考点01 与三角形有关的线段11种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

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考点01 与三角形有关的线段11种常见考法归类

1，三角形的判断方法
三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
2， 三角形的个数判断方法：
（方法一）按图形形成的过程去数（即重新画一遍图形，按照三角形形成的先后顺序去数)；
（方法二）可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数；
（方法三)先固定一个顶点，不断变换另两个顶点来数.总而言之，必须按照一定的顺序去数，这样才能不重不漏
3， 三角形的分类
(1)按角分类：

(2)按边分类：

4，三角形的稳定性的判断
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
  （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
5，判断能否组成三角形的方法
只需要将两条较短的线段长的和与最长的线段长作比较即可.若较短的两条线段长的和小于或等于最长的线段长，则这三条线段不能组成三角形；若较短的两条线段长的和大于最长的线段长，则这三条线段能组成三角形。
6， 确定第三边的长或取值范围的方法
已知三角形的两条边长，利用三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边，确定第三边长的取值范围，进而根据其他条件，确定第三边的长.
7， 解决与等腰三角形的边长或周长有关的问题的方法
当题目中没有明确已知边是底边还是腰时，则已知边可能是底边，也可能是腰，此时要分两种情况讨论；若已经明确已知边是腰或底边，则不需要分类讨论.
8， 三角形高和位置的判断的判断方法
（1）三角形的高是线段；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
9，三角形中线和位置的判断
（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
三角形的中线的应用：(1)三角形的一条中线平分其一边，将原三角形分成两个三角形，它们的周长差等于原三角形另两边长的差；(2)三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形.
10，三角形角平分线和位置的判断
（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
11，解决与三角形三边有关的绝对值化简问题的方法
如果绝对值里面有两个减号，利用“三角形两边的差小于第三边”可得绝对值里面的式子为负；当绝对值里面是一加一减时，利用“三角形两边的和大于第三边”可得绝对值里面的式子为正。
【第二关、高频考点】
考点1 三角形的识别
考点2 三角形的个数判断
考点3 三角形的分类
考点4 构成三角形的条件
考点5 确定第三边的长或取值范围
考点6 三角形高和位置关系的判断
考点7 根据中线求长度和面积
考点8 角平分线的应用
考点9 三角形稳定性的应用
考点10 三角形三边有关的绝对值化简问题

考点1 三角形的识别
1．（2019春·江西南昌·七年级南昌市外国语学校校考阶段练习）关于三角形的三个内角，下面说法错误的是（    ）
A．必须有一个内角不大于60° B．必须有一个内角不小于60°
C．最少有两个锐角 D．最多有两个锐角
【答案】D
【分析】根据三角形的定义和分类，进行解答即可．
【详解】解：A、三角形中必须有一个内角不大于60°，故A正确；
B、三角形中必须有一个内角不小于60°，故B正确；
C、三角形中最少有两个锐角，故C正确；
D、三角形中最少有两个锐角，当三个角都是锐角时，这个三角形是锐角三角形，故D错误；
故选择：D.
【点睛】本题考查了三角形的定义和分类，解题的关键是熟练掌握三角形的定义和分类.
2．（2019秋·贵州黔西·八年级校考阶段练习）下列说法中正确的是  （      ）
A．三角形的内角中至少有两个锐角 B．三角形的内角中至少有两个钝角
C．三角形的内角中至少有一个直角 D．三角形的内角中至少有一个钝角
【答案】A
【分析】利用三角形的特征分析．
【详解】根据三角形的内角和是180度可知：
A、三角形的内角中至少有两个锐角，正确；
B、三角形的内角中最多有1个钝角，故不对；
C、三角形的内角中最多有一个直角，故不对；
D、三角形的内角中最多有1个钝角．故不对；
故选A．
【点睛】主要考查了三角形的定义和分类．
3．（2019秋·八年级课时练习）三角形的一个外角等于和它相邻的内角,则这个三角形是(   )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】已知三角形的一个外角等于和它相邻的内角，根据这个外角和它相邻的内角和为180°，即可求得三角形的一个内角的度数，即可判断三角形的形状．
【详解】∵三角形的一个外角等于和它相邻的内角，这个外角和它相邻的内角和为180°，
∴这个外角和这个内角均为90°，
∴这个三角形是直角三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的外角，熟知三角形的外角和它相邻内角和为180°是解题的关键．
4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（　　）
A．B．C． D．
【答案】D
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。


