（ 四年级 ）                                         备课教员：* * *

第十六讲    生活中的数学

一、教学目标：

知识目标

 在日常生活和生产中，我们经常会遇到类似于上面这样的问题，而解决这样问题的方法一般都是采用“递推法”解题。

能力目标

 递推法在解题中的应用十分广泛，递推法的特征是化难为易、化繁为简。

情感目标

    培养学生大胆猜想、积极思维的学习品质，体会数学思想方法在生活中的用途，激发学生学好数学的信心。

二、教学重点：

经历递推法的过程。

三、教学难点：

一步一步递推出原题的解答。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

【设计意图：由故事导入，引入生活中的数学问题，提高学生的学习兴趣。】

   今天可真是一个高兴的日子，我们的小米德已经10岁了，爸爸妈妈为米德和他的同学们准备了一个大蛋糕，但是在切蛋糕的时候，爸爸提出了一个问题：“米德，你竖切四刀，能不能让在场的11个人每人都有一块蛋糕吃。”

这下好了，数学迷小米德就一直在想怎样竖切四刀可以切出11块蛋糕，连生日都不想过了。

师：同学们，动动你们聪明的大脑，看看你是否能够切出来。

生：（学生尝试）

师：到底应该怎么去解决这个问题呢？相信学习了今天的内容你也可以做到。

【探究新知，引入新课：
　　以前没有接触过新的知识，在讲解时要多注意。】

【板书课题：生活中的数学】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（10分）

    欧拉的午餐是一块披萨，竖着切一刀可以把它分成两块，切两刀最多可把披萨分成4块，那么切8刀最多可以把披萨分成多少块？n刀呢？

讲解重点：通过列表，找出规律。

师：请仔细读题，然后告诉老师你发现什么有利的条件。

生：一块披萨，竖着切一刀可以把它分成两块，切两刀最多可把披萨分成4块。

师：老师不太相信，我们一起来试一试吧。

师：现在请大家拿出一张纸，然后画出一个圆，试一试，一刀到底可以切几块？

生：两块。

师：用算式表示就是1+1=2（块），如果让你切两刀呢？试一试。

生：切两刀可以切成四块。

师：用算式表示就为1+1+2=4（块），切三刀呢？

生：切三刀可以切成七块，算式表示就为1+1+2+3=7（块）。

师：切四刀可以切多少块？试一试。（用图形表示出来）

生：切四刀可以切成11块。算式表示就为1+1+2+3+4=11（块）。

（教师引导，学生操作）

师：观察这些切的块数，感觉是不是有什么规律呀？

生：是的。

师：为了更好的让大家明白，我们把这些算式填入一个表中，大家一起来观察一下，看看能否找到什么规律？

师：通过列表中的算式，可以发现切的次数与块数之间的关系：

1+1+2+3+……+次数=最多切成的块数。所以切8刀最多可以把披萨分成多少块？

生：1+1+2+3+…+8=37，最多可以把披萨分成37块。

师：切n刀呢？

生：（1+1+2+3+4+…+n）块。

板书：

答：切8刀最多可以把披萨分成37块，切n刀最多可以把披萨分成1+1+2+3+4+…+n块。

师：同学们都掌握了吗，我们来试下练习一吧。

练习1：（5分）

   卡尔将一块烧饼竖着切了14刀后，她最多可以切出多少块？

分析：

根据题意，可以用圆来代表披萨如下图，然后按照题意进行切分，列成表知道切一刀，可以切成两块，切两刀最多可以切成四块，切三刀最多可以切成七块，切四刀最多可以切成十一块，……通过列表中的算式，可以发现切的次数与块数之间的关系：1+1+2+3+……+次数=最多切成的块数，由此可解答。

