云南省昆明师范专科学校附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

昆明师专附中2022-2023学年上学期期中考试卷

高二数学

考试时间：120分钟     满分：150分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点与点，则的中点坐标是（    ）

A．     B．     C．     D．

2．圆的半径为（    ）

A．1     B．     C．2     D．4

3．直线的倾斜角（    ）

A．     B．     C．     D．

4．圆与圆的位置关系是（    ）

A．内切     B．外切     C．相离     D．相交

5．已知椭圆的焦距为8，且，则该椭圆的标准方程是（    ）

A．     B．或

C．     D．或

6．“”是“直线与直线平行”的（    ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件     C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

7．四面体中，，点M在线段上，且，N为中点，则为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．椭圆上一点4关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（    ）

A．     B．     C．     D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在年小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。

9．已知直线l经过点，且点到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（    ）

A．     B．     C．     D．

10．如图，在正方体中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为的中点，F为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是（    ）

A．     B．     C．     D．

11．对于直线，下列说法正确的是（    ）

A．直线l斜率必定存在          B．直线l恒过定点

C．时直线l的倾斜角为     D．时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为

12．设椭圆的左、右焦点分别为，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．             B．离心率

C．面积的最大值为     D．以线段为直径的圆与直线相切

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上。）

13．向量，则则___________；

14．过点且与直线平行的直线方程为___________；

15．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆过焦点的弦，则的周长是___________；

16．已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是___________．

四、解答题（本题满分70分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。）

17．（本小题满分10分）

已知直线．

（Ⅰ）若，求实数a的值；

（Ⅱ）当时，求直线与之间的距离．

18．（本小题满分12分）

已知三点在圆C上，直线，

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系：若相交，求直线l被圆C截得的弦长．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面，点M是棱上一点，且．

（Ⅰ）若，求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

20．（本小题满分12分）

已知椭图的两焦点为，离心率．

（Ⅰ）求此椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且等于椭圆的短轴长，求m的值．

21．（本小题满分12分）

如图，已知点P在正方体的对角线上，．

（Ⅰ）求与所成角的大小；

（Ⅱ）求与平面所成角的大小．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆过点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

昆明师专附中2022-2023学年上学期期中考试卷答案

高二数学

一、单项选择题（1-8是单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题5分，共40分）

二、多项选择题（9-12是多项选择题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分，共20分）

（选择题共60分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上。）

13．    14．    15．16    16．3

四、解答题（本题满分70分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。）

17．解：（1）由知

解得．

（2）当时，有,

解得．

此时，即，

则直线与之间的距离．

18．解：（1）设圆C的方程为：，

由题意得：，

消去F得：，解得：，

∴，

∴圆C的方程为：．

（2）由（1）知：圆C的标准方程为：，圆心，半径；

点到直线l的距离；

由知：直线l与圆C相交；

直线l被圆C截得的弦长为：．

19．（1）证明：∵在四棱锥中，平面，

∴以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

∵点M是棱上一点，，，．

∴，

，

设平面的法向量，

则，取，得，

∵平面，∴平面．

（2），

设平面的法向量，

则，取，得，

平面的法向量，

设二面角的平面角为，

则，

∴二面角的正弦值为．

20．解：设椭圆方程为，则，

∴∴所求椭圆方程为．

（2）由，消去y，得，

则得（*）

设，则，

．

解得，满足（*）∴．

21．解：如图，以D为原点，为单位长建立空间直角坐标系．

则．连结．

在平面中，延长交于H．

设，由已知，

由

可得．解得，所以．

（Ⅰ）因为，

所以．即与所成的角为．

（Ⅱ）平面的一个法向量是．

因为，所以．

可得与平面所成的角为．

22．解：（1）由己知点代入椭圆方程得，

由得可转化为，

由以上两式解得

所以椭圆C的方程为：．

（2）存在这样的直线．

①当直线l的斜率不存在时，显然不满足,

②当直线l的斜率存在时，设所求直线方程

联立整理得：

①，②

，

设所求直线与椭圆相交两点，

由已知条件可得③，

综合上述①②③式子可解得符合题意，

所以所求直线l的方程为：．