九年级上册数学第22章 二次函数专题15 二次函数与矩形存在性问题

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专题15 二次函数与矩形存在性问题
解题点拨
【基本定理】
矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；
（2）对角线相等的平行四边形；
（3）有三个角为直角的四边形．
【题型分析】
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
（AC为对角线时）
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．
题型如下：
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；
（2）1个定点+3个半动点．

【解析思路】
思路1：先直角，再矩形
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．

引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．

【分析】
点C满足以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C有、、、
在点C的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D的坐标．

【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．

思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：

其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．

无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．

引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在坐标系中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．

【分析】
设C点坐标为（a，0），D点坐标为（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．
先考虑平行四边形存在性：
（1）AB为对角线时，，满足此条件的C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，另外AB=CD，得：，
综合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．
（2）AC为对角线时，，另外AC=BD，得，综合以上可解得：．故C、D．
（3）AD为对角线时，，另外AD=BC，得，
综合以上可解得：．故C、D．
【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算．

直击中考
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC， ，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为()或( )或( )或()

【分析】（1）利用对称轴为，求出a的值，再利用，且点A在轴负半轴上，求出点A的坐标，再求出c的值即可．
（2）当为矩形的边，为矩形的边，为矩形的对角线时， 分别求出点P的坐标，做到不重不漏．
【详解】（1）抛物线的对称轴为，
，
，
，且点A在轴负半轴上，
，
将点代入得：，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设点的坐标为， 则，
由题意，分以下三种情况：
①当为矩形的边时，则，

∴，
解得
即；
②当为矩形的边时，则，

∴，
解得
即；
③当为矩形的对角线时，则，
，
即，
解得或，
或；
综上分析可知，点P的坐标为()或( )或( )或()．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数解析式、矩形的性质等知识点，较难的是题（2），分三种情况讨论是解题关键．
2．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)存在，或或或

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标；
（3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）设直线AB的解析式为：，
∵直线AB经过，，
∴，
∴，
∴直线AB的表达式为．

∵轴，可设，，其中．
当M在N点上方时，．
解得，（舍去）．
∴．
当M在N点下方时， ．
解得，．
∴，．
综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．
理由如下：
①如图，若AC是四边形的边．

当时，
∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，
∵，，
∴，，．
∵，
∴．
∴．
∴点与点D重合．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
此时直线的解析式为．
∵直线与平行且过点，
∴直线的解析式为．
∵点是直线与拋物线的交点，
∴．
解得，（舍去）．
∴．当时，四边形是矩形．
∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
②如图，若AC是四边形的对角线，

当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．
可得，．
∴．
∴．
∴．
∵点P不与点A，C重合，
∴和．
∴．
∴．
∴如图，满足条件的点P有两个．即，．

当时，四边形是矩形．
∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．
∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．
∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．
综上，满足条件的点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键．
3．如图，若二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接．

(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或

【分析】（1）将、代入，联立方程组，求出、的值，即可得出该二次函数的解析式；
（2）设，当时，过点作轴交点，过作轴交点，证明，得到，则，所以；当时，设与轴的交点为，与轴的交点为，过点作轴交点，过作轴交点，证明，则有，求得，则，可求，综合即可得出K点的坐标．
（1）
解：把、代入，
可得：，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
（2）
解：存在，理由如下：
设，
当时，如图1，
∵矩形是以为边，
∴，，，
过点作轴交点，过作轴交点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
当时，如图2，
∵矩形是以为边，
∴，，，
设与轴的交点为，与轴的交点为，
过点作轴交点，过作轴交点，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
综上所述，K点的坐标为或．

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
4．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，B两点．

(1)求a，k的值及点B的坐标；
(2)在抛物线上求点P，使△PAB的面积是△AOB面积的一半；（写出详细解题过程）
(3)点M在抛物线上，点N在坐标平面内，是否存在以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)，，B的坐标为
(2)，，，
(3)，，

【分析】（1）根据待定系数法即可求得a，k的值，解析式联立，解方程组即可求得B的坐标；
（2）设直线与y轴的交点为G，则，利用求得的面积．过点P作交直线于点C，设，分两种情况列方程求解即可；
（3）分为矩形的边和为矩形的对角线利用勾股定理列方程求解．
（1）
解：∵过点，
∴，解得，
∵一次函数的图象相过点，
∴，解得；
解得或，
∴B的坐标为；
（2）
解：设直线与y轴的交点为G，则，
∴．
过点P作交直线于点C，
设，则，
当点C在点P的右侧时，

，
∴，
解得，，
，，
当点C在点P的左侧时，

，
∴，
解得，，
，，
综上可知，，，，．
（3）
解：设，
则，
，
．
当为矩形的边的边时，

由题意得
，
整理得，
解得，（与A重合，舍去）
∴．
当为矩形的对角线时，

由题意得

整理得，
解得，，（与B重合，舍去），（与A重合，舍去）
∴，，
综上可知：，，．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
5．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，过点作轴与抛物线交于另一点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点是轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或

