九年级上册数学第22章 二次函数专题17 二次函数与等角存在性问题

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专题17 二次函数与等角存在性问题
解题点拨
除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．

【基本定理】
回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：
（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；
（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；
（3）等腰三角形：等边对等角；
（4）全等（相似）三角形：对应角相等；
（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；
（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．

想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．

选择较多未必是好事，挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的~

直击中考
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值．
(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)）或．

【分析】（1）将代入，即可求函数的解析式；
（2）由题意可求，又由，可得，能求出点，即可求t的值；
（3）由题意可得，从而能求出，再由，求出t即可求P点坐标．
【详解】（1）解：代入，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：令，则，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴t的值为2；
（3）解：存在点P，使，理由如下：
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴P点坐标为）或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（黑龙江中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，，
【分析】（1）把点AB的坐标代入即可求解；
（2）分点P在轴下方和下方两种情况讨论，求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）存在，理由如下：
当点P在轴下方时，
如图，设AP与轴相交于E，

令，则，
∴点C的坐标为(0，3)，
∵A(-1，0)，B(3，0)，
∴OB=OC=3，OA=1，
∴∠ABC=45，
∵∠PAB=∠ABC=45，
∴△OAE是等腰直角三角形，
∴OA=OE=1，
∴点E的坐标为(0，-1)，
设直线AE的解析式为，
把A(-1，0)代入得：，
∴直线AE的解析式为，
解方程组，
得：(舍去)或，
∴点P的坐标为(4，)；
当点P在轴上方时，
如图，设AP与轴相交于D，

同理，求得点D的坐标为(0，1)，
同理，求得直线AD的解析式为，
解方程组，
得：(舍去)或，
∴点P的坐标为(2，)；
综上，点P的坐标为(2，)或(4，)
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，解方程组，分类讨论是解本题的关键．
3．如图，抛物线与x轴，y轴分别交于点A，B点，C三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将绕坐标原点O顺时针旋转，点C的对应点为点，点是否落在抛物线上？说明理由．
(3)P为抛物线上直线上方的一点，当四边形面积最大时，求点P的坐标；
(4)点D在抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点落在抛物线上，理由见解析
(3)点P的坐标为
(4)存在，P坐标为

【分析】（1）把A、C两点坐标代入即可得解；
（2）根据旋转可得点C的对应点，坐标代入抛物线解析式即可检验是否在抛物线上；
（3）设点P的坐标为，根据，即可得到关于x的二次函数解析式，化成顶点式就可以得到面积的最大值和此时x的值，即点P的横坐标，再把x值代入所设的点P的纵坐标中即可得解；
（4）首先把D点坐标代入抛物线解析式得到D，所以，根据坐标易得是等腰直角三角形，设与y轴交于点，通过证明，所以，，得到点，从而计算出直线直线解析式为，再与抛物线解析式构成方程组即可得解．
【详解】（1）解：将点A，C代入抛物线得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：将绕坐标原点O顺时针旋转，点C的对应点为点，则点，
当时，，
∴点C'落在抛物线上；
（3）解：连接，设点P的坐标为，

∵，
∴，
当，四边形面积最大，最大面积为，
此时：点P纵坐标，
即点P的坐标为；
（4）解：存在，P坐标为．理由如下：
如图：

∵点D在抛物线上，
∴代入得：，
∴D，
∵点C，
∴，
又∵点B坐标为，点C，
∴，
∴，
∴，
设与y轴交于点，
在△CD'B和△CDB中，
，
∴，
∴，
∴，
即点，
所以直线解析式为，
联立抛物线与直线解析式得：，
解得：，（不合题意舍去），
故点P坐标为．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、全等三角形的判定和性质、图形的旋转、面积的计算等，解题关键是化顶点式和待定系数法的运用．
4．已知：抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点

(1)求抛物线的解析式的一般式；
(2)若抛物线第一象限上有一点P，满足，求P点坐标；
(3)直线与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)10

【分析】（1）把C点坐标代入中求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）分两种情况，当点P在直线的下方时，过点B作交CP的延长线于点E，过点E作轴于点M，由直角三角形的性质可求得，长，求出点E的坐标，可求出直线的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点P的坐标；当点P在直线的上方时，过点B作交CP于点F，同理求出点F的坐标和直线的解析式，联立直线和抛物线方程可求得点P的坐标；
（3）求出直线恒过定点，连结，当时，点B到直线的距离最大时，求出此时k的值，可求出点E，F的坐标，则的面积可求出．
【详解】（1）把代入，
得，解得，
所以抛物线解析式为，即；
（2）当点P在直线的下方时，如图1，过点B作交的延长线于点E，过点E作轴于点M，

∵，
∴时，或，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴ ，
解得： ，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，，
把代入得，
∴ ；
当点P在直线的上方时，过点B作交于点F，如图2，

