2023-2024学年云南省昆明市云南师范大学附属中学高二上学期第二次月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省昆明市云南师范大学附属中学高二上学期第二次月考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x∈Zx2+3x−4≤0，B=xx=2n,n∈Z，则A∩B=( )
A. 0,2,4B. −1,1,3C. −4,−2,0D. −3,−1,1
2.复数z=1+ai3−i的虚部是实部的2倍，则实数a=( )
A. 1B. 3C. 5D. 7
3.已知椭圆x210−t+y2t−4=1的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为
( )
A. 55B. 2 55C. 12D. 33
4.经过点A4,3，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l有
条．( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.“a2+b2>1”是“直线ax+by+2=0与圆x2+y2=1相交”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知空间三点A1,0,3，B−1,1,4，C2,−1,3，若AP//BC，且AP⇀= 14，则点P的坐标为
( )
A. 4,−2,2B. −2,2,4
C. 4,−2,2或−2,2,4D. −4,2,−2 或2,−2,4
7.已知函数fx=sinωx+π3在x=π时有最大值，且fx在区间0,π18上单调递增，则ω的最大值是
( )
A. −116B. 16C. 136D. 196
8.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知PA=3AB，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为
( )
A. 32B. 34C. 55D. 74
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为2,6,8,3,3,4,6,8，关于该组数据，下列说法正确的是
( )
A. 中位数为3B. 极差为6C. 第40百分位数为4D. 方差为4.75
10.下列说法正确的是( )
A. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是0,π4∪3π4,π
B. 点0,2关于直线y=x+1的对称点为1,1
C. 过点1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为x−y+1=0
D. 直线l的方向向量为−1, 3，则该直线的倾斜角为120∘
11.已知a>0,b>0，两直线l1:(a−2)x+y−1=0,l2:x+2by+1=0，且l1⊥l2，则下列说法正确的是
( )
A. a+2b=2B. a+2b=1
C. 1a+2b的最小值为92D. 1a+2b的最小值为9
12.已知O为坐标原点，椭圆C：x216+y29=1的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在C上，且PO=OQ，则下列说法正确的是( )
A. △PQF2周长的最小值为14B. 四边形PF1QF2可能是矩形
C. 直线PB，QB的斜率之积为定值−916D. △PQF2的面积最大值为3 7
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数fx=a⋅ex−e−x是奇函数，则a=__________．
14.若直线l过点A(1,2)且与2x+y−2=0平行，则直线l的一般方程为__________．
15.已知椭圆：y29+x2=1，过点P12 , 12的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为 ．
16.点(x,y)在曲线y= 4−x2−2上，则|3x−4y+4|的 取值范围为__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
在▵ABC中，设A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足bcsA−acsB=a+c．
(1)求角B；
(2)若b=5,a+c=112，求▵ABC的面积．
18.(本小题12.0分)
某市在创建国家级卫生城(简称“创卫”)的过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作的满意程度，若市民满意指数(满意指数=满意程度平均分100)不低于0.8，“创卫”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了100名市民，根据这100名市民对“创卫”工作满意程度给出的评分，分成[40,50),[50,60)，[60,70),[70,80)，[80,90),[90,100]六组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值；
