新教材2023_2024学年高中数学第5章统计与概率测评新人教B版必修第二册

第五章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.古代科举制度会试分南卷、北卷、中卷,按比例录取,录取比例为11∶7∶2.若某年会试录取人数为100,则中卷录取人数为(　　)

A.10 B.15 C.30 D.35

2.某老师为了解某班41名同学居家学习期间上课、锻炼、休息等时间安排情况,决定将某班学生编号为01,02,…,41,利用下面的随机数表选取10个学生调查,选取方法是从随机数表第1行第3列数字开始由左到右依次选取两个数字,下表为随机数表第1行与第2行,则选出来的第4个学生的编号为(　　)

A.04 B.06 C.13 D.14

3. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是,则下列结论正确的是              (　　)

A.;乙比甲成绩稳定

B.;甲比乙成绩稳定

C.;乙比甲成绩稳定

D.;甲比乙成绩稳定

4.如图是公布的2020年下半年快递运输量情况,请根据图中信息选出错误的选项(　　)

A.2020年下半年,同城和异地快递量最高均出现在11月

B.2020年10月份异地快递增长率小于9月份的异地快递增长率

C.2020年7月至11月,异地快递量逐渐递增

D.2020年下半年,每个月的异地快递量都是同城快递量的6倍以上

5.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况,随机抽取了部分党员,对他们一周的党史学习时间进行了统计,统计数据如下表所示:

则该单位党员一周学习党史时间的众数及40%分位数分别是(　　)

A.8,8.5 B.8,8 C.9,8 D.8,9

6.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件是次品”,则下列结论正确的是(　　)

A.F与G互斥

B.E与G互斥但不对立

C.E,F,G任意两个事件均互斥

D.E与G对立

7.一道竞赛题,A,B,C三人可解出的概率依次为,若三人独立解答,则仅有1人解出的概率为(　　)

A. B. C. D.1

8.在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点作代表,则下列说法中错误的是(　　)

A.成绩在[70,80)分的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1 000

C.考生竞赛成绩的平均分约70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数为75

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表:

记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是(　　)

A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18

C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55

10.已知在一次射击预选赛中,甲、乙两人各射击10次,两人成绩(所中环数越大,成绩越好)的频数分布表分别为:

下面判断正确的是(　　)

A.甲所中环数的平均数大于乙所中环数的平均数

B.甲所中环数的中位数小于乙所中环数的中位数

C.甲所中环数的方差小于乙所中环数的方差

D.甲所中环数的方差大于乙所中环数的方差

11.盒子里有2个红球和2个白球,从中不放回地依次取出2个球,设事件A=“两个球颜色相同”,B=“第1次取出的是红球”,C=“第2次取出的是红球”,D=“两个球颜色不同”,则下列说法正确的是(　　)

A.A与B相互独立 B.A与D互为对立

C.B与C互斥 D.B与D相互独立

12.将一个均匀的骰子连续掷两次,设先后得到的点数为m,n,则(　　)

A.m=1的概率为 

B.m是偶数的概率为

C.m=n的概率为 

D.m>n的概率为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为,和棋的概率为,则乙不输的概率为　　　　. 

14.一组数据的平均数与中位数的大小关系是不确定的,现有一组数据满足下面两个条件:(1)一共有6个互不相等的数;(2)中位数小于平均数.这组数据可以是　　　　. 

15.某中学拟从4月16号至30号期间,选择连续两天举行春季运动会,从以往的气象记录中随机抽取一个年份,记录天气结果如下:

估计运动会期间不下雨的概率为　　　　　. 

16.某小组有3名男生和2名女生,从中任选出2名同学去参加演讲比赛,则:①至少有1名男生和至少有1名女生,②恰有1名男生和恰有2名男生,③至少有1名男生和全是男生,④至少有1名男生和全是女生.其中为互斥事件的是　　　　　.(填序号) 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛,他们的成绩(单位:m)如下:

甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67;

乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.

经预测,跳高1.65 m就很可能获得冠军.该校为了获取冠军,可能选哪位选手参赛?若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢?

18.(12分)某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中(每名同学只获得一个奖项)选出2名志愿者,参加运动会的服务工作.求:

(1)选出的2名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率;

(2)选出的2名志愿者中,1名是获得书法比赛一等奖,1名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.