【分析】（1）把点，点代入抛物线，求出b，c的值即可．
（2）当为矩形的边，为矩形的对角线时， 分别求出点N的坐标，做到不重不漏．注意为对角线这种情况不存在．
【详解】（1）将，代入抛物线，
得
解得
∴抛物线的表达式为；
（2）存在，点的坐标为或．
理由如下：
如图2，过点作轴的垂线交的延长线于点，则，

当时，，
解得或3．
∴点的坐标为．
∴．
①如图2，当为矩形的边时，过点作轴，交轴于点．
∵，
∴．        
∴
∴，即             
∴
同理，可求得．        
∴
∴，
又∵，
∴．        
∴．
∴．        
∴             
∴；
②如图2，当为矩形的对角线时，过点作轴交的延长线于点
同理可得       
∴
∴          
∴．
∵，
∴易得
∴，
∴，点的纵坐
∴，
③以为对角线这种情况不存在．
综上所述，存在点，使得以为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线交y轴于点，并经过点，过点A作轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线，D点的坐标为，连接，，.点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作于F，以为对角线作正方形．
　　
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点G随着E点运动到达上时，求此时m的值和点G的坐标；
(3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或（3，-3）或

【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出直线BC解析式，通过△EGF为等腰直角三角形表示出G点坐标，将G点代入BC解析式即可求得m的值，从而求得G点坐标；
（3）将矩形转化为直角三角形，当△BGC是直角三角形时，当△BCG为直角三角形时，当△CBG为直角三角形时，分情况讨论分别列出等式求得m的值，即可求得G点坐标．
（1）
将点A（0，-4）、C（6，0）代入解析式中，以及直线对称轴，可得 ，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）
∵A（0，-4），D，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∵轴交抛物线于点B，
∴B（4，-4），
设直线BC解析式为y=kx+b′，
将B（4，-4），C（6，0）代入解析式得，
，解得，
∴直线BC解析式为y=2x-12，
由题意可得，△ADB为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形EGFH为正方形，
∴△EGF为等腰直角三角形，
∴，
点G随着E点运动到达上时，满足直线BC解析式y=2x-12，
∴，
∴，此时；
（3）
B（4，-4），C（6，0），，
∴,，,
要使以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，
需满足：
当△BGC是直角三角形时，，
，
解得，，，
此时G或（3，-3）；
当△BCG为直角三角形时，，
，
解得，，
此时G；
当△CBG为直角三角形时，，
，
解得，，
此时G；
综上所述：点G坐标为或（3，-3）或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的性质和判定，动点运动问题，存在矩形问题，利用数形结合，注意分情况讨论是解题的关键．
7．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形
(3)存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．

【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得a=-1，再把点代入，即可求解；
（2）先求出，设点N（m，-m+3），可得，，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解；
（3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为；
（2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）解：存在，理由如下：
∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，

∴或，
解得：或，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，

，解得：或，
∴此时点F的坐标为或；
综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键．
8．（2022·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．

(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，P点的坐标为
(3)存在，，；，；，

【分析】（1）根据已知条件，列出方程组求出a，b，c的值即可；
（2）方法一：设，四边形PABC的面积，用m表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
方法二：易知，，故直线AC的方程为，设，表示出PQ，并用x表示出△APC的面积，再表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
（3）根据题目要求，分类讨论当当N在y轴上时；当N在x轴负半轴上时，设，用t表示出点P的坐标，解出t，写出点P及其对应点N的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，对称轴为直线，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：方法一：连接OP，

设，易知，，
∵，，
∴四边形PABC的面积，
∴

又∵，
∴
∴当时，，
∴此时P点的坐标为；
方法二：易知，，故直线AC的方程为

设，
∵过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，
∴，
∵点P在AC上方，
∴，
∴
，
∴四边形PABC面积，
∴当时，S有最大值，
∴此时P点的坐标为．
（3）存在点N．
①当N在y轴上时，

∵四边形PMCN为矩形，
此时，，；
②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，

∴，
∵四边形PMCN为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得，（舍），
∴，；
③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，

∴，
∵四边形PMCN为矩形时，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得（舍），，
∴，，
综上：，；，；，
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数、二次函数综合问题，矩形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
9．（2022·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．

(1)求，的值；
(2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；
(3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在这样的点，点的坐标为或