(2)为了解部分市民给“创卫”工作评分较低的原因，该部门从评分低于70分的市民中用分层抽样的方法随机选取8人进行座谈，求应选取评分在[50,60)的市民人数；
(3)假设同组中的每个数据用该组的中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
19.(本小题12.0分)
已知圆C过点M(−3,2)，圆心C在直线x−y+3=0上，且圆C与x轴相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点P(2,3)的直线l与圆C相交于A、B两点，若△ABC为直角三角形，求直线l的方程．
20.(本小题12.0分)
与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是23，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是115.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是35，各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
21.(本小题12.0分)
如图甲，在直角梯形ABCD中，AD//BC,∠BAD=π2,AB=BC=2,AD=4,E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将▵ABE沿BE折起到▵A1BE.的位置，如图乙．

(1)证明：CD⊥平面A1OC.；
(2)若二面角A1−BE−C为直二面角，求直线A1D与平面A1BC所成角的正弦值．
22.(本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点P到两个焦点的距离之和为8，且离心率为 32．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M(2,1)作直线l交椭圆于A，B两点，点M为线段AB的中点，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得．
解：由不等式 x2+3x−4≤0 ，得 x+4x−1≤0 ，解得 −4≤x≤1 ，
因此 A=1,0,−1,−2,−3,−4 ，而 B=xx=2n,n∈Z ，
所以 A∩B=−4,−2,0 ．
故选：C
2.【答案】D
【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法化简复数 z ，再根据虚部与实部的关系得到方程，解得即可．
解：因为 z=1+ai3−i=3+a+3a−1i ，
又 z 的虚部是实部的 2 倍， ∴3a−1=23+a ，解得 a=7 ．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据椭圆的焦点在 y 轴上，焦距为4，结合a，b，c之间的关系以及离心率公式可得答案．
解：由题得 t−4>10−t>0 ，即 7由焦距为4得 t−4−10−t=4 ，解得 t=9 ，
可得椭圆方程为 x2+y25=1 ，所以 b=1,a= 5 ， c2=5−1=4 ，
所以离心率为 2 5=2 55 ．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【分析】讨论直线在两坐标轴上的截距是否为0，结合直线的截距式方程求解，即可得答案．
解：若直线经过原点，则 y=34x ，在坐标轴上的截距均为0，符合题意，
若截距均不为0，则设直线方程为 xa+ya=1a≠0 ，将 A4,3 代入得 4a+3a=1,∴a=7 ，
此时直线方程为 x7+y7=1 ，符合题意；
即经过点 A4,3 ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 有2条
故选：C．
5.【答案】B
【解析】【分析】先求出直线与圆相交的充要条件，结合四种条件的定义可得答案．
解：直线 ax+by+2=0 与圆 x2+y2=1 相交 ⇔d=2 a2+b2<1⇔a2+b2>4 ，
显然， a2+b2>1 推不出 a2+b2>4 ，而 a2+b2>4 可推出 a2+b2>1 ，故是必要不充分条件．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】设 P 点坐标，由 AP//BC 可解出 P 坐标，再用空间向量模长公式即可．
解：设 Px,y,z ，则 AP=x−1,y,z−3 ， BC=3,−2,−1 ，
因为 AP//BC ，所以 AP=λBC=3λ,−2λ,−λ ， x−1=3λy=−2λz−3=−λ ， x=3λ+1y=−2λz=−λ+3 ，
所以 P3λ+1,−2λ,−λ+3 ，又 AP⇀= 14 ， 3λ2+−2λ2+−λ2= 14