考点2 三角形的个数判断

5．（2021春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）如图，图①中有3个以为高的三角形，图②中有10个以为高的三角形．图③中有为高的三角形，…，以此类推．则图⑥中以为高的三角形的个数为（      ）

A．55 B．78 C．96 D．105
【答案】B
【分析】结合图形探索三角形个数的规律，从而求解．
【详解】解：第①个图形中有1+2=3个三角形；
第②个图形中有1+2+3+4=10个三角形；
第③个图形中有1+2+3+4+5+6=21个三角形；
…
第n个图形中由1+2+3+4+5+2n=n(2n+1)个三角形
∴第⑥个图形三角形个数为1+2+3+…+12=6×13=78个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，得到第n个图形中三角形的个数的关系式是解决本题的关键．
6．（2022秋·青海西宁·八年级校考阶段练习）如图所示的图形中，三角形的个数共有(    )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形的定义判断即可．
【详解】解：有三个三角形：△ABC， △ACD，△ABD．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的识别，解题关键是熟练运用三角形的定义判断三角形，注意：不重不漏．
7．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，三角形的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据三角形的定义可直接进行解答．
【详解】解：由图可得：

三角形有：△ABC、△ABD、△ADC，所以三角形的个数为3个；
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的概念，正确理解三角形的概念是解题的关键．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）图中共有三角形的个数为　　

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．
【详解】图中有：，，，，，，共6个．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形的概念，掌握三角形的定义和按一定规律数是解决本题的关键．


考点3 三角形的分类

9．（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）下列分类正确的是（    ）
A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形
B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形
C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形
D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
【答案】D
【分析】根据三角形的分类即可求解．
【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.
10．（2023秋·七年级单元测试）现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（    ）
A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据三角形的分类，三角形的三边关系，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，故①正确；
②三角形的两边之差小于第三边，故②错误；
③三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形，的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形），故③错误
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确
∴上述说法中正确的有2个.
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的分类，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（    ）

A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【答案】B
【分析】根据三角形按照边的分类方法解答．
【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，
故选择B．
【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．
12．（2017春·七年级课时练习）下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　)
A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质知道，等腰三角形可分为钝角等腰、直角等腰和锐角等腰三角形，等边三角形每个角都是60°属于锐角三角形，由此可以依次判断各选项
【详解】A．一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，不是等边三角形,故错误
B．一个等腰三角形不一定是锐角三角形，或直角三角形，还可以为钝角三角形，故错误
C．一个直角三角形不一定不是等腰三角形，不是等边三角形，故错误
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形，正确
故选D
【点睛】掌握各三角形形状和角度是解决本题的关键，难度不大



考点4 构成三角形的条件

13．（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）下列给出的线段中能组成三角形的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系，逐一比较两条较小边的和与最大边的大小即可得答案．
【详解】A．，不能构成三角形，故该选项不符合题意，
B．，能构成三角形，故该选项符合题意，
C．，不能构成三角形，故该选项符合题意，
D．，不能构成三角形，故该选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
14．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）下列三条线段中，不能构成三角形的是（    ）
A．3，4，5 B．4，6，8 C．5，5，8 D．1，2，3
【答案】D
【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边进行分析即可．
【详解】解：A．，能构成三角形，故此选项不符合题意；
B．，能构成三角形，故此选项不符合题意；
C．，能构成三角形，故此选项不符合题意；
D．，不能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
15．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考期中）下列各组线段能组成三角形的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边即可求解．
【详解】解：A、，，能组成三角形，故本选项正确；
B、，，不能组成三角形，故本选项错误；
C、，，不能组成三角形，故本选项错误；
D、，，不组成三角形，故本选项错误.
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记三边关系是解题的关键．
16．（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校考开学考试）下列长度的三条线段能构成三角形的是(   )
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．2，2，5
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析即可得出答案．
【详解】根据三角形的三边关系，得：
A．，不能组成三角形；
B．，不能组成三角形；
C．，能够组成三角形；
D．，不能组成三角形．
故选择：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，需掌握三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．