【分析】（1）将点的坐标代入抛物线可得到关于的方程组，解方程组即可得；
（2）设直线的解析式为，从而可得点的坐标为，利用三角形的面积公式可得的面积为，再利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立可得点的坐标，从而可得的面积，然后根据与的面积相等建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案；
（3）先求出抛物线与轴的另一个交点坐标为，从而可设点的坐标为，点的坐标为，再分①以为一边的矩形是矩形和②以为一边的矩形是矩形两种情况，利用相似三角形的性质和矩形的性质将用表示出来，然后将点代入抛物线的解析式可求出的值，由此即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得．
（2）解：由题意，设直线的解析式为，
当时，，即，，
则的面积为，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
则点的坐标为，
所以的面积为，
因为与的面积相等，
所以，
解得或（不符题意，舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
所以直线的解析式为．
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即为，
，
，
设点的坐标为，点的坐标为，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当以为一边的矩形是矩形时，

则，，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
矩形的对角线互相平分，
，解得，
将点代入得：，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符题意，舍去，
则此时点的坐标为，
②如图，当以为一边的矩形是矩形时，过点作于点，

则，
同理可证：，
，即，
解得，
，
，
矩形的对角线互相平分，
，解得，
将点代入得：，
解得或（不符题意，舍去），
当时，，符合题意，
则此时点的坐标为，
综上，存在这样的点，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、一元二次方程的应用等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并找出相似三角形是解题关键．
10．（2021·山东淄博·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．

（1）若，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标；
（3）设直线与抛物线交于两点，问是否存在点（在抛物线上）．点（在抛物线的对称轴上），使得以为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）当以为顶点的四边形成为矩形时，点，．
【分析】（1）由题意易得，则有，然后把点C的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得，，然后可求出线段BC的解析式为，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，设，则有，进而可根据铅垂法进行求解点P的坐标；
（3）由题意易得，抛物线的对称轴为，则可得，点F的横坐标为，①当以GB为矩形的对角线时，根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，进而可得，，然后根据相似三角形可求解；②当以GB为矩形的对边时，最后分类求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把点C的坐标代入得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）由（1）可得抛物线解析式为，，，
设线段BC的解析式为，把点B、C代入得：
，解得：，
∴线段BC的解析式为，
过点P作PE∥y轴，交BC于点E，如图所示：

设，则有，
∴，
设的面积为S，由铅垂法可得△PCB的面积可以点B、C的水平距离为水平宽，PE为铅垂高，则有：
，
∴当a=2时，S有最大值，
∴点；
（3）存在，理由如下：
由题意可把点B的坐标代入直线得：，
∴，
联立抛物线与直线BG的解析式得：，
解得：，
∴，
由抛物线可得对称轴为，
∴点F的横坐标为，
①当以GB为矩形的对角线时，如图所示：

∴根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，即为，
∴，
根据中点坐标公式可知，即，
∴，
∴，
∵，且四边形是矩形，
∴点E、F分别落在x轴的两侧才能构成矩形，即，
分别作EH⊥x轴于点H，过点G、B作过点F与x轴平行的直线的垂线，分别交于点M、N，如图，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：（负根舍去），
∴，；
②当以GB为矩形的边时，不存在以点E、F、G、B顶点的四边形为矩形；
综上所述：当以为顶点的四边形成为矩形时，点，．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11．（2021·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或．
【分析】（1）先根据对称轴可得的值，再根据可得点的坐标，代入抛物线的解析式即可得；
（2）利用抛物线的解析式分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得；
（3）过点作轴的垂线，交于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点的坐标为，从而可得和的坐标，然后根据可得关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；
（4）设点的坐标为，分①当为矩形的边时，②当为矩形的边时，③当为矩形的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的解析式、矩形的性质、点坐标的平移变换规律求解即可得．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，
，
，
，且点在轴负半轴上，
，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为；
（2）化成顶点式为，
则顶点的坐标为，
当时，，即，
则抛物线上两点之间的距离是，
故答案为：；
（3）如图，过点作轴的垂线，交于点，

，抛物线的对称轴为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则，，
，
，
，
由二次函数的性质得：在内，当时，取最大值，最大值为，
即面积的最大值为；
（4）设点的坐标为，
由题意，分以下三种情况：
①当为矩形的边时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
则直线的解析式为，
将点代入得：，即，
将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点，
四边形是矩形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，
，即；
②当为矩形的边时，则，
同（4）①的方法可得：点的坐标为；
③当为矩形的对角线时，则，
，
即，
解得或，
或，
当点的坐标为时，
则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度可得到点，
四边形是矩形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，即；
同理可得：当点的坐标为时，点的坐标为，
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数解析式、矩形的性质等知识点，较难的是题（4），正确分三种情况讨论是解题关键．
12．（2021·四川达州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．
（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，或．
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；
（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；
（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．
【详解】解：（1）∵过，
∴
∴，
∴抛物线的解析式为：
（2）在上取一点，使得，连接，

∵
对称轴．
∴，
，
∴，
∴
∴
∴
当，，三点在同一点直线上时，最小为．
在中，，
∴
即最小值为．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，
联立
得


