九年级上册数学第22章 二次函数专题20 二次函数与相似三角形存在性问题

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专题20 二次函数与相似三角形存在性问题解题点拨【问题描述】在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【基本定理】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了． 直击中考1．如图，设抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，顶点记为点．且．(1)求的值和抛物线的解析式；(2)已知过点A的直线交抛物线于另一点．若点在轴上，以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，的外接圆半径等于　　．（直接写答案）
2．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2022·辽宁·统考中考真题）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；(3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．
4．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．
5．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
6．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．
7．（2023秋·上海浦东新·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，．(1)求该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长；(3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标
8．如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、、三点．(1)填空：，　 　、　 　，　 　、　 　，　 　；(2)求抛物线的函数关系式；(3)为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2022春·全国·九年级专题练习）已知：如图，，，点的坐标为，抛物线过、、三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点作交抛物线于点，求四边形的面积；(3)在轴上方轴左侧的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、、三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，一次函数的图象与二次函数图象的对称轴交于点．(1)写出点的坐标　     　；(2)将直线沿轴向上平移，分别交轴于点、交轴于点，点是该抛物线与该动直线的一个公共点，试求当的面积取最大值时，点的坐标；(3)已知点是二次函数图象在轴右侧部分上的一个动点，若的外接圆直径为，试问：以、、为顶点的三角形与能否相似？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
11．已知抛物线与轴交于，两点，（在的左侧），与轴交于，若，且．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；(3)在抛物线上是否存在一点，过作轴于，以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为．(1)求抛物线的解析式；(2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；(3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2022春·全国·九年级专题练习）已知，如图二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，点，抛物线的对称轴为，直线交抛物线于点．(1)求二次函数的解析式并写出点坐标；(2)点是中点，点是线段上一动点，当和相似时，求点的坐标．
14．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交点(1)求抛物线的解析式以及顶点的坐标；(2)若是线段的中点，连接，猜想线段与线段之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想；(3)在坐标轴上是否存在点，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，平面直角坐标系中，点、、在轴上，点、在 轴上，，，，直线与经过、、三点的抛物线交于、两点，与其对称轴交于．点为线段上一个动点（与、不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点．(1)求经过、、三点的抛物线的解析式；(2)是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2022秋·湖南郴州·九年级校考期末）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的右边），交轴于点．点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点E．(1)求，两点的坐标；(2)求线段的最大值；(3)如图2，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．