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考点05 全等三角形的判定方法总结和尺规作图-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）
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这是一份考点05 全等三角形的判定方法总结和尺规作图-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版），文件包含考点05全等三角形的判定方法总结和尺规作图-原卷版docx、考点05全等三角形的判定方法总结和尺规作图-解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
考点05 全等三角形的判定方法总结和尺规作图
1 用SSS判定两个三角形全等的方法
方法技巧：SSS指的是利用边边边证明三角形全等，只要找到对应边分别相等，即可证明！
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
备注：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
2 用SAS判定两个三角形全等的方法
方法技巧：SAS指的是利用边角边证明两三角形全等，这个角必须是两对应边的夹角，切不可看成是SSA，SSA是不能作为判定三角形全等的方法的。
（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
备注：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
（2） 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
3 用ASA或AAS判定两个三角形全等的方法
方法技巧：此类主要是利用两角和一边，注意这个边可以是两角的夹边，也可以是角的对边或邻边！
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
备注：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
备注：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
4 用HL判定两个直角三角形全等的方法
方法技巧：HL 只适用于直角三角形的判定，指的是一直角边和一斜边。
（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
备注：
1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
5 尺规作角的方法
已知： ∠AOB。
求作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=∠AOB。
作法与示范：
（1）作射线O’A’
（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O’为圆心，以OC长为半径画弧，交O’A’于点C’
（4）以点C’为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D’；（5）过点D’作射线 O'B’
∠A'O'B' 就是所求作的角.
6 尺规作三角形的方法
1 已知三边作三角形
已知三边求作三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：
已知：线段a，b，c
求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b
作法与示范：
（1） 作线段AB=c
（2） 以点A为圆心，b为半径画弧
（3） 以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点C
（4） 连接AC，BC，△ABC即为所求
2、已知两边及其夹角作三角形
已知两边及其夹角作三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：
已知：线段a，b，∠α
求作：△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=b
作法与示范：
（1） 作∠MBN=∠α
（2） 在射线BM，BN上分别截取线段BC=a，BA=b
（3） 连接AC，则△ABC为所求作的三角形
3、已知两角及其夹边作三角形
已知两角及其夹边求作三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：
已知：∠α，∠β，线段a
求作：△ABC，使∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，AB=a
作法与示范：
（1） 作线段AB=a
（2） 在AB同侧，作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，AD与BE相交于点C，则△ABC为所求.
7 全等三角形判定的综合应用
判定方法的选择
1、选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2、 如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
考点1 探究三角形全等的条件
考点2 证明两个三角形全等
考点3 利用三角形全等证明角相等
考点4 利用三角形全等证明线段相等
考点5 利用三角形全等证明线段的位置关系-垂直或平行关系
考点6 与全等三角形有关的动态问题
考点1 探究三角形全等的条件
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点B，F，C，E在同一直线上，，，如果根据“”判断，那么需要补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的判定方法，“”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．
【详解】解：需要补充的条件是，
在和中，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
2．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）如图，，添加下列条件中的一个后，能判定与全等的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定定理（定理、定理）逐个判断即可得．
【详解】解：①在和中，，
，则条件①符合题意；
②在和中，，
，则条件②符合题意；
③在和中，，
，则条件③符合题意；
④在和中，，
，则条件④符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
3．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）如图，点A、D、B、F在一条直线上，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由全等三角形的判定，逐项判断即可．
【详解】解：A、添加，不能判定，故此选项不符合题意；
B、由，得到，又，，由判定，故此选项符合题意；
C、由，得到，但两角分别是、的对角，不能判定，故此选项不符合题意；
D、由，得到，两角分别是，的对角，不能判定，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
4．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知．若添加一个条件后，可得，则在下列条件中，不能添加的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：选项A：添加不能判定，故本选项符合题意；
选项B：添加可用进行判定，故本选项不符合题意；
选项C：添加可用进行判定，故本选项不符合题意；
选项D：添加，可得，可用进行判定，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点2 证明两个三角形全等
5．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，再由平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
6．（2022秋·广西北海·八年级统考期中）如图，在和中，，和相交于点O，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质可得结论；
（2）利用全等三角形的性质得到，进而证得，结合，，利用全等三角形的判定可证得结论．