解得 λ=1 或 λ=−1 ，所以 P4,−2,2 或 −2,2,4 ，
故选：C
7.【答案】C
【解析】【分析】先根据最值可得 ω=16+2k,k∈Z ，结合单调性可得答案．
解： fx 在 x=π 时取得最大值，即 sinωπ+π3=1 ，可得 ωπ+π3=π2+2kπ,k∈Z ，
所以 ω=16+2k,k∈Z ，
因为要求 ω 的最大值，所以这里可只考虑 ω>0 的情况，
又因为 fx 在 0,π18 上单调递增，所以 ωπ18+π3≤π2 ，解得 0<ω≤3 ，
当 k=1 时， ω=136 ，所以 ω 的最大值为 136 ，
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】设 AB=x ， x>0 ，根据已知结合图形，得出 a,b ，然后求出 c ，即可得出答案．
解：由题意知 PA 与 PB 的长度不变，
已知 PA=3AB ，设 AB=x ， x>0 ，则 PA=3x ，
当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长 b=3x ；
又由已知可得，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长 a=4x ．
所以， c= a2−b2= 7x
故离心率为 e=ca= 7x4x= 74 ．
故选：D．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】根据中位数、极差、百分位数、方差的概念及求解方法可得答案．
解：将这组数据从小到大排列为2,3,3,4,6,6,8,8，所以中位数为4+62=5，故 A错误；
极差为8−2=6，故 B正确；
因为数据共有8个，所以8×40%=3.2，所以第40百分位数是4，故C正确；
设平均数为x，方差为s2，则x=18×2+3+3+4+6+6+8+8=5，
s2=18×(2−5)2+(3−5)2+(3−5)2+(4−5)2+(6−5)2+(6−5)2+(8−5)2+(8−5)2=4.75，故 D正确，
故选：BCD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系、关于直线对称的性质、方向向量的定义逐一判断即可．
解：对A：直线xsinα+y+2=0的倾斜角为θ，则tanθ=−sinα∈−1,1，
因为0≤θ<π，所以0,π4∪3π4,π，故 A正确；
对B：点0,2和1,1的中点12,32在直线y=x+1上，且连线的斜率为2−10−1=−1，
可得与直线y=x+1垂直，所以点0,2关于直线y=x+1的对称点为1,1，故 B正确；
对C：设直线与x轴交点为a,0，则与y轴交点为0,−a，
当a=0时，直线过原点，斜率为2−01−0=2，故方程为2x−y=0；
当a≠0时，直线的斜率−a−00−a=1，故直线方程为y−2=x−1，
即x−y+1=0，故 C错误；
对D：设直线l的倾斜角为α，则tanα= 3−1=− 3，
又因为0∘≤α<180∘，故α=120∘，故 D正确，
故选：ABD．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于中档题．
由题意利用两条直线垂直的性质，求得a+2b=2，利用基本不等式求得最小值．
【解答】
解：∵a>0，b>0，两直线l1:(a−2)x+y−1=0，l2:x+2by+1=0，且l1⊥l2，
∴(a−2)+2b=0，即a+2b=2，
所以1a+2b=12(1a+2b)(a+2b)=125+2ba+2ab⩾125+2 2ba·2ab=92，
当且仅当2ba=2ab即a=b=23时取等号，
则1a+2b的最小值为92．
故选AC．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的性质，同时还涉及了直线的斜率以及三角形的面积等知识，考查运算求解能力，属中档题．
由椭圆的性质逐一判断即可得解．
【解答】
解：由PO=OQ，可知P，Q关于原点对称，而F1、F2关于原点对称，故四边形PF1QF2是平行四边形，
对于A.根据椭圆的对称性，|PQ|+|PF2|+|QF2|=|PQ|+|PF2|+|PF1|=|PQ|+8，
当PQ为椭圆的短轴时，|PQ|有最小值6，
所以△PQF2周长的最小值为14，正确;
对于B.因为tan∠F1AO=cb= 73<1，所以∠F1AO<π4，
则∠F1AF2<π2，故椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2=π2，
又四边形PF1QF2是平行四边形，所以四边形PF1QF2不可能是矩形，故B不正确．
对于C.由题意得B(4,0)，设P(x,y)，则Q(−x,−y)，
所以kPB⋅kQB=yx−4⋅−y(−x)−4=y2x2−16=9(1−x216)x2−16=−916，故C正确;
对于D，设△PF2Q的面积为S=12|OF2|·|yP−yQ|≤12⋅ 7⋅6=3 7，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】1
【解析】【分析】利用奇函数的定义可求答案．
