高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.4 数列的应用习题

第五章5.4　数列的应用

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,前三个节气日影长之和为28.5尺,最后三个节气日影长之和为1.5尺,则春分时节的日影长为(　　)

A.4.5尺 

B.3.5尺 

C.2.5尺 

D.1.5尺

2.[探究点二]某人于2022年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,他从2023年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清.若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则其每年的偿还金额是(　　)

A. 

B.

C. 

D.

3.[探究点二、三](多选题)[2023福建龙岩高二期末]某县位于沙漠边缘,当地居民与风沙进行着艰苦的斗争,到2020年底全县的绿地占全县总面积的70%.从2021年起,市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度,预计每年能将前一年沙漠的18%变成绿地,同时,前一年绿地的2%又被侵蚀变成沙漠.则下列说法正确的是(　　)

A.2021年底,该县的绿地面积占全县总面积的74%

B.2023年底,该县的绿地面积将超过全县总面积的80%

C.在这种政策之下,将来的任意一年,全县绿地面积占比都不能超过90%

D.在这种政策之下,将来的某一年,该县绿地将达到100%全覆盖

4.[探究点二]赵先生准备通过某银行贷款5 000元,然后通过分期付款的方式还款,银行与赵先生约定:每个月还款一次,分12次还清所有欠款,且每个月还款的钱数都相等,贷款的月利率为0.5%,则赵先生每个月所要还款的钱数为　　　　元.(精确到0.01元,参考数据:≈17.213 )

5.[探究点三]如图,一个粒子从原点出发,在第一象限和两坐标轴正半轴上运动,在第一秒时它从原点运动到点(0,1),接着它按图所示在x轴、y轴的垂直方向上来回运动,且每秒移动一个单位长度,那么,在2 023秒时,这个粒子所处的位置在点　　　　. 

6.[探究点二]有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果该塔形几何体的最上层正方体的棱长为1,那么该塔形几何体中正方体的个数是　　　　　. 

7.[探究点二]某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”,自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件,已知第一层货物单价是1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是[100-200()n]万元,则n的值为　　　　　. 

8.[探究点二]某人每月15日发工资,2023年1月15日发工资后,他随即从工资中拿出1 000元存入银行,以后每月领工资后,都于当天在工资中拿出1 000元存入银行.若银行存款月利率为0.002,那么按照复利计算,一年后他可以从银行取出本息共　　　　　元.(精确到1元) 

9.[探究点一、二]某沿海城市为了进一步完善海防生态防护体系,林业部门计划在沿海新建防护林3万亩,从2023年开始,每年春季在规划的区域内植树造林,第一年植树1 200亩,以后每一年比上一年多植树400亩,假设所植树木全部成活.(注:亩为非标准国际单位制)

(1)到哪一年春季新建防护林计划全部完成?

(2)若每亩新植树苗的木材量为2立方米,且所植树木每一年从春季开始生长,到年底停止生长时木材量的年自然增长率为10%,到新建防护林计划全部完成的那一年底,新建防护林的木材总量为多少立方米?(参考数据:1.111≈3)

B级 关键能力提升练

10.一个卷筒纸的内圆直径为4 cm,外圆直径为12 cm,一共卷60层,若把各层都视为一个同心圆,令π=3.14,则这个卷筒纸的长度(精确到个位)为(　　)

A.17 m B.16 m C.15 m D.14 m

11.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL.如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小,当他可以驾驶机动车时,至少需要经过(精确到小时)(　　)

A.1小时 B.2小时 C.4小时 D.6小时

12.(多选题)在《增删算法统宗》中有道题目讲了这样一件事:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了六天后到达目的地.则下列说法正确的是(　　)

A.此人第三天走了24里路

B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里

C.此人第二天走的路程占全程的

D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

13.某地2020年共发放汽车牌照12万张,其中燃油车牌照10万张,新能源车牌照2万张.从2021年起,每年发放的新能源车牌照数量比前一年增长50%,燃油车牌照数量比前一年减少0.5万,同时规定,若某年发放的汽车牌照超过15万张,以后每年发放的新能源车牌照的数量维持在这一年的水平不变.那么从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为　　　　　万. 