板书：

    1+1+2+3+…+13+14=106（块）

  答：竖切了14刀后，她最多可以切出106块。

（二）例题2：（10分）

在一个10×10的网格中，画一条直线，最多可穿过几个方格？

讲解重点：动手操作，寻找规律。

师：题目的问题是什么？

生：让我们在网格中画一条直线，问最多可穿过几个方格。

师：你们有头绪吗？

生：没有。

师：例题一我们用了什么方法去解决那样的问题？

生：列表格，找规律。

师：所以例题二我们也可以列一个表格，然后动手试一试。

师：首先我们从小的开始，先穿过一个1×1的网格。试一试，并说说你有什么发现？

生：穿过一个1×1的网格，经过一个方格。

师：我们用表格记录下来，然后再来看看穿过一个2×2的网格呢？

生：穿过一个2×2的网格，最多经过3个方格。

师：穿过一个3×3的网格呢？

生：（学生尝试）发现最多经过5个方格。

师：穿过一个4×4的网格呢？

生：最多经过7个方格。

师：观察我们刚才填写的表格，你有什么发现？

生：它们之间是有联系的。

师：有什么规律呢？

师生共同小结：发现最多穿过的格数与边长数的关系是：边长数的2倍减1就

              是最多穿过的格数。

师：现在请你们解决一下在一个10×10的网格中，画一条直线，最多可穿过几

    个方格呢？

生：学生尝试解答。

板书

    10×2-1=19（个）

答：在一个10×10的网格中，画一条直线，最多可穿过19个方格。

练习2：（5分）

美术课上，米德画了好多方格，他想如果在这个边长为15个方格的正方形网格中画一条直线，这条直线最多能穿过几个方格呢？

分析：

根据题意，寻找规律；发现穿过的格数与边长数的关系是：边长数的2倍减1就是最多穿过的格数。

板书：

    15×2-1=29（个）

答：这条直线最多能穿过29个方格。

三、小结：（5分）

师：学习了本堂课，你有什么收获？

   切的次数与块数之间的关系：1+1+2+3+……+次数=最多切成的块数。

   穿过的格数与边长数的关系是：边长数的2倍减1就是最多穿过的格数。

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

【设计意图：谈话导入，引入到新课。】

师：同学们，在你们的生活中是不是总会遇到千奇百怪的数学问题呢？你可以

    和同学们分享你生活中遇到的数学问题吗？

生1：……

生2：……

生3：……

生4：……

师：同学们果然是好学的孩子，居然能发现这么多生活中的数学问题，这也告

    诉我们一定要学好数学。对吗？

生：对！

师：那这节课我们接着学习生活中的数学。  

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（10分）

    在天平的一边放砝码，另一边放物体，要求称出1～15克之间任意重量的物体（物体重量为整克数），至少应该准备几个不同克数的砝码各一个？各是多少克？（假设每种克数的砝码都有）

讲解重点：用排除法解题。

师：谁来把题目读一读？并说说我们的问题是什么？

生：让我们至少应该准备几个不同克数的砝码各一个？各是多少克？

师：让我们用天平称物体，并且要称出1～15克之间任意重量的物体，我们应

    该怎样拿砝码呢？

生：不知道。

师：那我们就一个个去尝试，先选1克和2克的砝码，这个两个砝码可以称出

    哪些物体的重量？

生：称出1克、2克的物品。

师：还能够称出别的重量吗？想一想？

生：1＋2=3（克），可以称出3种物体的重量。

师：可以称出了1、2、3克的物品了，然后要想称出多少克的物品呢？

生：称出4克的物体；

师：要想称出一个4克的物体，就必须怎么办？

生：再拿一个1克的物品。

师：我们观察题目我们可以知道要准备几个不同克数的砝码各一个，所以不能

    再出现1克的物品。

生：那么就需要一个4克的砝码了。

师：所以第三个砝码可以选4克。1、2、4克的砝码可以称出哪些物体的重量呢？

生：可以称出1，2，3，4，5，6，7克，可以称出1＋2＋4=7（种）物体的重量。

师：如果要称出8克的物体，应该怎么选择？

生：可以选一个8克的砝码。

师：所以第四个砝码是8克的砝码。1、2、4、8克的砝码可以后面的重量吗？

生：可以称出1克----15克的物体。称出1＋2＋4＋8=15（种）物体的重量。（学生自己去尝试）

师：所以可知需要的是1、2、4、8克的砝码各一个。

师：同学们，你们还能想到其他答案吗？

生：学生尝试。

板书：

     选1克和2克的砝码时，当天平的一端放1个砝码或2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，3克。