19.(12分)在某地区,某项职业的从业者共约8.5万人,其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系,依据是否患有职业病,使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统计图:

(1)求样本中患病者的人数和图中a,b的值;

(2)试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数;

(3)某研究机构提出,可以选取常数X0=4.5,若一名从业者该项身体指标检测值大于X0,则判定其患有这种职业病;若检测值小于X0,则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者,按照这种方式判断其是否患病,求判断错误的概率.

20.(12分)计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,所有考试是否合格相互之间没有影响.

(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大?

(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.

21.(12分)为响应国家“学习强国”的号召,培养同学们的“社会主义核心价值观”,某校团委鼓励全校学生积极学习相关知识,并组织知识竞赛,今随机对其中的1 000名同学的初赛成绩(满分:100分)作统计,得到如图所示的频率分布直方图(有数据缺失).

请大家完成下面的问题:

(1)根据直方图求以下表格中x,y的值;

(2)求参赛同学初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(3)若从这1 000名参加初赛的同学中按分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本,再在该样本中成绩不低于80分的同学里任选2人继续参加教育局组织的校际比赛,求抽到的2人中恰好1人的分数低于90分且1人的分数不低于90分的概率.

22.(12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.

参考答案

第五章测评

1.A　2.D

3.A　由茎叶图可知甲的平均数为×(72+77+78+86+92)=81,×(78+82+88+90+92)=86,∴,由茎叶图中的数据可知乙的成绩比较集中,成绩比较稳定,而甲的成绩比较分散,所以乙比甲成绩稳定,故选A.

4.D

5.A　由统计数表可知,学习7小时的有6人,学习8小时的有10人,学习9小时的有9人,学习10小时的有8人,学习11小时的有7人,共有40人.学习8小时的人数最多,故学习党史时间的众数是8;由40%×40=16,故40%分位数为数据从小到大排序第16项与第17项数据的平均数,即=8.5,故学习党史时间的40%分位数是8.5.故选A.

6.D　设1表示取到正品,0表示取到次品,则样本空间Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0)}.则E={(1,1,1)},F={(0,0,0)},G={(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0)},F∩G=F,故F与G不互斥,故A,C错误;E∩G=⌀,E∪G=Ω,故E与G互斥且对立,故B错误,D正确.故选D.

7.B　P=P(A)+P()+P(C)=.故选B.

8.D　由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)的频率为0.25,因此,不及格的人数为4000×0.25=1000,故B正确;由频率分布直方图可得,平均分等于45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,故C正确;因为成绩在[40,70)的频率为0.45,由[70,80)的频率为0.3,所以中位数约为70+10×≈71.67,故D错误.故选D.

9.ABC　依题意,P(A)==0.55,P(B)==0.18,显然事件A,B互斥,则P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27.又事件B,C互斥,则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45,于是得选项A,B,C正确,选项D不正确.故选ABC.

10.AC　甲所中环数的平均数为

=7.9,

乙所中环数的平均数为

=7.5,

所以甲所中环数的平均数7.9大于乙所中环数的平均数7.5,选项A正确;甲所中环数的中位数为8,乙所中环数的中位数为7.5,所以甲所中环数的中位数大于乙所中环数的中位数,选项B错误;甲所中环数的方差为=0.89,乙所中环数的方差为=2.25,所以乙所中环数的方差大于甲所中环数的方差,选项C正确,选项D错误.故选AC.

11.ABD　设2个红球为a1,a2,2个白球为b1,b2,则样本空间为Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b2),(b2,a1),(b2,a2),(b2,b1)},共12个样本点,事件A={(b1,b2),(a1,a2),(b2,b1),(a2,a1)},共4个样本点;事件B={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2)},共6个样本点;事件C={(a2,a1),(b1,a1),(b2,a1),(a1,a2),(b1,a2),(b2,a2)},共6个样本点;事件D={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b2,a1),(b2,a2)},共8个样本点;由于P(A)=,P(B)=,P(AB)=,故P(A)P(B)=P(AB)成立,所以事件A与B相互独立,故A正确;由于A∩D=⌀,A∪D=Ω,故A与D是对立事件,故B正确;由于B∩C≠⌀,故B与C不互斥,故C不正确;由于P(D)=,P(B)=,P(BD)=,故P(B)P(D)=P(BD)成立,所以事件B与D相互独立,故D正确.故选ABD.

