人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题01与三角形有关的线段(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题01与三角形有关的线段(原卷版+解析)，共38页。

◎题型1：三角形的有关概念
三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
备注：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
例．(2023·江苏·宜兴市实验中学七年级阶段练习）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是直角三角形B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，与没有公共边的三角形是( )
A．B．C．D．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·全国·七年级）如图，在的正方形网格中，能画出与“格点”面积相等的“格点正方形”有（ ）个．
A．2B．4C．6D．8
◎题型2：三角形的个数问题
例．（2023·重庆巫溪·八年级期末）如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（ ）
A．10B．15C．21D．28
变式1．（2023·福建·模拟预测）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
变式2．（2023·重庆南开中学七年级期中）如图，图①中有3个以为高的三角形，图②中有10个以为高的三角形．图③中有为高的三角形，…，以此类推．则图⑥中以为高的三角形的个数为（ ）
A．55B．78C．96D．105
变式3．(2023·浙江·温州育英学校八年级阶段练习）图中，三角形的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
◎题型3：三角形的分类
(1)按角分类：
备注：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
(2)按边分类：
备注：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
②等边三角形：三边都相等的三角形.
例．(2023·重庆市第七中学校七年级期中）在中，，比小，则是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法判断
变式1．(2023·湖北黄石·八年级期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
变式2．（2023·宁夏·固原市原州区三营中学八年级阶段练习）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
变式3．（2023·全国·七年级课时练习）锐角中，，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
◎题型4：三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
备注：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
例．(2023·河北保定外国语学校一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·重庆巴南·八年级期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变型，至少要再钉上n根木条，这里的n=（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式2．(2023··八年级期末）如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．三角形具有稳定性
D．三角形的任意两边之和大于第三边
变式3．（2023·陕西渭南·八年级期中）下列物品不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架B．三角形房架
C．高架桥的三角形结构D．伸缩晾衣架
◎题型5：三角形的三边关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
备注：（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系.
例．(2023·重庆巴蜀中学七年级期中）下列三条线段，首尾顺次相连不能围成三角形的是（ ）
A．2、4、5B．10、10、10C．3、3、6D．7、24、25
变式1．(2023·湖北武汉·八年级期中）如图，在中，若D，E分别为的中点，若，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·四川达州·七年级期末）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜32B．0＜x＜16C．8＜x＜16D．8＜x＜32
变式3．(2023·山东泰安·七年级期末）在中，、、的对边分别是、、，则下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．，D．
◎题型6：三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
备注：（1）三角形的高是线段；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
例．(2023·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是ABC的AC边上的高线B．线段CD是ABC的AB边上的高线
C．线段AD是ABC的BC边上的高线D．线段AD是ABC的AC边上的高线
变式1．(2023·陕西师大附中三模）如图，是的高，是的角平分线，，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝CFB．∠BAF＝∠CAF
C．∠B＋∠BAD＝90°D．
变式3．（2023·山东·乳山市教学研究中心二模）【信息阅读】垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直线）交于一点，该点叫三角形的垂心．
【问题解决】如图，在中，，，H为的垂心，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
◎题型7：三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.