同理求出，，
∴，
求出直线的解析式为，
∴ ，
解得：，
∴．
综合以上可得点P的坐标为或；
（3）∵直线，
∴，
∴，
∴直线恒过定点，如图3，连结，当时，点B到直线的距离最大时，

求出直线的解析式为，
∴，
∴直线的解析式为，
∴ ，
解得： ， ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式；能运用直角三角形的性质；理解坐标与图形性质，学会运用方程的思想和分类讨论的数学思想解决数学问题是关键．
5．如图1，抛物线与轴交于点（在的左边），与轴交于点，且．若直线与轴、轴分别交于点和点，直线交直线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在第三象限内的抛物线上是否存在一点，使，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)对于直线上一点，若过点总有一条直线（不和直线重合）交抛物线于两点（在的左边），使成立，求的取值范围．
【答案】(1)抛物线解析式为：
(2)存在，
(3)

【分析】（1）根据题意，求得,,设抛物线解析式为，将点代入解析式即可求解；
（2）根据题意得出，根据正切值相等，即可求解．
（3）根据题意，可知当点在点左侧时，存在，继而即可求解．
【详解】（1）解：∵与轴交于点，
令，得，
∴，则，
∵，
∴,,
设抛物线解析式为，将点代入得，
，
解得：，
∴，
∴抛物线解析式为：；
（2）存在，理由如下，
解：如图，点在第三象限，

∵,,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵直线与轴、轴分别交于点和点，
令，解得，令，解得
∴,,
∴，，  
设，则，
∴，
解得：（舍去）    
∴，
∴；
（3）解：∵,,

设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，即，
设，
∵为的中点，则，
∵在上，
∴，
整理得，
∵，
∴或,
∵，M在N的左边，
∴Q点在M点左侧，
∴当，即点在点左侧时，符合题意．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，角度问题，已知正切求线段长，线段中点问题，掌握以上知识是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若M为抛物线上一点，，求点M的坐标；
(3)若P为线段AB上一点，，求点P的坐标；
【答案】(1)
(2)或
(3)

【分析】（1）根据直线与y轴的交点和抛物线与x轴的正半轴相交于点，用待定系数法可求得抛物线的解析式
（2）由，可证明，即可得，然后根据函数图象去掉绝对值即可求得点M的坐标
（3）设点，过点P作轴于点Q，则点，得到，所以，计算得，即可得
【详解】（1）∵直线与y轴的交点为，
将点、代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：
（2）由（1）知，抛物线为，
由，解得：或，
∴，且，，
∴，，
设点，过点M作轴，交x轴于点N，

∴，∴，，
∵，且，
∴，
∴，
即，
通过二次函数图象当时，，，
∴，，
解得：或（舍）
∴点M的坐标为：
通过二次函数图象当时，，，
∴，
解得：或（舍），
∴点M的坐标为：，
通过二次函数图象当时，，，
∴，
解得：（舍）或（舍）
综上所述：点M的坐标为：或
（3）由（2）知，，，，
设点，过点P作轴于点Q，则点，

∵，且，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴，且轴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
【点睛】本题是二次函数和三角形综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质及二次函数的图象和性质，解题的关键是分类讨论的数学思想的应用
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，与y轴相交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，求的正切值；
(3)点P在抛物线上，且，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)2
(3)或

【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线即可；
（2）如图1，过点A作于H，分别证和是等腰直角三角形，可求出的长，可在中，直接求出的正切值；
（3）此问需分类讨论，当时，过点P作轴于点M，设P，由同角的三角函数值相等可求出a的值；由对称性可求出第二种情况．
【详解】（1）解：将点A，B代入抛物线中，
得，解得，，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵在中，当时，，
∴C，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
如图1，过点A作于H，

则，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
即的正切值为2；
（3）解：①如图2，当时，过点P作轴于点M，

设P，则M，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），，
∴；
②取点关于x轴的对称点，延长交抛物线于，
则此时，
设直线的解析式为，将A，代入，
得，，解得，，
∴直线的解析式为，
联立，，或，
∴；
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．
8．如图，二次函数的图象经过点，，，直线与轴、轴交于点D，E．

(1)求该二次函数的解析式
(2)点M为该二次函数图象上一动点．
①若点M在图象上的B，C两点之间，求的面积的最大值．
②若，求点M的坐标．
【答案】(1)该二次函数的解析式是；
(2)①的面积的最大值为；②点M的坐标为或．

