直线 的距离的 倍，
又因为圆 的圆心 到直线 的距离
，
所以圆 上一点到直线 的距离的最小值 ，
所以 ．
26. 米或 米．
27. （1） 如图，连接 ，
在 中，由余弦定理得：，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
所以在 中，．
（2） 设 ，
因为 ，
所以 ．
在 中，由正弦定理，得 ，
所以 ，，
所以

因为 ，
所以 ．
所以当 ，即 时， 取得最大值为 ，
即生活区 面积的最大值为 ．
28. （1） ，，，，，，
所以 ，
故 ，
所以 的周长 是定值 ．
（2）
当且仅当 时，等号成立，
所以摄像头能捕捉到正方形 内部区域的面积 至多为 ．
29. 设轴承圆心为 ，相邻两颗滚珠的圆心分别为 ，，
在等腰三角形 中，，，
所以 ．
30. （1） 因为 ，，
所以 ，
所以 ，，
所以 ，
由 ，得 ．
（2） 设乙出发 分钟后，甲与乙的距离为 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，
即 ，
所以 时，即乙出发 分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短．
（3） 由正弦定理 ，
得 ，
乙从 出发时，甲已经走了 ，还需走 ，才能到达 ，
设乙的步行速度为 ，则 ，
所以 ，
解得 ，
所以为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟，乙步行的速度应控制在 范围内．