选择性必修第一册第1章 直线与方程1.4 两条直线的交点教案

这是一份选择性必修第一册第1章 直线与方程1.4 两条直线的交点教案，共10页。教案主要包含了判断直线的交点及由交点求参数，求过两直线交点的直线，过两直线交点的直线系方程等内容，欢迎下载使用。
导语
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等．
一、判断直线的交点及由交点求参数
问题 点A(－2,2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？
提示 在，点A是l1与l2的交点．
知识梳理
1．设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0：
2.已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
注意点：
(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
(2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
例1 (1)(多选)(教材P27例1改编)下列选项中，正确的有( )
A．直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1,3)
B．直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2,1)
C．直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2,2)
D．直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交
答案 AD
解析 方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,2x＋y－5＝0))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3.))因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1,3)，A正确；
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,2x－4y＋8＝0))有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误；
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋2＝0，,2x＋y－3＝0))无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误；
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1＝0，,y＝x))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,2x＋y－3＝0))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1＝0，,2x＋y－3＝0))的解也为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))所以，三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D正确．
(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )
A．－24 B．24 C．6 D．±6
答案 A
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－k＝0，,x－ky＋12＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k2－36,3＋2k)，,y＝\f(k＋24,3＋2k)，))因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，所以y＝eq \f(k＋24,3＋2k)＝0，解得k＝－24.
反思感悟 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系．
(2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线．
延伸探究
若将(1)中选项D改为“三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点”，求m的值．
解 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝14－4x，,2x－3y＝14，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))所以这两条直线的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－2)).
由题意知点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－2))在直线mx＋2y＋7＝0上，
将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－2))代入，得4m＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))＋7＝0，解得m＝－eq \f(3,4).
跟踪训练1 (1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，3)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，－3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－3))
答案 B
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y＋6＝0，,2x＋5y－7＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝3，))所以交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，3)).
(2)若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是( )
A．k＞－eq \f(2,3) B．k＜2
C．－eq \f(2,3)＜k＜2 D．k＜－eq \f(2,3)或k＞2
答案 C
解析 方法一 由题意知，直线l1过定点P(－1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－eq \f(2,3)，kPB＝2，所以－eq \f(2,3)＜k＜2.
方法二 由直线l1，l2有交点，得k≠－2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋k＋2，,y＝－2x＋4))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2－k,k＋2)，,y＝\f(6k＋4,k＋2).))
又交点在第一象限内，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2－k,k＋2)>0，,\f(6k＋4,k＋2)>0，))解得－eq \f(2,3)＜k＜2.
二、求过两直线交点的直线
例2 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
解 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝2，))
即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．
∵直线过坐标原点，
∴其斜率k＝eq \f(2,－2)＝－1.
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
反思感悟 求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下解法：先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解．
跟踪训练2 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))即P(0,2)．
∵l⊥l3，l3的斜率为eq \f(3,4)，∴kl＝－eq \f(4,3)，
∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(4,3)x，
即4x＋3y－6＝0.
三、过两直线交点的直线系方程
知识梳理
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
例3 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
解 方法一 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5)，))所以两直线的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(7,5))).
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋eq \f(7,5)＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,5)))，
即15x＋5y＋16＝0.
方法二 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋λ×1－λ－3×3＝0，,2＋λ×－1－2λ－3×3≠0，))得λ＝eq \f(11,2).
代入(*)式，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(11,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)－3))y＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(11,2)－3))＝0，
即15x＋5y＋16＝0.
延伸探究
1．本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？
解 由例题知直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(7,5)))，所求直线与x＋3y－1＝0平行，故斜率为－eq \f(1,3)，所以所求直线的方程为y＋eq \f(7,5)＝－eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,5)))，即5x＋15y＋24＝0.
2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？
解 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－eq \f(3,4)，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
反思感悟 解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
跟踪训练3 无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．
解 ∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－7＝0，,x－y－4＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝3.))
∴点P的坐标为(7,3)．
1．知识清单：
(1)方程组的解与直线交点个数的关系．
(2)两条直线的交点．
(3)直线系过定点问题．
2．方法归纳：消元法、直线系法．
3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊．
1．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是( )
A．(－9，－10) B．(－9,10)
C．(9,10) D．(9，－10)
答案 B
解析 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋8＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－9，,y＝10，))
故两条直线的交点坐标为(－9,10)．
2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点( )
A．(－3，－1) B．(－2，－1)
C．(－3,1) D．(－2,1)
答案 C
解析 直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＋1＝0，,－x－3y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝1，))
∴直线l恒过定点(－3,1)．故选C.
3．不论a取何值时，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第____象限．
答案 四
解析 方程可化为a(x＋2y)＋(－3x＋6)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝0，,－3x＋6＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))
∵(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________.
答案 －eq \f(1,2)
解析 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2，))
又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，
∴－1－2k＝0，∴k＝－eq \f(1,2).
课时对点练
1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
答案 B
解析 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))
2．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为( )
A．12 B．10 C．－8 D．－6
答案 B
解析 ∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)．
∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5，
将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5，
∴m＋n＝10.
3．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是( )
A．－24 B．6 C．±6 D．24
答案 C
解析 因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3b－k＝0，,－kb＋12＝0，))消去b，可得k＝±6.
4．△ABC的三个顶点分别为A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，那么实数a的值等于( )
A.eq \r(3) B．1＋eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(3),3) D．2－eq \f(\r(2),2)
答案 A
解析 lAC：eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1，即3x＋2y－6＝0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y－6＝0，,x＝a，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a，,y＝\f(6－3a,2)，))
因为S△ABC＝eq \f(9,2)，所以eq \f(1,2)×a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(6－3a,2)))＝eq \f(9,4)，得a＝eq \r(3)或a＝－eq \r(3)(舍去)．
5．过直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y＋1＝0的交点，且过原点的直线方程为( )
A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0
C．x－2y＝0 D．x＋2y＝0
答案 D
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y＋1＝0，))
解得两条直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y＋1＝0的交点坐标为(－2,1)．
所以过点P(－2,1)且过原点(0,0)的直线的斜率k＝－eq \f(1,2).
所以所求直线方程为y－0＝－eq \f(1,2)(x－0)，即x＋2y＝0.
6．若直线l：y＝kx－eq \r(3)与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A．{θ|0°