14.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定,假设某种传染病的基本传染数R0=3(注:对于R0>1的传染病,要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径),那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(初始感染者未被隔离,且不含初始感染者)的总人数为　　　　.(注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……) 

15.某学习软件以数学知识为题目设置了一项闯关游戏,共有15关,每过一关可以得到一定的积分,现有三种积分方案供闯关者选择.方案一,每闯过一关均可获得40积分;方案二,闯过第一关可获得5积分,后面每关的积分都比前一关多5;方案三,闯过第一关可获得0.5积分,后面每关的积分都是前一关积分的2倍.若某关闯关失败则停止游戏,最终积分为闯过的各关的积分之和.设三种方案闯过n(n≤15,且n∈N+)关后的积分之和分别为An,Bn,Cn,要求闯关者在开始前要选择积分方案.

(1)求出An,Bn,Cn的表达式.

(2)如果你是一个闯关者,为获得尽量多的积分,这几种积分方案该如何选择?小明通过试验后觉得自己至少能闯过12关,他应该选择第几种积分方案?

C级 学科素养创新练

16.[2023河北衡水高三期末]治理垃圾是S市改善环境的重要举措.去年S市产生的垃圾量为200万吨,通过扩大宣传、环保处理等一系列措施,预计从今年开始,连续5年,每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨,从第6年开始,每年的垃圾排放量为上一年的75%.

(1)写出S市从今年开始的年垃圾预期排放量与治理年数n(n∈N+)的表达式;

(2)设An为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量,写出An的表达式.

5.4　数列的应用

1.A　设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长组成等差数列{an},

其公差为d,由题意得

即解得

所以an=a1+(n-1)d=11.5-n,所以a7=11.5-7=4.5,即春分时节的日影长为4.5尺.

2.D　设每年偿还的金额为x,

则a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-1,

所以a(1+p)m=x,

解得x=.

故选D.

3.AC　从2021年起,每年年底的绿化率构成一个数列a1,a2,a3,…,an,则a1=0.7×0.98+0.3×0.18=0.74,

且an+1=0.98an+0.18(1-an)=0.8an+0.18,

即an+1-0.9=0.8(an-0.9).又a1-0.9=-0.16,

则数列{an-0.9}是首项为-0.16,公比为0.8的等比数列,

则an-0.9=-0.16×0.8n-1,即an=0.9-0.16×0.8n-1.

a1=0.74,故A正确;

a3=0.9-0.16×0.82=0.7976<0.8,故B错误;

由an=0.9-0.16×0.8n-1可知,an<0.9恒成立,故C正确,D错误.

故选AC.

4.430.33　设每一期所还款数为x元.

因为贷款的月利率为0.5%,

所以每期所还款本金依次为,…,,

则+…+=5000,

即x+…+

=x

=x=5000,

x=≈430.33,

故赵先生每个月所要还款约430.33元.

5.(1,44)　如图,设粒子运动到A1,A2,…,An时所用的时间分别为a1,a2,…,an,

则a1=2,a2=6,a3=12,a4=20,…,所以an-an-1=2n.

将a2-a1=2×2,a3-a2=2×3,a4-a3=2×4,……,an-an-1=2n相加得an-a1=2(2+3+4+…+n)=n2+n-2,则an=n(n+1),由a44=44×45=1980,得运动了1980秒时它到点A44(44,44),

又由运动规律知,A1,A2,…,An中,奇数点处向下运动,偶数点处向左运动,

故粒子到达A44(44,44)时,向左运动43秒即运动了2023秒,到达点(1,44),则所求点应为(1,44).

6.7　设从最底层开始的第n层的正方体棱长为an,

则由题意得{an}为以8为首项,为公比的等比数列,

其通项公式为an=8×=23×.

令an=1,得n=7,故该塔形几何体中正方体的个数为7.

7.10　由题意,可得第n层的货物的价格为an=n×n-1(单位:万元),

设这堆货物总价是Sn(单位:万元),则Sn=1×0+2×1+3×2+…+n×n-1,

则Sn=1×1+2×2+3×3+…+n×n,

则Sn=1+1+2+3+…+n-1-n×n=-n×n=10-(10+n)×n,

∴Sn=100-10(10+n)×n.

∵这堆货物总价是100-200n(万元),

∴n=10.

8.12 157　2023年1月15日存入的1000元,到2024年1月15日的本息和为1000×1.00212(元),

2023年2月15日存入的1000元,到2024年1月15日的本息和为1000×1.00211(元),

2023年3月15日存入的1000元,到2024年1月15日的本息和为1000×1.00210(元),

……

2023年12月15日存入的1000元,到2024年1月15日的本息和为1000×1.002(元),

因此,一年后他可以从银行取出本息共1000×(1.002+1.0022+…+1.00212)=≈12157(元).

9.解(1)设第n年春季植树为an亩,由题意,可知a1=1200,an+1-an=400,

所以{an}为等差数列,an=1200+400(n-1)=400n+800.

