奥数四年级下册 第15讲：定义新运算 教案

（ 四年级 ）                                         备课教员：* * *

第十五讲    定义新运算

一、教学目标：

知识目标

理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。

能力目标

经历新定义运算算式转化成一般的＋、－、×、÷数学式子的过程，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力。

情感目标

通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方法。体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功感受。

二、教学重点：

理解新定义，按照新定义的式子代入数值。

三、教学难点：

把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

【设计意图：谈话导入，用加法和乘法的运算，引出定义新运算的思想，引起学生的学习兴趣。】

师：在生活中，我们常见的有哪几种运算？

生：有加、减、乘、除这四种。

师：同学们对这些运算都很熟悉吧？

生：熟悉。

师：是的，它们在学习中特别“普及”，我们对它们的运算和意义都很熟悉。

我们来回忆下乘法的运算。它是好多个相同的数相加的时候，比如8个13

相加，为了便于书写和计算，我们可以用8×13来表示，那么乘法是不是

在加法运算上发展出来的新运算呢？

生：是的。

师：不错，改革开放30多年，中国发生翻天覆地的变化。昔日的农村的土坯房

变成了今天的高楼大厦。交通也发生了新的变化，这些变化都是由于改革

的需要。而在我们的数学中，有时为了某种需要，会用一种新符号来表示

含有加、减、乘、除的运算，这种运算时根据需要而定义的，我们称之为

定义新运算。

（可以举例说明定义新运算和普通运算的区别，如：a△b=a+b+ab ，3△2=3+2+3×2=11 ，那5△5=5+5+5×5=？可以和学生集体探讨下）

学生没有学习过定义新运算的知识，需要老师好好引导。

【板书课题：定义新运算】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（10分）

    规定A⊙B=3×A＋4×B，试计算8⊙3的值。

讲解重点：抓住定义的本质，用四则运算进行计算。

师：同学们，我们来看下题目，其中的⊙是什么符号？

生：……

师：它是一种定义的符号，同学们还记得乘法的定义吗？

（乘法表示几个相同的数相加，类同于新定义的加法运算）

生：……

师：解这类题的关键是抓住定义的本质。我们先观察一下前面的算式，说说你

    的理解。那么这里⊙符号的运算是什么呢？

生：A⊙B=3×A＋4×B。

师：所以，这道题定义的运算本质是什么？

生：运算符号前面的数的3倍加上符号后面的数的4倍。

师：我们再来看看题目中要求的是8⊙3，这里A是多少？B是多少？

生：A是8,B是3。

师：我们在计算新运算的时候，把数字代入相对应的字母，再按照我们以前学

    习的四则运算进行计算。我们去试一试8⊙3吧。

（要强调“代入”这个概念，这是定义新运算的关键知识点）

生：8⊙3=3×8+4×3

师：这样就转化为普通的四则运算，然后进行计算，结果是多少?

生：3×8+4×3=36。

师：现在大家明白了吗？

生：明白了。

板书：

     8⊙3=3×8+4×3=36

师：同学们都掌握了吗，我们来试下练习一吧。

练习1：（5分）

    如果规定A▲B=13×A－8×B,求27▲39的值。

分析：

通过观察可以发现，“▲”在本题定义的运算本质是：运算符号前面的数的13倍减去后面的数的8倍即为运算结果。由此可以将这种运算转化为普通的四则运算进行计算。

板书：

    27▲39=13×27-8×39=39

（二）例题2：（10分）

    对于两个数a与b，规定a□b=a×b＋a－b,试算4□6。

讲解重点：抓住定义的本质，运算部分就转换成我们已知的加减乘除四则运算

          进行计算。

师：仔细观察，这道题与我们前面学习的有什么不一样。

生：它们定义的本质不一样。

师：这道题规定的运算本质是什么？

生：前面的数与后面的数的乘积加上前面的数减去后面的数就是运算结果。

师：将数字代入算式，试一试吧。

生：4□6=4×6+4-6

师：现在这个算式变成了普通的四则运算，请你进行计算，解得答案。

生：4×6+4-6=22。

板书：

    4□6=4×6+4-6=22

练习2：（5分）

    假设A@B=A×B＋A＋B，那么18@9的计算结果是多少？

分析：

    通过观察可以发现，“@”在本题定义的运算本质是：前面的数与后面的数的乘积加上前面的数再加上后面的数就是运算结果，所以可以将这种运算转化为普通的四则运算进行计算，解得答案。