12.ABC　由题可得,样本空间可记为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含36个样本点.记A:m=1,则A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)},共包含6个样本点,则P(A)=,A选项正确;记B:m是偶数,则B={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含18个样本点,P(B)=,B选项正确;记C:m=n,则C={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共包含6个样本点,P(C)=,C选项正确;记D:m>n,则D={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},共包含15个样本点,P(D)=,D选项错误.故选ABC.

13.　记“甲获胜”为事件A,记“和棋”为事件B,记“乙获胜”为事件C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=1-P(A)-P(B)=1-,所以乙不输的概率为P=P(B∪C)=P(B)+P(C)=.

14.1,2,3,4,5,8(答案不唯一)

15.　依题意,以每相邻两天为一个样本点,如(16,17),(17,18)为不同的两个样本点,则从4月16号至30号期间,共有14个样本点,它们等可能,其中相邻两天不下雨有(16,17),(19,20),(20,21),(21,22),(22,23),(26,27),(27,28),(28,29),共8个样本点,所以运动会期间不下雨的概率为P=.

16.②④

17.解甲的平均成绩和方差如下:×(1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69,×[(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+…+(1.67-1.69)2]=0.0006.乙的平均成绩和方差如下:×(1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68,×[(1.60-1.68)2+(1.73-1.68)2+…+(1.75-1.68)2]=0.00315.显然,甲的平均成绩好于乙的平均成绩,而且甲的方差小于乙的方差,说明甲的成绩比乙稳定.由于甲的平均成绩高于乙,且成绩稳定,且甲1.65m以上的成绩有8次,乙1.65m以上的成绩有5次,所以若跳高1.65m就很可能获得冠军,应派甲参赛.由于甲1.70m以上的成绩有3次,乙1.70m以上的成绩有5次,所以若跳高1.70m就很可能获得冠军,应派乙参赛.

18.解(1)把4名获得书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4,2名获得绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.则样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点.用A表示“从6名同学中任选2名,都是获得书法比赛一等奖的同学”,则A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点.所以选出的2名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率P(A)=.

(2)用B表示“从6名同学中任选2名,1名是获得书法比赛一等奖,另1名是获得绘画比赛一等奖的同学”,则B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共8个样本点.所以选出的2名志愿者中,1名是获得书法比赛一等奖,1名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率P(B)=.

19.解(1)根据分层抽样原则,容量为100的样本中,患病者的人数为100×=40.a=1-0.10-0.35-0.25-0.15-0.10=0.05,b=1-0.10-0.20-0.30=0.40.

(2)由(1)可知,抽取的100名从业者中,患病者的人数为40,未患病的人数为60,该项身体指标检测值不低于5的样本中,患病者人数为40×(0.30+0.40)=28,未患病者人数为60×(0.10+0.05)=9,共37人.故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为×85000=31450.

(3)当X0=4.5时,在100个样本数据中,有40×(0.10+0.20)=12名患病者被误判为未患病,有60×(0.10+0.05)=9名未患病者被误判为患病,因此判断错误的概率为.

20.解(1)设“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格证书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性最大.

(2)设“三人进行两项考试后恰有两人获得合格证书”为事件D,则P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=.

21.解(1)因为个体在区间[50,60)内的频率是0.005×10=0.05,所以频数x=1000×0.05=50,在[60,70),[80,90)内的频率是相等的,为×(1-0.05-0.35-0.1)=0.25,所以频数y=1000×0.25=250.

(2)平均数=55×0.05+65×0.25+75×0.35+85×0.25+95×0.1=76,方差s2=(55-76)2×0.05+(65-76)2×0.25+(75-76)2×0.35+(85-76)2×0.25+(95-76)2×0.1=109.

(3)由分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本,则抽样比例为,所以在区间[80,90)和[90,100]内抽取的人数各为×250=5,×100=2,分别记这7人为a,b,c,d,e和M,N,则样本空间为Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,M),(a,N),(b,c),(b,d),(b,e),(b,M),(b,N),(c,d),(c,e),(c,M),(c,N),(d,e),(d,M),(d,N),(e,M),(e,N),(M,N)},共包含21个样本点.

记所求的事件为A,则A={(a,M),(a,N),(b,M),(b,N),(c,M),(c,N),(d,M),(d,N),(e,M),(e,N)},共包含10个样本点,所以抽到的2人中恰好1人的分数低于90分且1人的分数不低于90分的概率P(A)=.

22.解设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,B1,B2分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.则P(A1)=,P(A2)=.P(B1)=,P(B2)=.设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立,所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)·P(B1)=.因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.