考点5 确定第三边的长或取值范围

17．（2020秋·广东东莞·八年级统考期中）已知三角形的两边长分别为3、7，则第三边a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：∵三角形的两边长分别为3、7，
∴第三边的取值范围是则．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
18．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）已知中，，，那么第三边的长可能是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系，得到第三边的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：由三角形的三边关系可知，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
19．（2023秋·贵州遵义·八年级统考期末）如果一个三角形的两边长分别是4和9，则第三边的长可能是：（    ）
A．4 B．5 C．9 D．13
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，结合选项判断即可．
【详解】解：设第三边长为，
由三角形的三边关系，得，即，
∴它的第三边长可能是．
故选：C
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边之差小于第三边是解题的关键．
20．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）在中，的长不可能的是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系“三角形任意一边小于其它两边之和，大于两边之差”求出的取值范围，即可求出答案．
【详解】解：根据三角形的三边关系得，
即，
观察四个选项，的长不可能的是1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记“三角形任意一边小于其它两边之和，大于两边之差”是解决问题的关键．

考点6 三角形的高和位置关系的判断
21．（2023秋·浙江·八年级专题练习）下列各图中，正确画出边上的高的是（　　）
  
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【答案】D
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【详解】解：图①与不垂直，不符合题意；
图②不经过所对顶点B，不符合题意；
图③与不垂直，不符合题意；
图④与垂直，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，理解从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解题关键．
22．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在中，，若的面积为，则的面积为（    ）．
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于，再利用三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：过点作于，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：B．
  
【点睛】本题考查三角形的面积，解题的关键是结合图形进行恒等变换．
23．（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（    ）
A．三角形的角平分线是一条射线 B．三角形的三条中线总在三角形内部
C．钝角三角形的三条高都在三角形内部 D．三角形的三条中线的交点可能在三角形外部
【答案】B
【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断A；根据三角形的中线的定义及性质判断B、D；根据三角形的高的定义及性质判断C即可．
【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、三角形的三条中线总在三角形内部，说法正确，故此选项符合题意；
C、锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．原说法错误，故此选项不符合题意；
D、三角形的三条中线的交点一定在三角形内部，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，一个三角形有三条中线，这三条中线交于三角形内一点．
24．（2021秋·山东烟台·七年级统考期中）如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（　　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】直接根据钝角三角形的三条高线交于三角形的外部解答即可．
【详解】解：钝角三角形的三条高线交于三角形的外部，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三条高线交点的位置与三角形的形状的关系，即：锐角三角形的三条高线交于三角形的内部，直角三角形的三条高线交于三角形的直角的顶点，钝角三角形的三条高线交于三角形的外部．


考点7 根据中线求长度和面积
25．（2023秋·浙江·八年级专题练习）三角形三条中线（　　）
A．交点在三角形外 B．交点在三角形内
C．交点在三角形顶点 D．交点在三角形边上
【答案】B
【分析】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，据此即可判断．
【详解】解：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，
三角形的三条中线的交点一定在三角形内部，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，熟练掌握此定义是解题的关键．
26．（2023春·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，是的中线，，的周长与的周长差为(    )
  
A．2 B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】由题意知，，的周长为，的周长为，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，的周长为，的周长为，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了中线．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
27．（2022秋·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，AD为BC边上的中线，则与的周长之差为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据中线的定义得到BD=CD，再根据三角形周长公式分别表示出两个三角形的周长，然后作差即可．
【详解】解：∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AD+AC+CD，
∴△ABD的周长-△ACD的周长=AB+BD+AD-AD-AC-CD=AB-AC=3，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的定义，熟知三角形中线的定义是解题的关键．
28．（2022秋·湖南娄底·八年级统考期中）如图，在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则为（    ）
  
A．2 B．8 C．4 D．1
【答案】A
【分析】利用等底同高的三角形的面积相等，可先得到，即，同理可知，，从而得到，那么就可求出的面积．
【详解】解：∵D是的中点，
∴．
又∵E，F分别为，的中点，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查三角形的中线，掌握等底等高来求各个小三角形的面积是大三角形的面积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．