解：因为fx=a⋅ex−e−x，故f−x=a⋅e−x−ex，
因为fx为奇函数，故f−x=−fx，a⋅ex−e−x=−a⋅e−x−ex，整理得到a−1ex−e−x=0，解得a=1．
故答案为：1
14.【答案】2x+y−4=0
【解析】【分析】依题知斜率和点，写出点斜式方程，最后化为一般方程．
解：因为直线2x+y−2=0的斜率是：k=−2，且直线l与2x+y−2=0平行，∴直线l的斜率也为−2，故直线l的方程是：y−2=−2(x−1)，整理得2x+y−4=0．
故答案为：2x+y−4=0
15.【答案】9x+y−5=0
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程，圆锥曲线的中点弦公式，直线的点斜式公式，考查“点差法”的应用，属于中档题．
由A，B在椭圆上，则y129+x12=1y229+x22=1，两式相减：(y1+y2)(y1−y2)9+(x1+x2)(x1−x2)=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=1，y1+y2=1，即可求得直线的斜率k=y1−y2x1−x2=−9，利用点斜式方程，即可求得直线AB的方程．
【解答】
解：已知椭圆：y29+x2=1，过点(12,12)的直线与椭圆相交于A，B两点，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)
则：y129+x12=1y229+x22=1，两式相减：(y1+y2)(y1−y2)9+(x1+x2)(x1−x2)=0，
∵P(12,12)是A、B的中点，
由中点坐标公式可知：x1+x2=1，y1+y2=1
∴k=y1−y2x1−x2=−9，
则直线AB的方程为：y−12=−9(x−12)
整理得：9x+y−5=0，
故答案为：9x+y−5=0．
16.【答案】[2,18]
【解析】【分析】由题意，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果．
解：如图，曲线y= 4−x2−2为圆x2+(y+2)2=4的上半圆，圆心A0,−2，半径为2，B2,−2，
|3x−4y+4|表示点(x,y)到直线3x−4y+4=0距离的5倍．
由点到直线的距离公式得AD=125>2，BC=185，
所以直线3x−4y+4=0与圆相离，
|3x−4y+4|最大值为5(AD−2)=2
|3x−4y+4|最小值为5BC=18
则|3x−4y+4|的取值范围为[2,18]．
故答案为：[2,18]．
17.【答案】解：(1)因为bcsA−acsB=a+c，
由余弦定理得b⋅b2+c2−a22bc−a⋅a2+c2−b22ac=a+c，
即a2+c2−b2=−ac,
所以csB=a2+c2−b22ac=−12.又B∈0,π，
所以B=2π3．
(2)由余弦定理得：a2+c2−25=−ac，则(a+c)2=25+ac，
∵a+c=112，解得ac=214，
所以S▵ABC=12×214× 32=21 316

【解析】【分析】(1)由余弦定理化简已知式即可得出答案；
(2)由余弦定理求出ac的值，再由三角形的面积公式即可得出答案．
18.【答案】解：(1)依题意得：(2x+0.015+0.02+0.025+0.03)×10=1， 得x=0.005；
(2)由频率分布直方图知，评分在[40,50)的市民人数为100×0.005×10=5；
评分在[50,60)的市民人数为100×0.015×10=15；
评分在[60,70)的市民人数为100×0.02×10=20.
故应选取评分在[50,60)的市民人数为155+15+20×8=3；
(3)由频率分布直方图可得满意程度平均分为
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72，
则满意指数=72100=0.72<0.8.
故该市“创卫”工作需要进一步整改．
【解析】本题考查了频率分布直方图，平均数的计算，分层随机抽样，属于基础题．
(1)依题意得：(2x+0.015+0.02+0.025+0.03)×10=1， 得x的值；
(2)由频率分布直方图，可得出评分在[40,50)，[60,70)和[60,70)的市民人数，进而得出结果；
(3)由频率分布直方图可得满意程度平均分，得出满意指数，得出结果．
19.【答案】解：(1)由题意，设圆心C(a,a+3)，半径为r，由于圆C与x轴相切，
∴r=a+3，
∴圆C的标准方程为(x−a)2+(y−a−3)2=(a+3)2，
又圆C过点M(−3,2)，则(−3−a)2+(2−a−3)2=(a+3)2，
解得a=−1，
∴圆C的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=4；
(2)由圆C方程易知直线l的斜率存在，
故设l:y−3=k(x−2)，即l:kx−y+3−2k=0，
设圆心C(−1,2)到直线l的距离为d，
则d=|−k−2+3−2k| k2+1=|1−3k| k2+1，
∵△ABC为直角三角形，∴|AB|=2 2，
∴2 4−d2=2 2，解得d= 2，