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴．
【点睛】本题考查三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法及其性质是解答的关键．
7．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点 C，F，E，B 在一条直线上，，，，求证：．
【答案】见详解
【分析】证明即可作答．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确全等三角形的判定是解答本题的关键．
8．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，点D在边上，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明，然后根据“”判断．
【详解】证明：∵，
而，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
9．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）已知，点B、E、C、F在同一直线上，，，．
(1)证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，再利用即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10．（2023春·山西晋中·七年级统考期末）已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．猜想与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】，理由见详解
【分析】由平行线的性质得，再证，然后证，即可得出结论．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理证明．
【详解】，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
12．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，，，点D在边上，，和相交于点O．求证： ．
【答案】见解析
【分析】根据外角性质得，可证得，再根据即可证得．
【详解】证明：，
即，
而，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及三角形外角性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定方法．
13．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，，是上的一点，且，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴．
【点睛】此题考查直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用全等三角形的判定解决问题．
14．（2023春·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，已知点，在线段上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据题意求得，根据直角三角形全等的判定和性质即可求证．
【详解】证明：，
，
即，
，
和都是直角三角形，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了线段的和差，直角三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题关键．
15．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1)求证：
(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据即可证明．
（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
【详解】（1）解：
在和中，
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
16．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知相交于点O，，于点M，于点N，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】证明三角形全等即可．
【详解】证明：∵，
∴，即．
∵于点M，于点N，
∴．
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查证明两个三角形全等．熟练掌握证明三角形全等，是解题的关键．
考点3 利用三角形全等证明角相等
17．（2023春·江苏淮安·七年级校联考期末）如图，已知，，，点，，，在同一条直线上．
求证：．
【答案】见解析
【分析】先由线段的和差求出，再根据两直线平行，内错角相等得出，即可根据边角边证明，最后由全等三角形的性质求解即可．
【详解】∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考阶段练习）如图，已知，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，AD=CD．
求证：BD平分∠ABC．
【答案】见解析
【分析】延长至点，使得，先证明和全等，利用全等的性质得到即可．
【详解】证明：延长至点，使得， 连，
，，
在和中，
，
，
，
，
平分．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，熟练三角形全等的判定，合理的添加辅助线是解题的关键．
19．（2023春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）已知：如图，点在线段上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据线段的和差得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
20．（2020秋·广东东莞·八年级统考期中）如图，点F、C在上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据等式的性质可得，然后再判定，再根据全等三角形的性质可得．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
考点4 利用三角形全等证明线段相等
21．（2020秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，，．
(1)求证：平分．
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据已知条件证明，得到，即可证明平分；
（2）利用证明，再根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）在和中，
，
，
，
平分
（2）由（1）知，
在和中，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，，熟练掌握知识点证明是解题的关键．
22．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，直线经过线段的中点．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据证明，得出，再根据证明，即可得出答案．
【详解】证明：∵在和中，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中，，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
23．（2022秋·吉林·八年级校考期末）已知：如图，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先由得出 由得出 从而得出由全等即可得结论．
【详解】解：
在与中，
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
24．（2021秋·江西萍乡·八年级统考期中）如图，在中，已知，平分，点，分别在，边上，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据题意可得，根据平分，可得，根据“边角边”可证，由此即可求解．
【详解】证明：，，，
，