板书：

   18@9=18×9+18+9=189

三、小结：（5分）

    定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如＋，－，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。  

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

【设计意图：通过复习的形式让学生回顾上节课学习的内容，同时引出下堂课要学习的内容。】

师：同学们，上节课我们学过了什么？

生：定义新运算。

师：那下面我们就来互动一下，看看同学们自己是否真的掌握了这个知识。

师：（出示一定数量的题，学生开火车的形式，进行回答，分为两组，比一比，看看哪组速度快，计算正确率高。高的可以获得奖励。）【题自己找】

或者同学们自己定义一个运算，让同桌或者前后位做，看你出的题能不能

难住他们。

生：好。

师：看样子，大家都掌握的不错，这节课，我们继续学习定义新运算的另外几

    种方式。

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（10分）

    规定a△b=7a－4b,则（5△4）△3的值是多少？

讲解重点：抓住定义的本质，进行两步计算。

师：仔细观察“△”的运算本质是什么？

生：前面的数的7倍减去后面的数的4倍就是运算结果。

师：我们在观察算式（5△4）△3，这个算式有什么特点？

生：需要两步计算。

师：我们先要算哪个？

生：5△4。

师：代入数字，转化为普通的四则运算是多少？

生:5△4=5×7-4×4

师：如果我们直接这样代入到后面的一个算式中会比较麻烦，所以我们需要怎

    么样？

生：先计算出来，然后再把后面的转化为普通的四则运算计算。

师：5△4的结果是多少呢？

生：5△4=5×7-4×4=19。

师：现在算式变成了19△3，请你计算出它的结果吧。

生：19△3=19×7-3×4=121。

师：现在大家懂了吗？我们只要按照运算法则，先算括号里，再用算得的结果

    与△3按前面的计算方法再次计算，就可以得到结果。

生:懂了。

板书：

   （5△4）△3

   =（7×5-4×4）△3

   =19△3

   =19×7-4×3

   =121

练习3：（5分）

  如果A☆B=8×A＋2×B，试计算5☆（14☆7）。

分析：

    通过观察可以发现，“☆”在本题定义的运算本质是：前面的数的8倍加上后面的数的2倍就是运算结果，题中要求5☆（14☆7），需要两步计算，所以可以先转化为普通的四则运算，然后先算括号里，再将5☆与括号里的结果，按前面的计算方法再次计算。