∴|1−3k| k2+1= 2⇒7k2−6k−1=0⇒k=1或k=−17，
故直线l的方程为x−y+1=0或x+7y−23=0．
【解析】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，点到直线的距离，是中档题．
(1)由已知，设圆心C(a,a+3)，再利用圆C与x轴相切，写出半径，代入M点，则圆C的方程可求；
(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y−3=k(x−2)，即kx−y+3−2k=0，由题意得|AB|=2 2，圆心到直线的距离为d= 2，利用点到直线的距离公式求解k，则直线l的方程可求．
20.【答案】解：(1)记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则 P(A)=23 ， P(A)P(C)=115 ， P(B)P(C)=35 ，
即 [1−P(A)][1−P(C)]=115 ， P(B)P(C)=35 ，
所以 P(B)=34 ， P(C)=45 ，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为 34 ， 45 ．
(2)有3个家庭回答正确的概率为
P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=23×34×45=25 ，
有2个家庭回答正确的概率为
P2=P(ABC+ABC+ABC)=13×34×45+23×14×45+23×34×15=1330 ，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率 P=P2+P3=1330+25=56 ．

【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，属于中档题．
(1)根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；
(2)利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案．
21.【答案】解：(1)证明：在图甲中，因为AD//BC,AB=BC=2,AD=4,E是AD的中点，∠BAD=π2，
故四边形ABCE为正方形，所以BE⊥AC，
即在图乙中，BE⊥OA1,BE⊥OC，
又OA1∩OC=O,OA1,OC⊂平面A1OC，
所以BE⊥平面A1OC．
又BC//DE,BC=DE，所以四边形BCDE是平行四边形，
所以CD//BE，所以CD⊥平面A1OC

(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
又由(1)知，BE⊥OA1,BE⊥OC，
所以∠A1OC为二面角A1−BE−C的平面角，
所以OC⊥OA1，
如图所示，以O为原点，分别以OB,OC,OA1所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，

A10,0, 2,B 2,0,0,C0, 2,0,D−2 2, 2,0，
设平面A1BC的一个法向量为n1=x,y,z，
因为A1B= 2,0,− 2,A1C=0, 2,− 2，
∴n1⋅A1B= 2x− 2z=0,n1⋅A1C= 2y− 2z=0,
令z=1,∴x=1,y=1，
故平面A1BC的一个法向量为n1=1,1,1，
又A1D=−2 2, 2,− 2，
设直线A1D与平面A1BC所成角的平面角为θ，
从而sinθ=cs=n1⋅A1Dn1⋅A1D=2 2 3×2 3= 23，
故直线A1D与平面A1BC所成角的正弦值为 23．

【解析】【分析】(1)由线面垂直的判定定理证明即可；
(2)以O为原点，分别以OB,OC,OA1所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A1BC的法向量和直线A1D的方向向量，由线面角的向量公式求解即可得出答案．
22.【答案】解：(1)由椭圆的定义知，2a=8，∴a=4，
又∵椭圆的离心率e=ca= 32，∴c=2 3，
∴b2=a2−c2=16−12=4，
∴椭圆C的标准方程为x216+y24=1．
(2)∵M(2,1)为椭圆x216+y24=1内一点，∴直线l与椭圆必交于A，B两点，
设Ax1,y1，Bx2,y2，当x1=x2时，不合题意，故x1≠x2，
∵M2,1为线段AB的中点，∴x1+x22=2y1+y22=1,∴x1+x2=4y1+y2=2,
又∵A，B均在椭圆上，∴x1216+y124=1x2216+y224=1,
两式相减，得x12−x2216+y12−y124=0，即x1+x2x1−x216=−y1+y2y1−y24，
∴4x1−x216=−2y1−y24，∴y1−y2x1−x2=−12，即kAB=−12，
∴直线l的方程为y−1=−12(x−2)，即x+2y−4=0．

【解析】【分析】(1)由已知条件和椭圆定义求出a，再由离心率求出c，根据b2=a2−c2求出b2，即可求得椭圆C的标准方程；
(2)使用点差法进行求解即可．