第10讲 二次函数与相似三角形存在性问题题型训练-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)（原卷版+解析）

第10讲   二次函数与相似三角形存在性问题题型训练

1．如图，在平面直角坐标系中，y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+x+c过B、C两点，且与x轴交于另一点A．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M、N、B为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段BN的长度．

2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；

（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．

①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；

②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

③在图3中，若P是y轴左侧该抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

4．如图，抛物线过点O（0，0）、A（4，0）、B（3，4），连结OB、AB，点P以每秒1个单位长的速度从点O运动到点B．同时点Q以相同的速度从点A出发沿着射线AO运动，点P到达点B时P、Q两点同时停止运动，设P点运动时间为t．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，△POQ与△AOB相似；

（3）点P运动过程中，△POQ的面积为S．求S与t的函数关系，并求出S的最大值．

5．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点A，且经过B（4，1）、C（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC、BC、AB，求∠BAC的正切值；

（3）在第一象限内，抛物线上是否存在一点P，过点P作PG上AP交y轴于点G，当点G在点A的上方时，△APG与△ABC相似，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

6．抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；

（3）如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．

7．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，3）两点，点P为抛物线的顶点，连接AB、BP．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求∠PBA的度数；

（3）如图2，点M从点O出发，沿着OA的方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时点N从点A出发，沿着AB的方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，ME⊥x轴交AB于点E，NF⊥x轴交抛物线于点F，连接MN、EF．

①当EF∥MN时，求点F的坐标；

②在M、N运动的过程中，存在t使得△BNP与△BMN相似，请直接写出t的值．

8．如图1，平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过点A、点C，且与x轴交于另一点B，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一动点．

①当点P在直线AC下方的抛物线上运动时，如图2，连接AP，CP．求四边形ABCP面积的最大值及此时点P的坐标；

②当点P在x轴上方的抛物线上运动时，过点P作PM⊥x轴于点M，连接BP．是否存在点P，使△PMB与△AOC相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．