新高考数学二轮复习培优讲义15 数列的求和方法和不等式问题（含解析）

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解密15 数列的求和方法和不等式问题
【考点解密】
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝

2．分组求和法与并项求和法
(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．

3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)常见的裂项技巧
①＝－.
②＝.
③
④＝.
⑤
⑥
⑦＝－.
⑧loga＝loga(n＋1)－logan (n>0)．


4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
【核心题型】
题型一：倒叙相加法求和
1．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）已知函数，数列满足，则（    ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
【答案】A
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
2．（2020·全国·高三专题练习）已知函数，若 ，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，采用倒序相加的方法可得，从而得到，根据基本不等式求得最小值.
【详解】由题可知：
令
又
于是有    
因此
所以
当且仅当时取等号
本题正确选项：
3．（2022·河北·模拟预测）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)

【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为,
由①,
则②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，则时，，
所以
      
      .
又由对一切恒成立,可得恒成立,
即有对一切恒成立.
当时,取得最大值，所以；
故实数的取值范围是.

题型二：错位相减法求和
4．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)求实数的值及的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2).

【分析】（1）当时，，两式相减可得为以为公比的等比数列．又由，可得实数的值及的通项公式；
（2）由（1）可得，则，后由错位相减法可得.
【详解】（1）当时，，
两式相减可得，，故，得是以为公比的等比数列．
又，故，则.故．
（2）由（1）及题意可得：，
故，
，
两式相减可得，，化简可得，．
5．（2023·湖南·模拟预测）已知正项等比数列的的前n项和为，且满足：，
(1)求数列的通项；
(2)已知数列满足，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；
（2）由（1）可得，利用错位相减法即可求得数列的前项和.
【详解】（1）设的公比为，，
∵，∴，
∴，即，
∴，又，∴.
（2）∵，
∴，
∴，
相减得，，
∴，
所以.
6．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差，即可得到数列的通项公式；
（2）表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和.
【详解】（1）由题意，
在等差数列中，设公差为,
由，得，则，
又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴数列的通项公式为：．
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，，
在数列中，，
∴，
∴，
，
两式相减得

．
∴

题型三：裂项相消法求和
7．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在数列中，．
(1)求证：是等差数列，并求数列的通项公式．
(2)设，求数列的前n项的和．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)

【分析】（1）根据递推关系式，由等差数列的定义、通项公式求解即可；
（2）根据裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
否则与矛盾，故，
又，∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以，
因此．
（2）由（1）知，
∴.
8．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）将数列的递推公式变形，再结合等比数列的定义，即可证明；
（2）由（1）得到数列的通项公式，再利用变形，放缩法，结合裂项相消法求和，即可证明.
【详解】（1）由，得，由，得，
则，所以，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）得，则，所以，
所以．
所以

9．（2023·山东菏泽·统考一模）已知首项不为0的等差数列，公差（为给定常数），为数列前项和，且为所有可能取值由小到大组成的数列.
(1)求；
(2)设为数列的前项和，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式与求和公式得到关于的方程，即可得到结果；
（2）根据题意，得到数列的通项公式，再由裂项相消法即可得到其前项和.
【详解】（1）由题意得，，得①
由，得②
由①②，可得且，则，
由，当在范围内取值时的所有取值为：
所以.
（2）
所以
由于是递减的，所以

题型四：分组求和法
10．（2023·江西上饶·统考一模）已知数列的前n项和为，，，且.
(1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若等比数列满足，，，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)

【分析】（1）利用变形可得，进而可证明等差数列并求通项公式；
（2）设等比数列的公比为，先通过条件列方程求出，进而可求出，再利用并项求和法求和.
【详解】（1）由得，
，又，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列；
；
（2）设等比数列的公比为，
则，
，
，
，



11．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)

【分析】（1）利用递推关系式进行变形，得到，从而得证，即可得出数列是以3为首项，1为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）知，再由并项求和法求出数列的前n项和.
【详解】（1）因为，，
所以，且，
所以，
所以，
即，
又，所以数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以．
（2）由（1）知，
所以

．
12．（2023·山东潍坊·统考一模）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）当时，，两式相减得，由，可求出的值；
（2）由（1）知，由绝对值的定义结合等差数列的前项和公式即可求出数列的前项和.
【详解】（1）因为，所以时，，所以.
又由数列为等比数列，所以.又因为，所以，
综上.
（2）由（1）知，
当时，，
当时，
所以.