是等腰，
分别过 两点作的垂线，交于点，
过作轴，轴,

,也是等腰直角三角形
设，则，所以
代入，解得,（不符题意，舍）

同理，设，则 ，所以
代入，解得,（不符题意，舍）


② AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则

，



设 ，则

整理得：
解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍），
，

综上所述：点的横坐标分别为：2，，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．
13．（2023秋·重庆江北·九年级字水中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，其对称轴为，

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)面积的最大值为4，此时P的坐标为
(3)存在，点F的坐标为，

【分析】（1）把点A的坐标代入得到，再根据抛物线的对称轴，得出a和b的关系式，即可求解；
（2）连接，过P点作平行于y轴的直线交于H点，根据可得，从而求面积的最大值即可，通过设P的坐标，得到H的坐标，从而建立关于面积的二次函数表达式，最终结合二次函数的性质求解即可；
（3）通过（2）的结论首先确定出平移后抛物线的解析式，设出E，F的坐标，运用勾股定理进行分类讨论即可．
【详解】（1）将，代入得：，
∵抛物线对称轴为对称轴为，
∴，即，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图所示，连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点，
∵，
∴，即求面积的最大值即可，
把代入得，
∴C坐标为，
设直线BC的解析式为：，
将，代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
根据二次函数的性质可得：当时，取得最大值为4，
将代入，得到此时P的坐标为，
∴面积的最大值为4，此时P的坐标为；

（3）存在，理由如下：
由（2）可知，当面积的最大值为4时，P的坐标为，
∵，
∴，则，
∵原抛物线解析式为：，
∴设向右平移后的解析式为：，
将代入求得：（舍负值），
∴平移后抛物线的解析式为：，其对称轴为直线，
∴设，，则结合A、P的坐标可得：
，，，
①当时，如图所示，
此时根据勾股定理得：，
即：，解得：，即：，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴；
②当时，如图所示，
此时根据勾股定理得：，
即：，解得：，即：，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴；

③当AE⊥PE时，根据勾股定理得：，
即：，
整理得：，
∵，
∴上述方程在实数范围内无解，即不存在的情况，
综上所述，所有可能的点F的坐标为，．
【点睛】本题考查二次函数综合运用，以及矩形的性质，准确求得抛物线的解析式，并灵活根据矩形的性质进行分类讨论是解题关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接，作直线．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线上方抛物线上一动点时，连接，当时，求点P坐标；
(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q，x轴上有一动点N，是否存在四边形是矩形？若存在，在横线上直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或

【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）过点P作轴交于点F，先求出，可得，再求出直线的解析式为，然后设点P的坐标为，则点，可得，然后分两种情况讨论：当时点P在y轴左侧时，当时点P在y轴右侧时，结合，即可求解；
（3）设点，，，根据矩形的对角线相等且互相平分，可得到，即可求解．
【详解】（1）解：把点和代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点P作轴交于点F，

∵点和，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
当时，，
∴点，即，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点，
∴，
当时点P在y轴左侧时，
∴

，
∴，
解得：或（舍去）；
当点P在y轴右侧时，同理；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：存在，
设点，，，
∵四边形是矩形，
∴，且的中点重合，
∴，
整理得：，
解得：或，
∴或，
∴点N的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
15．（2022秋·全国·九年级专题练习）抛物线与轴交于另一点，两点．与轴交于，为抛物线的顶点．

(1)求，，，的坐标；
(2)点是轴上一动点，点为平面内任意一点，当以，，，为顶点的四边形是矩形，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，，
(2)点的坐标为或或或

【分析】先让，即可求出点A，B的坐标；再让，即可求出点C的坐标;最后把解析式化为顶点式，即可求出点D的坐标．
当、为矩形的对角线时，、为矩形的对角线时，、为矩形的对角线时，分别求出点M，Q的坐标．
【详解】（1）令，则，
或，
，，
令，则，
，
，
顶点；
（2）设，，
当、为矩形的对角线时，
，
，，
，
，
或，
或；
当、为矩形的对角线时，
，
，，
，
，
，
；
当、为矩形的对角线时，
，
，，
，
，
，
；
综上所述：点的坐标为或或或
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是解题的关键．
16．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交y轴于点C．点D为直线 下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G， 分别交直线 ， 于点E，F．

(1)求b和c的值；
(2)H是y轴上一点，当四边形 是矩形时，求点H的坐标．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）把点B，A的坐标代入后，即可求出b，c的值；
（2）先由四边形是矩形，求出点E，F的横坐标．再由点E，F在直线、上，表示出含有同一个参数的点E，F的坐标，再利用矩形的对角线相等，求出参数，最后求出点H的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线过，两点，
∴ ，
解得 ，
∴
故答案为： ，
（2）解：①如图1中，过点H作于M，

∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，  
∴直线的解析式为，
设 ，，
由 得到，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．