    选1克、2克和4克的砝码时，当天平的一端放1个砝码、2个砝码或3个砝码时，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，3克，4克，5克，6克，7克。

   选1克、2克、4克和8克的砝码时，当天平的一端放1个、2个、3个或4个砝码时，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克----15克。

  1＋2＋4＋8=15（种）

答：至少需要1、2、4、8克这四个砝码各一个。

练习3：（5分）

如果在天平的一边放砝码、一边放物体，要称出1～31克任意物体的重量，那么最少需要几个不同重量的砝码各一个，这几个砝码各是几克？

分析：

     根据题意，我们可以先选1克和2克的砝码，这两个砝码最多能分别称出1克、2克、1＋2=3（克），可以称出3种物体的重量，然后要想称出4克的物体，就需要一个4克的砝码了，所以第三个砝码可以选4克。1、2、4克的砝码可以称出：1＋2＋4=7（种）物体的重量；如果要称出8克的物体，可以选一个8克的砝码，1、2、4、8克的砝码可以称出：1＋2＋4＋8=15（种）物体的重量；如果要称出16克的物体，可以选一个16克的砝码，所以第五个砝码是16克的砝码，1、2、4、8、16克的砝码可以称出：1＋2＋4＋8+16=31（种）物体的重量；由此可知需要的是1、2、4、8、16克的砝码各一个。同学们，你们还能怎么想？

板书：

   1＋2＋4＋8+16=31（种）

答：最少需要1、2、4、8、16克这五个砝码各一个。

（二）例题4：（12分）

实验室里有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个，但是被调皮的卡尔藏了一个，导致现在无法称出9克和15克的重量了，那么被卡尔藏起来的砝码是哪个？

讲解重点：用排除法解决问题。

师：谁来把题目读一遍，然后说一说你发现哪些有利条件？

生：有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个。

生：卡尔藏了一个，导致现在无法称出9克和15克的重量了。

师：问题是什么？

生：问题是被卡尔藏起来的砝码是哪个？

师：卡尔藏了一个，导致现在无法称出9克和15克的重量了，那我们知不知道

    要想称出9克的重量，用原来实验室的砝码可以怎么称出来？

生：知道。

师：那试一试，看看有哪些可能。

生：根据原有的砝码知道9克=1克＋8克=16克-4克-2克-1克。

师：那想称出15克的呢？

生：15克=1克＋2克＋4克＋8克=16克-1克；

师：观察他们能够称出的可能，比较一下，你有什么发现？

生：都包含了一个1克的砝码。

师：所以如果我拿走那个1克的砝码，会怎么样？

生：就无法称出9克和15克的重量。

师：所以被卡尔藏起来的砝码是1克的砝码。明白了吗？

生：明白了。

板书：

  9克=1克＋8克=16克-4克-2克-1克。

  15克=1克＋2克＋4克＋8克=16克-1克；

答：被卡尔藏起来的砝码是1克的砝码。

练习4：（5分）

在2克、3克、6克、8克的砝码中有一个被弄掉了，导致现在称不出1克、3克、5克等重量的物体，那么掉了的是哪个砝码？

分析：

 根据题意知道是无法称出1克、3克、5克等重量的物体，那么根据原有的砝码知道1克=3克-2克=3克+6克-8克，3克=6克-3克=2克+3克+6克-8克

，5克=2克+3克=8克-3克；都有一个3克的砝码，所以被弄掉了的砝码是3克的砝码。

板书：

   1克=3克-2克=3克+6克-8克

   3克=6克-3克=2克+3克+6克-8克

   5克=2克+3克=8克-3克

答：掉了的砝码是3克的砝码。

例题5：（选讲）

假定一对刚出生的小兔两个月后就能长成大兔，再过两个月便能生下一对小兔，并且此后每两个月都生一对小兔，一年内没发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子？