题型五：数列与不等式问题
13．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，，当时， ，为数列前n项的和.
(1)证明：；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）利用求出，故为等差数列，公差为1，首项为1，求出通项公式，利用放缩法得到，相加后证明出结论；
（2）裂项相消法得到，进而求和
【详解】（1）当时，，即，
变形为，
即，
即，，
由，得：，
故为等差数列，公差为1，首项为1，
所以，
因为，所以，
故，
故；
（2），
故

14．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．

(1)求出的表达式；
(2)求证：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）归纳得出，然后利用累加法可求得的表达式；
（2）当时，可得出，利用裂项相消法可证得原命题成立.
【详解】（1）解：根据题意，，，
，，，
由此类推：．
当且时，
，
也满足，
故对任意的，.
（2）证明：由（1）的结论，，
当时，，
则
，故原命题成立．
15．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数，其中
(1)当时，求；
(2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小整数.
【答案】(1)
(2)2

【分析】（1）依据题给条件，利用等差数列前n项和公式即可求得；
（2）先利用裂项相消法求得数列的前n项和，再依据题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得m的最小整数
【详解】（1）由，可得


则当时，
（2）由（1）可得，当时，
则当时，
，
则当时，数列的前n项和

又当时，，，
由恒成立，可得，解之得
则当时，使得恒成立的m的最小整数为2
当时，成立，
综上，使得恒成立的m的最小整数为2

题型六：数列的其他求和方法
16．（2022·广东佛山·统考三模）设各项非零的数列的前项和记为，记，且满足．
(1)求的值，证明数列为等差数列并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；证明见解析；
(2)

【分析】（1）依据题意列出关于的方程即可求得的值，依据等差数列的定义去证明数列为等差数列，进而求得的通项公式；
（2）先求得数列的通项公式，再分类讨论去求数列的前项和．
(1)
由题意可知，，且，解得：或（舍去）
又当时，，所以有
化简得：，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列
所以
(2)
由(1)可知
当时，
当时，
则，
①当是奇数时，

②当是偶数时，

综上所述：
17．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由已知方程可得或，结合正项数列即可确定的通项公式；
（2）利用正弦型函数的性质判断的周期，并求出一个周期内的项，最后根据周期求.
(1)
，
或，
为正项数列，
；
(2)
，
是周期为12的周期数列 ，
，，
，
，，
，，
，，
，，

.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，满足，为数列的前项和，记的前项和为，的前项积为，且.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，对任意自然数，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，，推得，结合，求得，从而求得.
（2）由，结合（1）中，求得，；代入问题所示表达式，由，进行裂项求和，将不等关系转化为，从而求得参数取值范围.
【详解】解：（1）∵，
.
∵，∴，
∵，∴.
∵，∴，∴.
（2）∵，，
∴.∵，
∴，
∴，∴，.
∵
∴

两边同乘以（时，），
∴条件不等式等价于，
∴当n为偶数时，恒成立，当时，，故；
当 n为奇数时，恒成立，当时，，故；
故.





【高考必刷】
一、单选题
19．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在正项数列中，，，记．整数满足，则数列的前项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由递推公式得是等差数列，得的通项公式，由不等式得，用裂项相消法求的前120项和.
【详解】因为，，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，又因为，所以，
所以，
因为，，
整数满足，所以，
的前120项和为
.
故选：B.
20．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知在数列中，，且.设，且为的前项和，则的整数部分为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将整理变形可得到，利用等比数列的通项公式可得，进而可得，判断出的单调性可得的最小值，再利用可得的最大值，进而可得的整数部分.
【详解】由得，且，
故.
再将等式两边同除以，得.
由得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
，即，
故.
又，故是关于的递增数列，
故；
当时，

故.
综上有.
的整数部分为
故选：A.
21．（2022·陕西宝鸡·统考一模）的整数部分是（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】注意到
，
，
据此可得答案.
【详解】因，则
.
又
，则

.
故，即整数部分为4.
故选：B
22．（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）已知数列满足，设，则数列的前2023项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，再利用裂项法求和即可.
【详解】由题知：数列满足，设，
所以的前项和为，则.
当时，，
当时，，
检验：当时，，符合.
所以.
令，前项和为.
则.
故选：D
23．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设等比数列满足，，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和（    ）
A．109 B．111 C．114 D．116
【答案】C
【分析】先求出等比数列的通项公式，再结合题意得到当，2时，；当时，；当时，；当时，；从而求出数列的前50项和.
【详解】设等比数列的公比为q，则，，
解得，，故，
因为为中在区间中的项的个数，
所以当，2时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故.
故选：C.
24．（2022·上海闵行·统考一模）已知数列满足，，如果，那么（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由可得，再由题意结合基本不等式与数列得单调性求出的范围，即可求解
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
由即可归纳得，
所以，
所以数列为递增数列，
又，
则，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：A

二、多选题
25．（2023·浙江·校联考模拟预测）数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n项和，则下列结论正确的是（    ）
A．数列的第项为 B．数列的第2023项为
C．数列的前项和为 D．
【答案】ACD
【分析】由数列的定义，对通项和前n项和的性质进行讨论，验证选项是否正确.
【详解】
…，
，故A选项正确；
，

