2021-2022学年河南省新乡市第十一中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省新乡市第十一中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知a>b，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．ac>bc   C． D．

【答案】D

【分析】举出反例可判断A、C，由不等式的基本性质可判断B，由指数函数的单调性可判断D，即可得解.

【详解】对于A，当，时，，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，当时，，故C错误；

对于D，由函数在上单调递增可得，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了不等式性质的应用及不等关系的判断，考查了指数函数单调性的应用，属于基础题.

2．在中，，，，则

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】本题可先通过三角形内角和为180度解出角的度数，再通过解三角形的正弦定理得出答案．

【详解】因为，

所以

根据解三角形正弦定理可得，解得，故选D．

【点睛】解三角形的正弦定理：

3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（    ）

A．1 B．2

C．4 D．8

【答案】C

【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.

【详解】设等差数列的公差为，

则，，

联立，解得.

故选：C.

4．数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为

A．12 B．12或13 C．13 D．14

【答案】B

【分析】本题可以先通过数列的通项得出数列是等差数列并知道数列的首项，然后得出数列的前项和，然后得出其的最大值．

【详解】因为，

所以数列是一个首项为、公差为的数列．

所以数列的前项和为

由数列的前项和为是一个开口向下的二次函数，且对称轴为

可知的值为12或13，故选B．

【点睛】二次函数在对称轴位置取最值，不过要注意是否能取到对称轴所在的那个点．

5．在中，若，，，则为（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】B

【分析】利用正弦定理即可求解

【详解】由得，解得，

所以或.

故选：B

6．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为(  　)

A．9 B．18 C．9 D．18

【答案】C

【分析】由三角形内角和求出，由三角形的性质求出边BC，根据面积公式求出三角形面积.

【详解】由三角形内角和：，故三角形为等腰三角形，所以，

由三角形面积公式：.

故选C.

【点睛】本题考查三角形面积公式以及三角形性质，注意面积公式中边与角的关系，求边长时也可以通过正弦定理.

7．求和：

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题中的可以化为，可以化为，可以化为，再将其依次求和，得出结果．

【详解】

所以

故选A．

【点睛】裂项相消法：

8．已知等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的公比等于   

A．1 B．-1 C．-2 D．2

【答案】D

【分析】根据等比数列的通项公式和等差中项的关系，列出方程组,进而求解.

【详解】设的公比为，因为成等差数列，所以 ，即，解得

【点睛】属于基础题,考察数列基本量的题目，难点在于运算，本题尤其要注意如何求出公比和首项.

9．在中，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题可以将转化为、转化为，通过化简得出，最后得出结果．

【详解】

，

即故选B．

【点睛】解三角形的余弦公式：．

10．若△ABC中，，则此三角形的形状是（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据不为0得到，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.

【详解】中，，

已知等式变形得：，即，

整理得：，即，

或（不合题意，舍去），

，

则此三角形形状为直角三角形．

故选：

【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．

11． 已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则

A．8 B．－8 C．±8 D．

【答案】B

【详解】试题分析：先由等差数列和等比数列的性质，得，；再利用等比数列中的第三项和第一项同号，得；所以.故选B.

【解析】等差数列的性质；等比数列的性质.

12．已知数列满足，则

A．0 B． C． D．

【答案】A

【分析】本题可先由推出的值，再由推出的值，再由推出的值，以此类推后可以发现数列是一个循环数列，然后得出结果．

【详解】

由上述可知，数列是每三项一次循环的数列，

则有故选A．

【点睛】如果一个数列中的项数每隔几项就会重复，那么则说明这个数列是循环数列．

二、填空题

13．不等式的解集为_____________________．

【答案】

【详解】试题分析：变形为，所以解集为

【解析】一元二次不等式解法

14．已知数列的前项和为，则的通项公式为__________．

【答案】

【分析】利用求得.

【详解】当时，，

当时，，

当时上式也符合，所以.

故答案为：

15．设等差数列的前项和为则________.

【答案】900

【分析】本题可以通过等差数列的前项和计算得出结果．

【详解】因为数列是等差数列，

所以成等差数列，

所以

【点睛】如果数列是等差数列，则有

16．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.

【答案】15

【分析】本题可先根据三边长构成公差为2的等差数列可将三边设为，再通过最大角的正弦值为，推出角的大小为以及对应边，再通过三角形的余弦公式得出的值，最后求出周长．

【详解】设三边长分别为

因为角的正弦值为，将角命名为角，

所以角等于或

因为角是最大角，

所以角等于, 角对应边为

根据三角形的余弦公式得，

解得三角形周长为

【点睛】最大的角对应的边也是最长的．

三、解答题

17．设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.

（1）求B的大小．

（2）若，，求b.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由正弦定理，可得，进而可求出和角；

（2）利用余弦定理，可得，即可求出.

【详解】（1）由，得，

因为，所以，

又因为B为锐角，所以．

（2）由余弦定理，可得，解得．

【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

18．(1)为等差数列的前项和，,，求.

(2)在等比数列中，若求首项和公比.

【答案】（1）；（2）首项,公比

【分析】（1）本题可通过解得的值，再得出的值．

（2）本题可通过得出，在利用等比数列性质与化简得出结果．

【详解】（1）由题意可得：根据等差数列的性质可得：

（2）在等比数列中,，,可得,

而,可得.又知,.

首项,公比．

【点睛】等比数列有

19．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求角的大小；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出答案；

（2）通过已知结合锐角三角形内角范围求出的范围，然后结合正弦定理表示、，再由和差角公式与辅助角公式进行化简，利用正弦函数性质即可求解.

【详解】（1），

，

，

，

为锐角的内角，

.

（2），

，

，

，

，

，

由题意与小问1可得：，

，

，

，

.

20．已知等差数列满足：，．的前n项和为．

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．

【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得

解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可

试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，

解得，所以，.

（2）由（1）知，，

所以，

所以，

即数列的前项和.

【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和

21．已知分别是的三个内角所对的边．

(1)若的面积，求的值；

(2)若，且，试判断的形状．

【答案】（1）；（2）等腰直角三角形．

【详解】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b边，得，再由由余弦定理得：，所以，（2）判断三角形形状，利用边的关系比较直观. 因为，所以由余弦定理得：，所以，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.

解：（1）， 2分

，得 3分

由余弦定理得：， 5分

所以 6分

（2）由余弦定理得：，所以 9分

在中，，所以 11分

所以是等腰直角三角形； 12分

【解析】正余弦定理

22．已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128.

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若bn＝，且数列{bn}的前项和为Sn＝360，求的值.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) n＝20

【详解】试题分析：

(1)由题意结合数列的通项公式得到关于首项、公比的方程组，求解方程组，结合通项公式有；

(2)结合(1)的结论可得bn＝ 则{bn}是首项为－1，公差为2的等差数列， 结合等差数列前n项和公式得到关于n的方程，结合解方程可得n＝20.

试题解析：

(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q，则

解之得，   ∴即 ；

(Ⅱ) bn＝

∵bn＋1－bn＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)＝2，又，

∴{bn}是首项为－1，公差为2的等差数列，

∴Sn＝＝360，

即 n2－2n－360＝0，∴n＝20或n＝－18（舍去），

因此，所求n＝20.