设植树n年新建防护林计划全部完成,则1200n+×400=30000,

化简得n2+5n-150=0,所以n=10或n=-15(舍去).

所以到2033年新建防护林计划全部完成.

(2)设从2023年开始,第n年年底种植树木到2033年底的木材量为数列{bn}(单位:立方米),则b10=a10×2×1.1,b9=a9×2×1.12,……,b1=a1×2×1.110.

则木材总量S=b1+b2+…+b10=2(1.1a10+1.12a9+…+1.110a1),

1.1S=2(1.12a10+1.13a9+…+1.111a1),

所以0.1S=2[-1.1a10+400×(1.12+1.13+…+1.110)+1.111a1]=2-1.1×4800+400×+1200×1.111≈10960,

解得S=109600,所以到2033年底新建防护林的木材总量为109600立方米.

10.C　纸的厚度相同,且各层同心圆直径成等差数列{dn}(单位:cm),则d1+d2+d3+…+d60=×60=480,则纸的长度l=πd1+πd2+πd3+…+πd60=480π=480×3.14=1507.2(cm)≈15(m).故选C.

11.C　设n个小时后才可以驾车,根据题意,可知血液中的酒精含量成等比数列,公比为0.5,进而可得方程0.3×0.5n≤0.02,得n≤,即n≥4,所以至少要经过4小时后才可以驾驶机动车.故选C.

12.BD　由题意,此人每天所走路程构成以为公比的等比数列,

记该等比数列为{an},其公比为q=,前n项和为Sn,

则S6=a1=378,解得a1=192,

所以a3=a1·q2=48,故A错误;

a1-(S6-a1)=2a1-S6=384-378=6,故B正确;

a2=a1·q=96≠,故C错误;

S3=a1+a2+a3=192+96+48=336,S6-S3=378-336=42,所以S3=8(S6-S3),即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍,故D正确.

故选BD.

13.134　设从2021年起,每年发放燃油车牌照数为an(单位:万),发放新能源车牌照数bn(单位:万),发放汽车牌照数为cn(单位:万),则cn=an+bn.

由题可知a1=9.5,an=10-0.5n,

设{an}的前n项的和为An,

则A10==72.5.

由题可知b1=2×1.5=3,b2=3×1.5=4.5,b3=4.5×1.5=6.75,

因为c2=a2+b2=9+4.5=13.5<15,c3=a3+b3=8.5+6.75=15.25>15,

所以b4=b5=…=b10=6.75,

设{bn}的前n项的和为Bn,则B10=3+4.5+6.75×8=61.5.

所以从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为(72.5+61.5=134)万.

14.4 095　初始一名感染者,经过一轮传染后,感染人数为1+R0=4,

经过二轮传染后,感染人数为4+4R0=16,

经过三轮传染后,感染人数为16+16R0=64,

……

则每一轮传染后的感染人数构成以4为首项,4为公比的等比数列,设为{an}.

经过n轮传染后,感染人数为an=4×4n-1=4n,

所以由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为46-1=4095.

15.解(1)按方案一闯过各关所得积分构成常数数列,故An=40n;

按方案二闯过各关所得积分构成首项为5,公差为5的等差数列,

故Bn=5n+×5=;

按方案三闯过各关所得积分构成首项为,公比为2的等比数列,

故Cn=(2n-1).

(2)令An>Bn,即40n>,解得0<n<15,

而当n=15时,An=Bn,

又因为n≤15且n∈N+,故An≥Bn恒成立,

故方案二不予考虑.

令An>Cn,即40n>(2n-1),因为n∈N+,所以n≤9,

故当n≤9时,An>Cn;当10≤n≤15时,An<Cn,

故当能闯过的关数小于10时,应选择方案一;

当能闯过的关数大于等于10时,应选择方案三.

小明应该选择方案三.

16.解(1)设治理n年后,S市的年垃圾排放量(单位:万吨)构成数列{an}.

由题可知,当n≤5时,{an}是首项为a1=200-20=180,公差为d=-20的等差数列,

所以an=a1+(n-1)d=180-20(n-1)=200-20n;

当n≥6时,数列{an}是以a5=200-20×5=100为首项,公比为q=的等比数列,

所以an=a5qn-5=100×,

所以,治理n年后,S市的年垃圾排放量的表达式为an=

(2)设Sn为数列{an}的前n项和,

则An=.

当n≤5时,Sn==190n-10n2,

An==190-10n.

当n≥6时,Sn=S5+=190×5-10×52+=1000-300×n-5,

An=.

综上,An=