考点8 角平分线的应用

29．（2022秋·河南洛阳·八年级校考期末）下列说法正确的是（   ）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
【答案】B
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、只有锐角三角形三条高都在三角形内，故本选项不符合题意；
B、三角形三条中线相交于一点，正确，故本选项符合题意；
C、三角形的三条角平分线一定都在三角形内，故本选项不符合题意；
D、三角形的角平分线是线段，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，是基础题，熟记概念是解题的关键．
30．（2022·河北·统考中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ）

A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．
【详解】解：如图，

∵由折叠的性质可知，
∴AD是的角平分线，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
31．（2018·福建漳州·八年级统考期末）点P是△ABC内一点，且P到△ABC的三边距离相等，则P是△ABC哪三条线的交点（　　）
A．边的垂直平分线 B．角平分线
C．高线 D．中位线
【答案】B
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答．
【详解】∵P到△ABC的三边距离相等，
∴点P在△ABC的三条角平分线上，
∴P是△ABC三条角平分线的交点，
故选B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
32．（2022秋·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（　　）
①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠DCB=∠A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故③正确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误．
【详解】∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠DCB+B=90°，
∵∠A+∠B=90，
∴∠DCB=∠A，
∴①正确；
∵CE是RtABC斜边AB上的中线，
∴EA=EC=EB，
∴∠ACE=∠A，
∴∠DCB=∠A，
∴∠DCB=∠ACE，
∴②正确；
∵EC=EB，
∴∠B=∠BCE，
∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90，
∴∠B= ∠ACD，
∴∠ACD= ∠BCE，
∴③正确；
∵BC与BE不一定相等，
∴∠BCE 与∠BEC 不一定相等，
∴④不正确；
∴正确的个数为3个，
故答案为C.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．

考点9 三角形稳定性的应用
33．（2022秋·广西柳州·八年级校联考期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是（    ）．

A．三角形具有稳定性． B．两直线平行,内错角相等．
C．两点之间,线段最短． D．垂线段最短．
【答案】A
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解:人字梯中间一般会设计一“拉杆”,是为了形成三角形,利用三角形具有稳定性来增加其稳定性,
故选：A．
【点睛】题考查了三角形的性质,关键是根据三角形的稳定性解答．
34．（2019秋·山东潍坊·八年级统考期中）小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．
【详解】如图：

A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
35．（2022秋·山东临沂·八年级统考期中）在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是（　　）
A．电动伸缩门 B．升降台
C．栅栏   D．窗户
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性和四边形具有不稳定性进行辨别即可.
【详解】A. 由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门运用了平行四边形易变形的特性；
B. 升降台也是运用了四边形易变形的特性；
C.栅栏是由一些三角形焊接而成的，它具有稳定性；
D.窗户是由四边形构成，它具有不稳定性.
故选C.
【点睛】此题主要考查了平行四边形的特性是容易变形以及三角形具有稳定性．
36．（2018秋·山东济宁·八年级校联考期中）在生产和生活中，一些图形的性质得到广泛使用，请找出下列四个图形中使用性质与其它三个不同的是（　　）
A．     起重机 B．     活动挂架
C．          伸缩门 D．   升降平台
【答案】A
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】因为三角形具有稳定性，所以只有A应用三角形的稳定性，而其他三个选项是利用四边形的不稳定性，所以A使用性质与其它三个不同，
故选A．
【点睛】此题考查三角形的稳定性，关键是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性解答．



考点10 三角形的三边有关的绝对值化简问题

37．（2023秋·山东日照·八年级统考期末）已知，，是一个三角形的三边长，化简：（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形三边的关系得到吗，据此化简绝对值即可．
【详解】解：∵，，是一个三角形的三边长，
∴，
∴

，
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，整式的加减计算，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
38．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）已知a，b、c是的三条边长，化简的结果为（　　）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】解：∵a，b，c是的三条边长，
∴，
∴

．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三边关系化简绝对值．
39．（2023春·七年级课时练习）a，b，c是三角形的三边长，化简后等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值．
【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|﹣|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a+c﹣a﹣b＝b+c﹣a．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．
40．（2021春·全国·七年级专题练习）如果a、b、c分别是三角形的三条边，那么化简的结果是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系可得，，从而得出，，然后根据绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵a、b、c分别是三角形的三条边，
∴，，
∴，，
∴
=
=
故选B．
【点睛】此题考查的是三角形三边关系的应用和化简绝对值，掌握三角形的三边关系和绝对值的性质是解题关键．