，故B选项错误；
，，…，当时，，
所以，故C选项正确；
当时，，
，故D选项正确；
故选：ACD.
26．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）数列满足，，数列的前n项和为，且，则下列正确的是（    ）
A．
B．数列的前n项和
C．数列的前n项和
D．
【答案】BCD
【分析】求得数列的通项公式判断选项A；求得数列的前n项判断选项B；求得数列的前n项和，进而判断选项C；求得数列的前项和进而判断选项D.
【详解】由，有，又
所以是首项为，公差为的等差数列，则，
则，则，A错误；
由，可得，解之得
又时，，则，整理得
则数列是首项为3公比为3 的等比数列，则，
则数列的前项和
，B正确；
，则数列的前项和
，C正确；
设数列的前项和，
则，，
两式相减得
整理得，则当时，，D正确.
故选：BCD.
27．（2023·山西·统考一模）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）
A． B．为偶数
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据递推关系计算出的值可判断选项A；根据数列中项的特点可判断选项B；由可得，再化简可判断选项C；由，化简整理可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，，
故选项A正确；
对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，选项B错误；
对于C：由题意知：，所以
，故选项C正确；
对于D：，
故选项D正确，
故选：ACD.
28．（2022·全国·校联考模拟预测）在数列中，，，且，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．
C．，使得
D．，都有
【答案】ABD
【分析】由已知递推关系式可知数列为等差数列，由此可推导得到，知A正确；利用裂项相消法可求得，知B正确；设，利用导数可求得单调性，知当时，，由此可得，由此放缩后可得，知CD正误.
【详解】，，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，A正确；
，
，B正确；
令，则，
在上单调递增，又，
当时，，即，，
即，
，C错误，D正确.
故选：ABD.

三、填空题
29．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，，若数列的前n项和为，则______．
【答案】
【分析】分析出数列的奇数项和偶数项分别成公差为6的等差数列，对n分奇偶讨论，求出数列的通项公式，从而得到，裂项相消法求和.
【详解】，时，，
两式相加得：，，
所以数列的奇数项和偶数项分别成公差为6的等差数列．
若n为偶数，设，，则，
中，令得：，
因为，所以，
所以，即．
若n为奇数，设，，则，所以．
综上，的通项公式为，
所以，
所以，
所以，
所以．
故答案为：
30．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列满足，，则数列的前项和________．
【答案】
【分析】先根据递推关系式求出，然后利用裂项相消法求和.
【详解】由题意可得，，
所以是以3为首项，3为公差的等差数列，所以，
；
设数列的前项和为，
则.
故答案为：.
31．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知数列中：，则的前8项和为______．
【答案】
【分析】根据题意，依次得到到，然后相加，即可得到结果.
【详解】根据题意可得，
，
，
，
，
，

则的前8项和为
故答案为:
32．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在正项数列中，，，记.整数m满足，则数列的前m项和为______.
【答案】
【分析】由递推公式得是等差数列，得的通项公式，由不等式得，用裂项相消法求的前120项和.
【详解】因为，，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，又因为，所以，
所以，
因为，，
整数m满足，所以，
的前120项和为
.
故答案为：.
【点睛】注意该题由递推公式先整体考虑，得的通项公式；的化简先通过有理化去掉分母的一个因式后再裂项.
33．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）现取长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆．所得半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，所得半圆的面积之和为，以此类推，则______．

【答案】
【分析】先求得，然后利用错位相减求和法求得正确答案.
【详解】依题意，，
，
，
以此类推可知，数列是首项为，公比是的等比数列，
所以.
令，
则，
，
两式相减得


所以.
所以.
故答案为：

四、解答题
34．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）设数列的前n项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先根据，可得数列是以为公差的等差数列，从而可得数列的通项，再根据与的关系结合构造法即可得解；
（2）先求出数列的通项，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
当时，，
两式相减得，即，
所以数列为常数列，且，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以.
35．（2023·上海黄浦·统考一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可.
（2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则，，，
又，可得，
所以.
（2）由（1）可得，
故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，
所以，
所以数列的前2n项和为：.
即: 数列的前2n项和为.
36．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知数列是递增的等比数列，并且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)若是数列的前项和，证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析；

【分析】（1）设数列的公比为由可求出，进一步可得.
（2）利用裂项相消求和法可求出数列的前项和，得证.
【详解】（1）设数列的公比为
由  得，两式相除，得,
即，解得或，且、为递增等比数列，
，，
.
（2），则，
，

，
而，所以，即.
37．（2023·浙江·校联考模拟预测）在数列中，，在数列中，.
(1)求证数列成等差数列并求；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析

【分析】（1）条件等式两边取倒数化简变形即可；
（2）由累乘法求得的通项公式，对不等式进行缩放，结合裂项相消求和即可证明.
【详解】（1）由知，
故，
即，数列成等差数列，
所以，所以；
（2）由，得，
于是
所以，




，
所以.