平分，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
考点5 利用三角形全等证明线段的位置关系-垂直或平行关系
25．（2023·全国·八年级假期作业）已知、是的高，点P在的延长线上，，点Q在上，．判断线段和的关系，并证明．
【答案】且，理由见解析
【分析】先根据证明，得出，，再根据，得出，即可得出结论．
【详解】解：且．理由如下：
∵，是的高，
∴，
∴，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴且．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明．
26．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，在和中，，，连接，与交于点，与交于点．与有何关系？证明你的结论．
【答案】
【分析】通过证明，利用全等三角形的性质，求解即可．
【详解】证明：∵，
∴，即．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
又∵，，
∴，即
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
27．（2022秋·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，是的高，点F、G分别在射线BD、CE上，且，连接AG，AF．
(1)如图1，写出线段的关系并证明；
(2)如图2，写出线段的关系并证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）先证得，可利用，证明，可得，从而得到，即可求解；
（2）先证得，可利用，证明，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解∶ ．证明如下：
∵是的高，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∴．
即．
（2）解∶ ．证明如下：
∵是的高，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
即．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
28．（2022秋·辽宁鞍山·八年级校联考期中）如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在射线上截取，连接、．猜想线段与的关系，并证明你的猜想．
【答案】猜想：，；证明见解析
【分析】分两种：即数量关系和位置关系：由、分别是、两边上的高，利用三角形高的定义得到，由，利用三角形内角和定理得到，可证明，由全等三角形的对应边相等可得出数量关系；利用全等得出，再利用三角形的外角的性质得到，又，利用等量代换可得出，即可得出位置关系．
【详解】猜想：，．
证明：∵、分别是、两边上的高，
∴，，
又∵，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形高的定义．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
考点6 全等三角形的动态问题
29．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图1，已知正方形的边长为16，点P为正方形边上的动点，动点P从点A出发，沿着运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．
(1)如图2，当时， ______；
(2)如图3，当点P在边上运动时， _____；
(3)当时， ______；
(4)若点E是边上一点且，连接，在正方形的边上是否存在一点P，使得与全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)32
(2)128
(3)3或45
(4)存在，或38时，使得与全等
【分析】（1）由，可得，然后由，求得答案；
（2）直接由，求得答案；
（3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案；
（4）分两种情况，当点P在边或边上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于x的方程求解即可
【详解】（1）∵，
∴；
故答案为：32；
（2）∵点P在边上运动，
∴；
故答案为：128；
（3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，
当点P在边上运动时，
∵，
∴，
解得，，
即；
当点P在边上运动时，
∵，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，当时，或45；
（4）当点P在边或边上运动时，存在一点P，使得与全等．
如图4，当点P在上时，
假设，则有，
∴，即．
如图5，当点P在上时，，
∴，
∴，
综上所述，或38时，使得与全等．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
30．（2023春·江苏淮安·七年级校联考期末）如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．
(1)当时，；当时，；
(2)如图①，当时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度．
【答案】(1)
(2)或
(3)运动的速度为或或或
【分析】（1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；
（2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可；
（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可
【详解】（1）当时，点P在线段上，
∵点P速度为，
∴；
当时，点P在线段上，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
①当点P在上时，
，
∴，
；
②当点P在上时，
过点C作于点D，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
；
故答案为：或；
（3）设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点P在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
④当点P在上，点Q在上，时
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
∴运动的速度为或或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
31．（2020秋·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，已知A（-2，0），B（0，-4），C（1，1），点P为线段OB上一动点（不包括O），CD⊥CP交x轴于D，当P点运动时：
（1）求证：∠CPO=∠CDO；
（2）求证：CP=CD；
（3）求：ADBP的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ADBP=8．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据，即可求证；
（2）过作⊥轴于点，⊥轴于点，则，求出，因为CD⊥CP，所以，进而证明≌即可；
（3）由已知条件可知，，根据≌得，则，代入即可得ADBP的值．
【详解】（1）∵CD⊥CP，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过作⊥轴于点，⊥轴于点，
则，
∵C（1，1），
∴，
∵CD⊥CP，，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴CP=CD；
（3）ADBP的值不变，
∵A（-2，0），B（0，-4），C（1，1），
∴，，
∵≌，
∴，
∵，
∴，
∴的值不变，是8．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线并求出≌是解答此题的关键．
32．（2019秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，AB＝12米，CA⊥AB，垂足为点A，DB⊥AB，垂足为B，动点P从点B沿BA向点A方向移动，每分钟走1m，同时，点Q从点B沿BD向点D方向移动，每分钟走2m，已知CA＝4m，几分钟后，△CAP≌PBQ？说明理由．
【答案】4分钟后，△CAP≌PBQ，理由见解析.