板书：

   5☆（14☆7）

  =5☆（14×8+2×7）

  =5☆126

  =8×5+126×2

  =292

（二）例题4：（12分）

    定义A＊B=3×A＋B,a☆b=a×a－b×b，计算3＊（15☆10）。

讲解重点：抓住两种定义本质，从左到右，有括号的先计算括号，分步计算。

师：通过观察可以发现，这道题和我们前面学习的有什么不同？

生：有两种运算规则。

师：所以我们应该怎么做？

生：要分步计算。

师：计算3＊（15☆10）先算谁？

生：应先算15☆10。

师：是不是计算出来后，然后再代入另一种计算。

生：是的。

师：那么“☆”在本题定义的运算本质是什么？

生：前面的数乘前面的数的积减去后面的数乘后面的数的积就是运算结果。

师：所以将15☆10转化为普通的四则运算是什么？

生：即15☆10=15×15－10×10。

师：等于多少？

生：15×15－10×10=125。

师：然后代入3＊（15☆10），即3＊125；它们的运算本质是？

生：前面的数的3倍加上后一个数是运算结果。

师：所以将3＊125转化为普通的四则运算，是多少？

生：3＊125＝3×3+125。

师：结果是多少？

生：3×3+125=134。

板书：

    3＊（15☆10）

    =3＊（15×15－10×10）

    =3＊125

    =3×3+125

    =134

练习4：（5分）

规定A*B=A＋4×B，A★B=2×A×B，计算（15★6）*4。

分析：

    通过观察可以发现，有两种运算规则，所以要分步计算，应先算15★6，然后再代入另一种计算，因为“★”在本题定义的运算本质是：2乘前面的数再乘后面的数就是运算结果，所以将15★6转化为普通的四则运算，即15★6=2×15×6=180，然后代入（15★6）*4，即180*4；又因为“*”在本题规定的运算本质是：前面的数加上后一个数的4倍是运算结果，所以将180*4转化为普通的四则运算，即可算得结果。 

板书：

   （15★6）*4

   =（2×15×6）*4

   =180*4

   =180+4×4

   =196

例题5：（选讲）

   设X、Y是两个数，规定：X※Y=（5×X－Y）÷2。例如7※9=（5×7－9）÷2=13，求X※8=36中X的值。

讲解重点：根据定义的本质，代入四则运算，求未知数的过程，其实是一个解

          方程的过程。

师：通过观察可以发现，这道题规定的运算本质是什么？

生：前一个数的五倍减去后一个数的差除以2，可以得到结果。

师：那我们来一起观察下X※8=36，这个算式是我们应该怎么处理呢?

生：把“X※8=36”算式先转化为普通的四则运算，再计算。

师：试一试。

生：X※8=36＝（5×X－8）÷2＝36。

师：这样再来看，这就和我们平常的方程一样了，我们可以怎么做？

生：用解方程的方法求出X的值。

师：我们也可以用倒推法试试。X的值是多少？

生：X＝16。

板书：

   X※8=36

 （5×X－8）÷2＝36

               X=16

答：X的值是16。

练习5：（选做）

   设a、b都表示数，规定a●b=a＋6×b，则在15●a=51中a的值是多少？

分析：

   这道题规定的运算本质是把前面的数加上后面的数的6倍，所以将15●a=51转化为普通的四则运算，运用方程的思想，即可算得结果。

板书：

   15●a=51

  15+6×a=51

       a=6

答：a的值是6。

三、总结：（5分）

    生活里，定义新运算这类题目往后会有很多，而解决它们的窍门就在于：擦亮眼睛，细心观察，从中找出规律，然后再按规律有条理地依次计算。这样，再难的定义新运算我们就可以顺藤摸瓜，迎刃而解了。

四、随堂练习：

1. 如果A⊙B=6×A－3×B，试计算15⊙6。

板书：

     15⊙6＝6×A－3×B＝6×15－3×6＝72

2. 如果A◎B=A×B×（B－A），试计算5◎14。

板书：

    5◎14＝A×B×（B－A）＝5×14×（14－5）＝630

3. 如果A⊙B=A×B＋A＋B，试计算15⊙（11⊙4）。

板书：

   （11⊙4）＝A×B＋A＋B＝11×4＋11＋4＝59

   15⊙59＝A×B＋A＋B＝15×59＋15＋59＝959

4. 规定m☆n=10×m－5×n,a★b=5×a＋10×b,计算（5☆7）★15。

板书：

    5☆7＝10×m－5×n ＝10×5－5×7＝15

    15★15＝5×a＋10×b＝5×15＋10×15＝225

5. 规定a、b是两个不同的自然数，且a◇b=4a－b，例如：5◇8=4×5－8=12，如果已知a◇13=51，求a的值。

板书：

    a◇13＝4a－b＝4×a－13＝51

    a＝（51＋13）÷4＝16