【分析】（1）运用待定系数法求这个二次函数的解析式；
（2）①如图1，作辅助线构建，根据面积差可得的面积：，表示MN的长即可，由二次函数图象的性质与这一范围可得结论；
②由图形可知：是钝角，当M在第三和第四象限时，才可能符合条件，所以分两种情况：
当点M在第四象限时，延长交x轴于点F，如图2，根据列方程可得M的坐标；
当点M在第三象限时，如图3，可得轴，即M的纵坐标为，代入抛物线的解析式可得M的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
设抛物线的交点式为：，
将代入得，
∴，
∴该二次函数的解析式是；
（2）解：①如图1，过M作轴，交直线于N，交x轴于H，

当时，，解得：，
∴，
则，
设点，则，
∴，
当时，的面积的最大值为；
②当点M在第四象限时，延长交x轴于点F，如图2，

∵，，
又∵，
∴，
∴，
设点F，则，，
∴，解得，即，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
则，
解得：，
∵点M在第四象限，所以，
∴点；
当点M在第三象限时，如图3，

∵，
∴轴，
设，
将代入二次函数解析式中，得，，
∵M在第三象限，
∴（舍去），
∴点，
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式；根据勾股定理及其逆定理列方程是解题的关键，本题还涉及到分类讨论的思想，有难度，注意利用数形结合，属于中考压轴题．
9．（山东泰安中考真题）若二次函数的图象与轴分别交于点、，且过点.
（1）求二次函数表达式；
（2）若点为抛物线上第一象限内的点，且,求点的坐标；
（3）在抛物线上（下方）是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由.

【答案】（l） ；（2）点的坐标为；（3）点到轴的距离为 .
【分析】（1）根据待定系数法，计算即可.
（2）首先设出P点的坐标，再利用求解未知数，可得P点的坐标.
（3）首先求出直线AB的解析式，过点作轴，垂足为，作轴交于点，再利用平行证明，列出方程求解参数，即可的点到轴的距离.
【详解】（l）因为抛物线过点，∴，
又因为抛物线过点，
∴
解，得
所以，抛物线表达式为
（2）连接，设点.
则


由题意得
∴或（舍）
∴
∴点的坐标为.

（3）设直线的表达式为，因直线过点、
，
∴
解，得
所以的表达式为
设存在点满足题意，点的坐标为，过点作轴，垂足为，作轴交于点，则的坐标为，，.
又轴
∴
又∵
∴
∴
∴.
在中

解得：
所以点到轴的距离为
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合性问题，难度系数高,但是是中考的必考知识点,应当熟练地掌握.
10．（2022·四川达州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．

(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，分情况讨论，①过点作关于的对称点，即可求P的坐标，②轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可；
（3）设，，过点作轴于点，则，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求得，即可求解．
【详解】（1）解：∵由二次函数，令，则，
，
过点，，
设二次函数的表达式为，
将点代入得，
，
解得，
，
（2）二次函数的图象经过点，，
抛物线的对称轴为，
①如图，过点作关于的对称点，
，
，
，
，
②轴上取一点，使得，则，设，
则，
，
解得，
即，
设直线CD的解析式为，
，
解得，
直线CD的解析式为，
联立，
解得或，
，
综上所述，或，

（3）的值是定值，
设，，
过点作轴于点，则，

，
，
，
，
，
即，
，，
，
，


．
即的值是定值
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．

(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；
(2)若，求m的值；
(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；
(2)
(3)

【分析】（1）分别令等于0，即可求得的坐标，根据，即可求得；
（2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得，，．根据轴对称的性质，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作交BC于点H．由方法一，得，．证明，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；
（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．
【详解】（1）当时，．
解方程，得，．
∵点A在点B的左侧，且，
∴，．
当时，．
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）方法一：如图1，连接AE．
∵，
∴，．
∴，，．
∵点A，点B关于对称轴对称，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴，
即．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴解方程，得．

方法二：如图2，过点D作交BC于点H．
由方法一，得，．
∴．
∵，
∴，
．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，即．
∵，
∴解方程，得．

（3）．
设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．
∵，
∴．
，
，
∴．
解得，
又，
∴．

【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
12．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．

(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再根据折叠的性质得出点B、C、D三点共线，继而通过证明，利用相似三角形的性质即可得出点D的坐标，根据四边形OADC的面积进行求解即可；
（3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，分别求解即可．
【详解】（1）将，，代入抛物线，得
，解得，
所以，抛物线的表达式为；
（2）如图，过点D作DE⊥x轴于E，
，

∵，，，
，
，
为直角三角形且，
将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，
此时，点B、C、D三点共线，BC=DC，，
，
，
，
，
，
∴四边形OADC的面积
；
（3）
当点P在x轴上方时，
∵，
∴轴，
点P的纵坐标为4，即，
解得或0（舍去）
；
当点P在x轴下方时，设直线CP交x轴于F，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
∴设直线CF的解析式为，
即，解得，
∴直线CF的解析式为，
令，解得或0（舍去），
当时，
；
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点并能够灵活运用是解题的关键．