【分析】设x分钟后，△CAP≌PBQ；由题意得出BP=x米，BQ=2x米，则AP=12-x（米），分两种情况：①当BP=AC=4时，x=4，由SAS得出△CAP≌PBQ；②当BP=AP时，x=12-x，解得：x=6，得出△CAP与PBQ不全等；即可得出结论．
【详解】4分钟后，△CAP≌PBQ，理由如下：
设x分钟后，△CAP≌PBQ；
根据题意得：BP＝x米，BQ＝2x米，则AP＝12﹣x（米），
分两种情况：
①当BP＝AC＝4时，x＝4，AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，
∴AP＝BQ，
在△CAP和△PBQ中，
∴△CAP≌PBQ（SAS）；
②当BP＝AP时，x＝12﹣x，
解得：x＝6，
则BQ＝12，AP＝6，
∵AC＝4，
∴AC≠BQ，
∴△CAP与PBQ不全等；
综上所述：4分钟后，△CAP≌PBQ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
考点05 全等三角形的判定方法总结和尺规作图
1 用SSS判定两个三角形全等的方法
方法技巧：SSS指的是利用边边边证明三角形全等，只要找到对应边分别相等，即可证明！
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
备注：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
2 用SAS判定两个三角形全等的方法
方法技巧：SAS指的是利用边角边证明两三角形全等，这个角必须是两对应边的夹角，切不可看成是SSA，SSA是不能作为判定三角形全等的方法的。
（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
备注：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
（2） 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
3 用ASA或AAS判定两个三角形全等的方法
方法技巧：此类主要是利用两角和一边，注意这个边可以是两角的夹边，也可以是角的对边或邻边！
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
备注：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
备注：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
4 用HL判定两个直角三角形全等的方法
方法技巧：HL 只适用于直角三角形的判定，指的是一直角边和一斜边。
（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
备注：
1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
5 尺规作角的方法
已知： ∠AOB。
求作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=∠AOB。
作法与示范：
（1）作射线O’A’
（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O’为圆心，以OC长为半径画弧，交O’A’于点C’
（4）以点C’为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D’；（5）过点D’作射线 O'B’
∠A'O'B' 就是所求作的角.
6 尺规作三角形的方法
1 已知三边作三角形
已知三边求作三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：
已知：线段a，b，c
求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b
作法与示范：
（1） 作线段AB=c
（2） 以点A为圆心，b为半径画弧
（3） 以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点C
（4） 连接AC，BC，△ABC即为所求
2、已知两边及其夹角作三角形
已知两边及其夹角作三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：
已知：线段a，b，∠α
求作：△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=b
作法与示范：
（1） 作∠MBN=∠α
（2） 在射线BM，BN上分别截取线段BC=a，BA=b
（3） 连接AC，则△ABC为所求作的三角形
3、已知两角及其夹边作三角形
已知两角及其夹边求作三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：
已知：∠α，∠β，线段a
求作：△ABC，使∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，AB=a
作法与示范：
（1） 作线段AB=a
（2） 在AB同侧，作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，AD与BE相交于点C，则△ABC为所求.
7 全等三角形判定的综合应用
判定方法的选择
1、选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2、 如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
考点1 探究三角形全等的条件
考点2 证明两个三角形全等
考点3 利用三角形全等证明角相等
考点4 利用三角形全等证明线段相等
考点5 利用三角形全等证明线段的位置关系-垂直或平行关系
考点6 与全等三角形有关的动态问题
考点1 探究三角形全等的条件
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点B，F，C，E在同一直线上，，，如果根据“”判断，那么需要补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的判定方法，“”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．
【详解】解：需要补充的条件是，
在和中，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
2．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）如图，，添加下列条件中的一个后，能判定与全等的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定定理（定理、定理）逐个判断即可得．
【详解】解：①在和中，，
，则条件①符合题意；
②在和中，，
，则条件②符合题意；
③在和中，，
，则条件③符合题意；
④在和中，，
，则条件④符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
3．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）如图，点A、D、B、F在一条直线上，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由全等三角形的判定，逐项判断即可．
【详解】解：A、添加，不能判定，故此选项不符合题意；
B、由，得到，又，，由判定，故此选项符合题意；
C、由，得到，但两角分别是、的对角，不能判定，故此选项不符合题意；
D、由，得到，两角分别是，的对角，不能判定，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
4．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知．若添加一个条件后，可得，则在下列条件中，不能添加的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：选项A：添加不能判定，故本选项符合题意；
选项B：添加可用进行判定，故本选项不符合题意；
选项C：添加可用进行判定，故本选项不符合题意；
选项D：添加，可得，可用进行判定，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点2 证明两个三角形全等
5．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，再由平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
6．（2022秋·广西北海·八年级统考期中）如图，在和中，，和相交于点O，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质可得结论；
（2）利用全等三角形的性质得到，进而证得，结合，，利用全等三角形的判定可证得结论．
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴．
【点睛】本题考查三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法及其性质是解答的关键．
