河南省郑州文华高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

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填空题
12．①②③ 13．/ 14．
15．(1)6 (2)证明见解析
【详解】（1）解：在直四棱柱中，，
易得，，，两两垂直.
故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ,
，，，．
，．
．
（2）证明：由（1）得：．
令，即 ，解得，
．
故C，E，F，G四点共面．
16．(1)∥平面，证明见解析 (2)
【详解】（1）平面．
证明如下：如图，延长、交于，
因为，所以三角形为正三角形，
因为，所以为三角形的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）在平面内，过点作射线垂直于，
因为平面，所以可以为坐标原点，射线、，分别为、、轴建立空间直角坐标系，
由已知条件得，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则
不妨设，
设平面的一个法向量为，
则
不妨设，
所以．
17．(1) (2)证明见解析
【详解】（1）设，则，
∵，则.
∵，∴.
故线段的长为.
（2）证明：∵，∴.
故.
18．；（1）；（2）;（3）．(Ⅰ)的坐标为或；
；(Ⅱ)
【详解】（1）直线的斜率为，
所以直线的方程为.
（2）由解得，
设所求直线方程为，代入得，
故所求直线方程为.
（3）．【详解】（Ⅰ）因为，，
所以，
因为向量与平行，
所以可设，，
所以，因为，
所以，
所以，
所以或，
所以的坐标为或；
（Ⅱ）因为，，，
所以，，
所以，
即，又，
所以，
所以的面积，
所以以，为邻边的平行四边形的面积为．
19．(1)证明见解析;(2);.(3).
【详解】（1）因为，因为，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，C−1,3,0，
设平面的法向量为，，，
由，取.
设平面的法向量为，，
由，取，
.
二面角是钝角，
二面角的正弦值为.
（3）设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
D
B
C
C
C
AD
BCD
题号
11









答案
AC