高中5.4 统计与概率的应用综合训练题

第五章5.4　统计与概率的应用

A级 必备知识基础练

1.[探究点二·2023陕西榆林高二校考阶段练习]某抽奖活动中奖的概率为,这是指(　　)

A.买10 000张彩票一定能中奖

B.买10 000张彩票只能中奖1次

C.若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张必中奖

D.买一张彩票中奖的可能性是

2.[探究点二]某学生学习游泳,他每次游泳测试达标的概率都为60%,现采用随机模拟的方法估计该同学三次测试恰有两次达标的概率:先由计算器产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4表示未达标,5,6,7,8,9,0表示达标;再以每三个随机数为一组,代表三次测试的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:

917　966　891　925　271　932　872　458　569　683

431　257　393　027　556　488　730　113　507　989

据此估计,该同学三次测试恰有两次达标的概率为 (　　)

A.0.50 B.0.40 C.0.43 D.0.48

3.[探究点二]在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的身份证号码的尾数是奇数吗?”敏感的问题是:“你服用过兴奋剂吗?”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.

由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.如我们把这种方法用于300个被调查的运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为(　　)

A.4.33% B.3.33% C.3.44% D.4.44%

4.[探究点一]下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良.某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市,并停留2天(包括到达当天).此人停留期间只有1天空气质量优良的概率为(　　)

A. B. C. D.

5.[探究点三·2023山东烟台高一]博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则P1+P2=　　　　. 

6.[探究点一]流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定,当空气相对湿度大于65%或小于40%时,病毒繁殖滋生较快,当空气相对湿度在45%~55%时,病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度,共300个数据,整理得到数据分组及频数分布表,其中为了记录方便,将空气相对湿度在a%~b%时记为区间[a,b).

(1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率;

(2)从区间[15,35)的数据中任取两个数据,求恰有一个数据位于[25,35)内的概率;

(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组.

B级 关键能力提升练

7.某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则:

规则一:投掷一枚质地均匀的硬币,出现正面向上,甲发球,否则乙发球;

规则二:从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球;

规则三:从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球.

其中对甲、乙公平的规则是(　　)

A.规则一和规则二 

B.规则一和规则三

C.规则二和规则三 

D.规则二

C级 学科素养创新练

8.某大学就业部从该大学2021年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查,其中有一项是他们的月薪情况,经调查统计发现,他们的月薪在3 000元到10 000元之间,根据统计数据得到如下所示的频率分布直方图:

若月薪落在区间(-2s,+2s)的左侧,则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生,学校将联系本人,咨询月薪过低的原因,从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见.其中,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得s≈1 500元(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).

(1)现该校2021年大学本科毕业生张茗的月薪为3 600元,试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生;

(2)为感谢同学们对这项调查工作的支持,该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽取6人,各赠送一份礼品,并从这6人中再随机抽取2人,各赠送某款智能手机1部,求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5 000元的概率;

(3)位于某省的一高校2021年某专业本科毕业生共200人,现他们决定举办一次同学联谊会,并收取一定的活动费用.假定这200人与某大学就业部所抽取的样本的月薪分布情况相同,并用样本频率估计总体频率,现有两种收费方案:

方案一:按每人一个月薪水的10%收取;

方案二:月薪高于样本平均数的每人收取800元,月薪不低于4 000元但低于样本平均数的每人收取400元,月薪低于4 000元的不收取任何费用.

问:哪一种收费方案最终总费用较少?

参考答案

5.4　统计与概率的应用

1.D

2.A　因为这20个数据中符合条件的有917,891,925,872,458,683,257,027,488,730,共10个,所以所求事件的概率为=0.50,故选A.

3.B　在调查了300名运动员后,我们期望有150人回答了第一个问题,而这150人中又大约一半的人,即75人回答了“是”,其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂,由此估计这群人中服用过兴奋剂的大约占≈3.33%,故选B.

4.D　3月1日至3月14日中,若停留2天有(1,2),(2,3),…,(13,14),共有13种可能,停留期间只有1天空气质量优良的有(3,4),(6,7),(7,8),(11,12)共4种可能.所以对应概率为P=.

5.　三辆车的出车顺序可能为123,132,213,231,312,321,共6种情况.

方案一坐车可能:132,213,231,所以P1=;

方案二坐车可能:312,321,所以P2=.

故P1+P2=.

6.解(1)由已知,当空气相对湿度在45%~55%时,病毒死亡较快.

而样本在[45,55)上的频数为30,所以所求频率为.

(2)设事件A为“从区间[15,35)的数据中任取两个数据,恰有一个数据位于[25,35)内”,设区间[15,25)中的两个数据为a1,a2,区间[25,35)中的三个数据为b1,b2,b3,因此,从区间[15,35)的数据中任取两个数据,包含(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共10个样本点,而事件A包含(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共6个样本点,所以P(A)=.

(3)样本的平均数为=

≈68.43,故样本的平均数在第6组.

7.B　对于规则一,每人发球的概率都是,是公平的;

对于规则二,记2个红球分别为红1、红2,2个黑球分别为黑1、黑2,则随机取出2个球的所有样本点为(红1,红2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红2,黑1),(红2,黑2),(黑1,黑2),共包含6个样本点,其中同色的情况有2种,所以甲发球的可能性为,不公平;

对于规则三,记3个红球分别为红1、红2、红3,则随机取出2个球所有样本点为(红1,红2),(红1,红3),(红1,黑),(红2,红3),(红2,黑),(红3,黑),共包含6个样本点,其中同色的情况有3种,所以两人发球的可能性均为,是公平的.因此,对甲、乙公平的规则是规则一和规则三.故选B.

8.解(1)=3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650,

-2s=6650-3000=3650>3600,所以张茗属于“就业不理想”的学生.

(2)第一组有1000×0.00005×100=5(人),第二组有1000×0.00010×100=10(人),第三组有1000×0.00015×100=15(人),所以按照分层抽样抽6人时,第一组抽1人,记为A;第二组抽2人,记为B,C;第三组抽3人,记为D,E,F.

样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含15个样本点.记M:恰有一人月薪不超过5000元,则M={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共包含9个样本点.

根据古典概型的概率公式可得P(M)=.

(3)方案一:月薪在3000~4000元的共收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500(元);

月薪在4000~5000 元的共收取 1000×0.00010×200×4500×0.1=9000(元);

月薪在5000~6000元的共收取 1000×0.00015×200×5500×0.1=16500(元);

月薪在 6000~7000 元的共收取 1000×0.00030×200×6500×0.1=39000(元);

月薪在7000~8000 元的共收取 1000×0.00020×200×7500×0.1=30000(元);

月薪在8000~9000 元的共收取 1000×0.00015×200×8500×0.1=25500(元);

月薪在9000~10000 元的共收取 1000×0.00005×200×9500×0.1=9500(元).

故按方案一收费的最终总费用为133000 元.

方案二:月薪高于6650元的共收取800×200×[(7000-6650)×0.00030+1000×(0.00020+0.00015+0.00005)]=80800(元);

月薪不低于4000元但低于 6650元的共收取400×200×[(6650-6000)×0.00030+1000×(0.00010+0.00015)]=35600(元).

故按方案二收费的最终总费用为116400元.

因为 116400<133000,所以方案二的最终总费用较少.