7．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点 C，F，E，B 在一条直线上，，，，求证：．
【答案】见详解
【分析】证明即可作答．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确全等三角形的判定是解答本题的关键．
8．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，点D在边上，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明，然后根据“”判断．
【详解】证明：∵，
而，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
9．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）已知，点B、E、C、F在同一直线上，，，．
(1)证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，再利用即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10．（2023春·山西晋中·七年级统考期末）已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．猜想与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】，理由见详解
【分析】由平行线的性质得，再证，然后证，即可得出结论．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理证明．
【详解】，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
12．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，，，点D在边上，，和相交于点O．求证： ．
【答案】见解析
【分析】根据外角性质得，可证得，再根据即可证得．
【详解】证明：，
即，
而，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及三角形外角性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定方法．
13．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，，是上的一点，且，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴．
【点睛】此题考查直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用全等三角形的判定解决问题．
14．（2023春·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，已知点，在线段上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据题意求得，根据直角三角形全等的判定和性质即可求证．
【详解】证明：，
，
即，
，
和都是直角三角形，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了线段的和差，直角三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题关键．
15．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1)求证：
(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据即可证明．
（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
【详解】（1）解：
在和中，
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
16．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知相交于点O，，于点M，于点N，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】证明三角形全等即可．
【详解】证明：∵，
∴，即．
∵于点M，于点N，
∴．
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查证明两个三角形全等．熟练掌握证明三角形全等，是解题的关键．
考点3 利用三角形全等证明角相等
17．（2023春·江苏淮安·七年级校联考期末）如图，已知，，，点，，，在同一条直线上．
求证：．
【答案】见解析
【分析】先由线段的和差求出，再根据两直线平行，内错角相等得出，即可根据边角边证明，最后由全等三角形的性质求解即可．
【详解】∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考阶段练习）如图，已知，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，AD=CD．
求证：BD平分∠ABC．
【答案】见解析
【分析】延长至点，使得，先证明和全等，利用全等的性质得到即可．
【详解】证明：延长至点，使得， 连，
，，
在和中，
，
，
，
，
平分．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，熟练三角形全等的判定，合理的添加辅助线是解题的关键．
19．（2023春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）已知：如图，点在线段上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据线段的和差得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
20．（2020秋·广东东莞·八年级统考期中）如图，点F、C在上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据等式的性质可得，然后再判定，再根据全等三角形的性质可得．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
考点4 利用三角形全等证明线段相等
21．（2020秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，，．
(1)求证：平分．
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据已知条件证明，得到，即可证明平分；
（2）利用证明，再根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）在和中，
，
，
，
平分
（2）由（1）知，
在和中，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，，熟练掌握知识点证明是解题的关键．
22．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，直线经过线段的中点．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据证明，得出，再根据证明，即可得出答案．
【详解】证明：∵在和中，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中，，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
23．（2022秋·吉林·八年级校考期末）已知：如图，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先由得出 由得出 从而得出由全等即可得结论．
【详解】解：
在与中，
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
24．（2021秋·江西萍乡·八年级统考期中）如图，在中，已知，平分，点，分别在，边上，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据题意可得，根据平分，可得，根据“边角边”可证，由此即可求解．
【详解】证明：，，，
，
平分，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
考点5 利用三角形全等证明线段的位置关系-垂直或平行关系
25．（2023·全国·八年级假期作业）已知、是的高，点P在的延长线上，，点Q在上，．判断线段和的关系，并证明．
【答案】且，理由见解析
【分析】先根据证明，得出，，再根据，得出，即可得出结论．
【详解】解：且．理由如下：
∵，是的高，
∴，
∴，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴且．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明．
