云南省昆明师范专科学校附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题

昆明师专附中2022—2023学年上学期期末考试卷

高二数学

考试时间：120分钟  满分：150分

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设为等差数列的前n项和，若，则的值为（    ）

A．48 B．36 C．28 D．14

2．已知圆，则其圆心和半径分别为（    ）

A．，2 B．，2 C．， D．，

3．已知为正项等比数列，且，，则（    ）

A．8 B．9 C．12 D．18

4．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则实数m的值是（    ）

A．－4 B．2 C．4 D．8

5．已知平面，的法向量分别为，，且，则（    ）

A． B．1 C．－3 D．－5

6．已知椭圆C：的两个焦点分别为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ）

A．8 B．10 C． D．12

7．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

8．《周碑算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（    ）尺

A．1 B．1.25 C．1.5 D．2

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是（    ）

A．此人第一天走的路程比后五天走的路程之和多六里

B．此人第三天走了二十四里

C．此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍

D．此人第二天走的路程占全程的

10．已知双曲线C过点且渐近线，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（    ）

A．双曲线C的离心率为2  B．双曲线C的方程是

C．的最小值为2  D．直线与C有两个公共点

11．已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ）

A．若，则为等差数列

B．若，则为等比数列

C．若为等差数列，则为等比数列

D．若为等差数列，，则

12．已知是各棱长均等于1的正三棱柱，D是侧棱的中点，下列结论正确的是（    ）

A．AC与平面所成的角的正弦值为 B．平面与平面所成的角是60°

C．  D．平面平面

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．点到直线l：的距离为______．

14．等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则数列的前6项的和为______．

15．如图所示，在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为______．

16．椭圆的两个焦点为、，过作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则______．

四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）的三个顶点分别为，，．

（1）求的外接圆M的方程；

（2）设直线l：与圆M交于P，Q两点，求的值．

18．（12分）已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

19．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，且，E为PD中点．

（1）求证：平面ABCD；

（2）求PC与平面ACE所成角的正弦值．

20．（12分）已知动点M到点的距离与它到直线的距离相等．

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）过点作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程．

21．（12分）已知数列是等差数列，是的前n项和，，______．

从①，②中任选一个，补充在上面的问题中并作答．

（1）判断2022是否是数列中的项，并说明理由；

（2）求的最小值．

22．（12分）已知椭圆C：过点，且与双曲线有相同的焦点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上异于A的两点，且满足，试判断直线MN是否过定点，并说明理由．

昆明师专附中2022—2023学年上学期期末考试卷答案

高二数学

一、单项选择题（1-8是单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题5分，共40分）

二、多项选择题（9-12是多项选择题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分，共20分）

（选择题共60分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．）

13．2  14．－24  15．  16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．

【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入三个点的坐标，求解D、E、F的值，则圆的方程可求；

（2）化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由垂径定理求弦长．

【解答】解：（1）设的外接圆M的方程为，

则，解得．

∴的外接圆M的方程为；

（2）由（1）得圆M：，即．

圆心，半径，圆心到直线的距离，

∴．

18．【分析】（1）根据条件列方程，求出公差，再得到通项公式即可；

（2），利用分组求法求和即可．

【解答】解：（1）∵，，是公比为2的等比数列，

∴，∴公差，

∴，；

（2），

∴．

19．【分析】（1）由已知证明平面PAB，得，同理，再由直线与平面垂直的判定可得平面ABCD；

（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的一个法向量与的纵坐标，由两向量所成角的余弦值可得PC与平面ACE所成角的正弦值；

【解答】（1）证明：四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，则，

∵，，∴，

又，∴平面PAB，

∵平面PAB，∴，同理，，

∵，∴平面ABCD；

（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

设平面ACE的一个法向量，

则，取，得，

又，

则PC与平面ACE所成角的正弦值为．

20．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；轨迹方程；直线与抛物线的综合．

【分析】（1）设，列出关系式，求解轨迹方程即可．

（2）设切线的方程为：，与抛物线方程联立，求出，，得到切线方程．

解法二：（1）同解法一．

（2）利用函数的导数求解切线的斜率，切线切点坐标，得到切线方程．

【解答】解法一：（1）设，则，

解得．所以该抛物线的方程为；

（2）依题意，切线的斜率存在，设切线的方程为：，

与抛物线方程联立，得，

令，得或．

从而或，解得或，

所以切点，，

直线AB的斜率为，

所以直线AB的方程为，整理得．

解法二：（1）同解法一．

（2）由可得，所以，

设切点为，则切线的斜率．

又切线过点，所以，整理得，

解得或，所以切点的坐标为，，

所以直线AB的斜率为，

所以直线AB的方程为，整理得．

21．【解答】解：若选①，

（1）设公差为d，则，解得．

所以．

令，得，所以2022不是数列中的项．

（2）令，解得．所以当时，．

故当时，取到最小值，为．

若选②，

（1）设公差为d，则，解得．

所以．

令，解得，所以2022是数列的第1017项．

（2）令，得．所以当时，．

故当或时，取到最小值，为．

22．【考点】直线与圆锥曲线的综合．

【分析】（1）根据题意可得双曲线的，又椭圆过点，得，则，即可得出答案．

（2）分两种情况：当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为，联立椭圆的方程，又，解得；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，，，联立直线MN与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由于，得，写出直线MN的方程为，化简即可得出答案．

【解答】解：（1）因为双曲线的方程为，所以，

因为椭圆过点，所以，所以，

所以椭圆C的方程为．

（2）当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为，

联立，解得，

因为，所以，解得，

所以直线MN的方程为．

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，，

联立，得，

所以，，

因为，所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，所以，

所以，

所以直线MN的方程为，

所以，所以直线MN过定点，

综上所述，直线MN过定点．