备注：（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
例．(2023·山东省济南实验初级中学七年级期中）如图，在中，BD为AC边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为（ ）
A．17B．23C．25D．28
变式1．(2023·河北保定·三模）下列尺规作图，能确定是的中线的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是（ ）
A．角平分线B．高C．中线D．不能确定
变式3．(2023·河北邯郸·七年级阶段练习）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则的面积为（ ）
A．8平方厘米B．12平方厘米C．16平方厘米D．18平方厘米
◎题型8：三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
备注：（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
例．(2023·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
变式1．(2023·广东佛山·七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形的内部B．等边三角形一角的平分线是一条射线
C．三个角对应相等的三角形全等D．两直角边对应相等的两个直角三角形全等．
变式2．（2023·江苏·无锡市侨谊实验中学三模）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD，②BC边上的角平分线AE，③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，所有能够通过折纸折出的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
变式3．(2023·浙江杭州·八年级期末）在中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A．B．C．D．
专题01 与三角形有关的线段
【思维导图】
◎题型1：三角形的有关概念
三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
备注：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
例．(2023·江苏·宜兴市实验中学七年级阶段练习）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是直角三角形B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
答案：C
【解析】
分析：
分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．
【详解】
如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，与没有公共边的三角形是( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
直接找两个三角形的公共边即可．
【详解】
解：三角形的公共边即两个三角形共同的边．
，两个三角形没有公共边；
，两个三角形的公共边为；
，两个三角形的公共边为；
，两个三角形的公共边为．
故选．
【点睛】
此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据三角形的定义判断即可．
【详解】
三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的定义考查，准确理解是解题的关键．
变式3．(2023·全国·七年级）如图，在的正方形网格中，能画出与“格点”面积相等的“格点正方形”有（ ）个．
A．2B．4C．6D．8
答案：C
【解析】
分析：
求出的面积为4，然后作出面积为4的格点正方形即可．
【详解】
解：，
则可画出的格点正方形如图：
共有6个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了格点图形的面积计算，掌握基本图形的性质是解题的关键．
◎题型2：三角形的个数问题
例．（2023·重庆巫溪·八年级期末）如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（ ）
A．10B．15C．21D．28
答案：C
【解析】
分析：
根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答．
【详解】
解：第①个图中三角形的个数为1；
第②个图中三角形的个数为3=1+2；
第③个图中三角形的个数为6=1+2+3；
…，
故第n个图中三角形的个数为，
故第⑥个图形中三角形的个数为：，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值．
变式1．（2023·福建·模拟预测）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
答案：A
【解析】
分析：
根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得．
【详解】
A、拿掉，，后，剩下的图形如下：
图形中恰好有7个三角形，此项符合题意；
B、拿掉，，后，剩下的图形如下：
图形中有4个三角形，此项不符题意；
C、拿掉，，后，剩下的图形如下：
图形中有6个三角形，此项不符题意；
D、拿掉，，后，剩下的图形如下：
图形中有9个三角形，此项不符题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键．
变式2．（2023·重庆南开中学七年级期中）如图，图①中有3个以为高的三角形，图②中有10个以为高的三角形．图③中有为高的三角形，…，以此类推．则图⑥中以为高的三角形的个数为（ ）
A．55B．78C．96D．105
答案：B
【解析】
分析：
结合图形探索三角形个数的规律，从而求解．
【详解】
解：第①个图形中有1+2=3个三角形；
第②个图形中有1+2+3+4=10个三角形；
第③个图形中有1+2+3+4+5+6=21个三角形；
…
第n个图形中由1+2+3+4+5+2n=n(2n+1)个三角形
∴第⑥个图形三角形个数为1+2+3+…+12=6×13=78个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查图形的变化规律，得到第n个图形中三角形的个数的关系式是解决本题的关键．
变式3．(2023·浙江·温州育英学校八年级阶段练习）图中，三角形的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：A
【解析】
分析：
根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．
【详解】
解：图中是三角形的有：△ABC、△ADE、△BDF、△DEF、△CEF共5个．
故选A．
【点睛】
此题考查三角形，解题关键在于掌握其性质.
◎题型3：三角形的分类
(1)按角分类：
备注：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
(2)按边分类：
备注：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
②等边三角形：三边都相等的三角形.
例．(2023·重庆市第七中学校七年级期中）在中，，比小，则是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法判断
答案：C
【解析】
分析：
根据，比小，求出和的度数，作出选择即可．
【详解】
解：∵中，，比小，
∴，
∴，
∴是锐角三角形，
故选：C．
【点睛】
本题考查了角度的计算，三角形内角和定理，掌握钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的角的特征是解答本题的关键．
变式1．(2023·湖北黄石·八年级期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
答案：B
【解析】
分析：
根据三角形按照边的分类方法解答．
【详解】
解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，
故选择B．
【点睛】
本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．
变式2．（2023·宁夏·固原市原州区三营中学八年级阶段练习）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
答案：A
【解析】
分析：
利用三角形内角和定理求出三角形的内角即可判断．
【详解】
解：∵三角形三个内角的度数之比为1：2：3，
∴这个三角形的内角分别为，，,
∴这个三角形是直角三角形，
故选A．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理和三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识．
变式3．（2023·全国·七年级课时练习）锐角中，，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据锐角三角形的定义：三个角都小于90度的三角形和三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=2∠B，∠A＜90°，∠B＜90°，∠C＜90°，
∴∠A+3∠B=180°，2∠B＜90°，
∴∠A=180°-3∠B＜90°，∠B