讲解重点：抓住“新生小兔长大后，每两个月都生一对小兔”。

师：谁能读一下题，然后再来说一说你有哪些发现？

生：一对刚出生的小兔两个月后就能长成大兔，再过两个月便能生下一对小兔。

师：根据这个条件我们可以知道什么？

生：一对兔子过四个月就能够生下一对小兔。

师：还有什么发现吗？

生：此后每两个月都生一对小兔，一年内没发生死亡。

师：要求12个月后会有多少对兔子？一下子能够算出来吗？

生：一下子不能算出来。

师：数量太多不好算，所以我们应该想个办法，让它比较清楚的计算出来。

生：可以列表。

师：我们列出一个表格。

师：2个月的时候，有多少对兔子呢？

生：有1对大兔子。

师：4个月的时候，有多少对兔子呢？

生：1对能生的兔子，1对小兔子。

师：6个月的时候，有多少对兔子呢？

生：1对能生的兔子，1对大兔子，1对小兔子。

师：8个月的时候，有多少对兔子呢？

生：2对能生的兔子，1对大兔子，2对小兔子。

师：10个月的时候，有多少对兔子呢？

生：3对能生的兔子，2对大兔子，3对小兔子。

师：12个月的时候，有多少对兔子呢？

生：5对能生的兔子，3对大兔子，5对小兔子。

师：12个月后一共有多少对兔子？

生：一共有13对兔子。

板书：

答：12个月后一共有13对兔子。

练习5：（选做）

   假设一对刚出生的雌雄小狗过两个月就能生下一对雌雄小狗。以后每月生下一对雌雄小狗。如果欧拉养了初生的一对小狗，问：经过一年他有多少对小狗？

分析：

   根据题意，前两个月只有1对小狗；第三个月就有2对小狗（原来的一对+生下的一对）；第三个月就有3对（原来的一对又生下了一对）…，由此依次推理得出每一个月份的小狗对数，可以利用表格将1年的月份与相对应的小狗的对数，列成表格，由此即可解决问题。

板书：

   根据题干分析，可以推理得出每一个月的小狗的对数，如下图所示：

答：从上表中的数据可得：经过1年他有144对小狗。  

三、总结：（5分）

 学习了本堂课，你有什么收获？

  在解决问题时，把所有可能的情况不重复、不遗漏地一一列举出来。
  在这个过程中重复的和不合要求的要去除，遗漏的要找回来，称为筛选。 

四、随堂练习：

1. 米德想和21个同学分享他的生日蛋糕，他最少竖着切几次就可以每个人都能

   分到一块蛋糕？

板书：

     1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＝22（块）

答：他最少竖着切6次就可以每个人都能分到一块蛋糕。

2. 卡尔在一个正方形网格中画了一条直线，发现这条直线最多可以穿过9个方

   格，知道卡尔画的正方形的网格的边长吗？

板书：

    （9＋1）÷2＝5

答：卡尔画的正方形的网格的边长是5。

3. 用标有1克、2克、6克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物。如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数的重量共有多少种？

板书：

     当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克。

    当天平的一端放2个砝码时，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克。

    当天平的一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有9克。

    当天平的一端放1个砝码时，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克。

    当天平的一端放1个砝码时，另一端放2个砝码，可以称量重物的克数有3克，5克，7克。

去掉重复的克数后，可以称出的不同克数的重量共有9种。

答：可以称出的不同克数的重量共有9种。

4.    今有1克、2克、4克、8克、16克的五个砝码，因为丢了一个砝码，所以

  无法秤出7克、31克等的重量，试问丢了哪个砝码？还有哪些重量称不出来？

板书：

     31=16+8+4+2+1

      7=1+2+4=8-1=16-8-1=16-2-8+1=16+2-8-4+1=8-4+2+1=8-2+1

答：掉的是1克，不可以称出1克，3克，5克，9克，11克，13克，17克，19克，21克，23克，25克，27克，29克。

5.    将自然数1、2、3、4…按下图排列，在“2”处拐第一个弯，“3”处拐第二

   个弯，“5”处拐第三个弯…问拐第二十个弯的地方是什么数？

板书：

看第偶数个弯，第2个弯是3，第4个弯比第2个弯多4，第6个弯比第4个弯多6……依次类推，第20个弯比第18个弯多20，所以第20个弯应该是：

3+（4+6+8+10+…20）=111

    答：拐第二十个弯的地方是111。