苏教版 (2019)选择性必修第一册第1章 直线与方程1.5 平面上的距离当堂达标检测题

1.5.2 点到直线的距离

分层作业

A层 基础达标练

1. [2023灌云期中]原点到直线的距离为(  )

A. 1 B.  C. 2 D.

2. 平行直线与的距离等于(  )

A. 1 B. 0 C.  D. 3

3. 已知的三个顶点坐标分别为，，，则点到边的距离为(  )

A.  B.  C.  D.

4. “”是“点到直线的距离为3”的(  )

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5. （多选题）若直线与直线平行且距离为3，则直线的方程为(  )

A.  B.  C.  D.

6. [2023赣榆月考]已知点.

（1） 求过点且与原点的距离为2的直线的方程.

（2） 是否存在过点且与原点的距离为6的直线?若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.

7. 的四条边所在直线的方程分别是，，，，求的面积.

B层 能力提升练

8. 已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是(  )

A. 6 B. 3 C. 4 D. 7

9. ，分别为与上任一点，则的最小值为(  )

A.  B.  C. 3 D. 6

10. （多选题）已知，和直线，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为2，则点的坐标为(  )

A. , B.  C. , D. ,

11. 在直角坐标平面内，与点的距离为2，且与点的距离为3的直线共有(  )

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

12. （多选题）已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”.下列直线是“切割型直线”的是(  )

A.  B.  C.  D.

13. 若过点，，，作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可以为（写出符合条件的一个答案即可）.

14. 已知直线经过直线与的交点.

（1） 若经过点，求的方程.

（2） 若直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，为原点，是否存在使面积最小的直线？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

C层 拓展探究练

15. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颌的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为，五眼中一眼的宽度为，若图中提供的直线近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为(  )

A.  B.  C.  D.

16. 若点和到直线的距离都是.

（1） 根据的不同取值，讨论满足条件的直线有多少条？

（2） 从以下三个条件，，中选择一个条件，求出直线的方程.

1.5.2 点到直线的距离

分层作业

A层 基础达标练

1. D

2. A

3. B

4. B

5. AB

6. （1） 解 ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意.

②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，即.

根据题意，得，解得，所以直线方程为.

故符合题意的直线方程为或.

（2） 解 不存在.过点且与原点的距离最大的直线为过点且与垂直的直线，此时最大距离为，而，故不存在这样的直线.

7. 解 如图，由，，联立求得交点.

由，，联立得交点.

由，，联立得交点.

由于点到的距离，，故.

B层 能力提升练

8. B

9. C

10. BD

11. C

[解析]当直线斜率不存在时，设为，由题意可知且，没有实数使得两个式子同时成立；当直线斜率存在时，设直线方程为，即.

因为点到该直线的距离为2，所以.①

因为点到该直线的距离为3，所以.②

由,得或，当时，代入①中，得，该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根；

当时，代入①中，得，该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，所以这样的直线共有3条.故选.

12. BC

[解析]设点到直线的距离为，对于，，故直线上不存在到点的距离等于4的点，故不符合题意；

对于，，所以在直线上可以找到不同的两点到点的距离等于4，故符合题意；

对于，，故直线上存在一点到点的距离等于4，故符合题意；

对于，，故直线上不存在到点的距离等于4的点，故不符合题意.故选.

13. 答案不唯一，也可填或

[解析]易得四条直线的斜率都是存在的，当过点和点的直线平行，过点和点的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点和点的直线分别为，即，，即，则过点和点的直线分别为，即，，即，其中和的距离与和的距离相等，即，解得，故正方形的边长为，该正方形的面积为.

当过点和点的直线平行，过点和点的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点和点的直线分别为，即，，即，则过点和点的直线分别为，即和，即，其中和的距离与和的距离相等，即，解得，

故正方形的边长为，该正方形的面积为.

当过点和点的直线平行，过点和点的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点和点的直线分别为，即，，即，则过点和点的直线分别为，即，，即，其中和的距离与和的距离相等，即，解得，故正方形的边长为，该正方形的面积为.

综上，该正方形的面积为或或.

14. （1） 解 联立解得所以点.若经过点，则直线的斜率，所以直线的方程为，整理可得.

（2） 解 直线分别与轴、轴的正半轴交于,两点，不妨设直线的方程为，则，即，解得，当且仅当,时取等号，所以，此时直线的方程为，即.故存在使面积最小的直线，直线的方程为.

C层 拓展探究练

15. B

[解析]如图，以鼻尖所在位置为原点，中庭下边界为轴，垂直中庭下边界为轴，建立平面直角坐标系，则,,,，直线的方程为，整理为，原点到直线的距离为.故选.

16. （1） 解 如图，，为的垂直平分线.由知不论为多少，总有两条的平行线满足到的距离为，易知，

当时，由图知还存在两条经过中点且与相交的直线满足到的距离为，如图中,，故满足条件的共有4条直线；当时，由图知还存在一条与相交的直线满足到的距离为，如图中，故满足条件的共有3条直线；当时，由图知不存在与相交的直线满足到的距离为，故满足条件的共有2条直线.

综上，当时，满足条件的共有4条直线；当时，满足条件的共有3条直线；当时，满足条件的共有2条直线.

（2） 解 若选①，由（1）知存在4条直线，存在两条与平行的直线满足条件，由，设，即，故，解得或，故直线为或；存在两条与相交的直线满足条件，且经过中点,，即,，当斜率不存在时，直线

为，,到直线的距离均为2，满足条件，当斜率存在时，设直线为，即，故，解得，直线方程为.故直线的方程为或或或.

若选②，由（1）知存在2条直线，即存在两条与平行的直线满足条件，由，设，即，故，解得或，故直线为或.

若选③，由（1）知存在3条直线，存在两条与平行的直线满足条件，由，设，即，故，解得或，故直线为或；存在一条与相交的直线满足条件，即的垂直平分线，又中点为,，即,，故的垂直平分线为，即.故直线的方程为或或.