26．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，在和中，，，连接，与交于点，与交于点．与有何关系？证明你的结论．
【答案】
【分析】通过证明，利用全等三角形的性质，求解即可．
【详解】证明：∵，
∴，即．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
又∵，，
∴，即
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
27．（2022秋·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，是的高，点F、G分别在射线BD、CE上，且，连接AG，AF．
(1)如图1，写出线段的关系并证明；
(2)如图2，写出线段的关系并证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）先证得，可利用，证明，可得，从而得到，即可求解；
（2）先证得，可利用，证明，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解∶ ．证明如下：
∵是的高，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∴．
即．
（2）解∶ ．证明如下：
∵是的高，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
即．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
28．（2022秋·辽宁鞍山·八年级校联考期中）如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在射线上截取，连接、．猜想线段与的关系，并证明你的猜想．
【答案】猜想：，；证明见解析
【分析】分两种：即数量关系和位置关系：由、分别是、两边上的高，利用三角形高的定义得到，由，利用三角形内角和定理得到，可证明，由全等三角形的对应边相等可得出数量关系；利用全等得出，再利用三角形的外角的性质得到，又，利用等量代换可得出，即可得出位置关系．
【详解】猜想：，．
证明：∵、分别是、两边上的高，
∴，，
又∵，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形高的定义．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
考点6 全等三角形的动态问题
29．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图1，已知正方形的边长为16，点P为正方形边上的动点，动点P从点A出发，沿着运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．
(1)如图2，当时， ______；
(2)如图3，当点P在边上运动时， _____；
(3)当时， ______；
(4)若点E是边上一点且，连接，在正方形的边上是否存在一点P，使得与全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)32
(2)128
(3)3或45
(4)存在，或38时，使得与全等
【分析】（1）由，可得，然后由，求得答案；
（2）直接由，求得答案；
（3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案；
（4）分两种情况，当点P在边或边上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于x的方程求解即可
【详解】（1）∵，
∴；
故答案为：32；
（2）∵点P在边上运动，
∴；
故答案为：128；
（3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，
当点P在边上运动时，
∵，
∴，
解得，，
即；
当点P在边上运动时，
∵，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，当时，或45；
（4）当点P在边或边上运动时，存在一点P，使得与全等．
如图4，当点P在上时，
假设，则有，
∴，即．
如图5，当点P在上时，，
∴，
∴，
综上所述，或38时，使得与全等．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
30．（2023春·江苏淮安·七年级校联考期末）如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．
(1)当时，；当时，；
(2)如图①，当时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度．
【答案】(1)
(2)或
(3)运动的速度为或或或
【分析】（1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；
（2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可；
（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可
【详解】（1）当时，点P在线段上，
∵点P速度为，
∴；
当时，点P在线段上，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
①当点P在上时，
，
∴，
；
②当点P在上时，
过点C作于点D，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
；
故答案为：或；
（3）设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点P在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
④当点P在上，点Q在上，时
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
∴运动的速度为或或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
31．（2020秋·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，已知A（-2，0），B（0，-4），C（1，1），点P为线段OB上一动点（不包括O），CD⊥CP交x轴于D，当P点运动时：
（1）求证：∠CPO=∠CDO；
（2）求证：CP=CD；
（3）求：ADBP的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ADBP=8．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据，即可求证；
（2）过作⊥轴于点，⊥轴于点，则，求出，因为CD⊥CP，所以，进而证明≌即可；
（3）由已知条件可知，，根据≌得，则，代入即可得ADBP的值．
【详解】（1）∵CD⊥CP，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过作⊥轴于点，⊥轴于点，
则，
∵C（1，1），
∴，
∵CD⊥CP，，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴CP=CD；
（3）ADBP的值不变，
∵A（-2，0），B（0，-4），C（1，1），
∴，，
∵≌，
∴，
∵，
∴，
∴的值不变，是8．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线并求出≌是解答此题的关键．
32．（2019秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，AB＝12米，CA⊥AB，垂足为点A，DB⊥AB，垂足为B，动点P从点B沿BA向点A方向移动，每分钟走1m，同时，点Q从点B沿BD向点D方向移动，每分钟走2m，已知CA＝4m，几分钟后，△CAP≌PBQ？说明理由．
【答案】4分钟后，△CAP≌PBQ，理由见解析.
【分析】设x分钟后，△CAP≌PBQ；由题意得出BP=x米，BQ=2x米，则AP=12-x（米），分两种情况：①当BP=AC=4时，x=4，由SAS得出△CAP≌PBQ；②当BP=AP时，x=12-x，解得：x=6，得出△CAP与PBQ不全等；即可得出结论．
【详解】4分钟后，△CAP≌PBQ，理由如下：
设x分钟后，△CAP≌PBQ；
根据题意得：BP＝x米，BQ＝2x米，则AP＝12﹣x（米），
分两种情况：
①当BP＝AC＝4时，x＝4，AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，
∴AP＝BQ，
在△CAP和△PBQ中，
∴△CAP≌PBQ（SAS）；
②当BP＝AP时，x＝12﹣x，
解得：x＝6，
则BQ＝12，AP＝6，
∵AC＝4，
∴AC≠BQ，
∴△CAP与PBQ不全等；
综上所述：4分钟后，△CAP≌PBQ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
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