初中数学人教版七年级上册3.3 解一元一次方程（二）----去括号与去分母课堂检测

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专题3.1-3.3 一元一次方程及其解法讲练

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1.一元一次方程的概念：
只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)
注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。
2.一元一次方程的解
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3.等式的性质：
（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
4. 移项：
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；（2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
5. 解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。


考点精讲

考点1：一元一次方程定义及应用
典例：若是关于的一元一次方程，则的值是______．
【答案】-1
方法或规律点拨
本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，属于基础题型．
巩固练习
1．下列各式中，是一元一次方程的是（       ）
A．x+2y=5 B．x2+x-1=0 C． D．3x+1= 10
【答案】D
2．下列是一元一次方程的是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．x2﹣4x＝3 B．x＝0 C．x+2y＝1 D．2（x﹣3）﹣3＝2x+5
【答案】B
4．在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
5．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（　　 ）
A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
【答案】C
6．①x﹣2；②0.3x＝1；③x2﹣4x＝3；④5x﹣1；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
7．若是关于的一元一次方程，则的值是______．
【答案】±1
8．若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可
【答案】2（答案不唯一）
9．若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一个一元一次方程，则a等于______．
【答案】-4
10．若关于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为 _____．
【答案】
考点2：一元一次方程的解
典例：若x＝3是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则代数式10﹣3m＋n的值是___．
【答案】7
方法或规律点拨
此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．
巩固练习
1．下列方程中，解是的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．若是关于的方程的解，则的值为（       ）
A．2 B．8 C．－3 D．－8
【答案】B
3．若是方程的解，则a的值是（        ）
A．1 B．1 C．2 D．—
【答案】A
4．是下列哪个方程的解（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
5．已知关于x的方程ax＝5﹣3x的解是x＝2，则a的值为（　　　）
A．1 B． C． D．﹣2
【答案】B
6．已知是方程的解，则______．
【答案】5
7．若是关于x的方程的解，则________．
【答案】
8．若关于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解为x＝﹣2，则a的值为 _____．
【答案】
9．是方程的解，那么m的值等于_____________．
【答案】1
10．己知方程3x+m+4＝0的解为x＝m，则m＝______．
【答案】-1
23．已知x=1是关于x的方程6-（m-x）=5x的解，则代数式m2-6m+2=___________．
【答案】-6
考点3：等式的性质
典例：下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（       ）
A．如果，那么 B．如果，那么．
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
方法或规律点拨
本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
巩固练习
1．下列等式变形，正确的是（          ）
A．若5x=7-4x，则5x-4x=7 B．若7x=2，则x=3.5
C．若x-3(4x-1)=9，则x-12x-3=9 D．若，则2(3x-2)=x+2-6．
【答案】D
2．下列各式运用等式的性质变形，正确的是（       ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．若，则
【答案】D



3．下列变形正确的是（       ）
A．与 B．得
C．得 D．得
【答案】D
4．下列方程的变形，正确的是（       ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】B
5．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
6．下列叙述中正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
7.下列等式的变形中，正确的是（       ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
8.根据等式的性质，下列变形正确的是（       ）
A．若，则a＝b B．若，则3x＋4x＝1
C．若ab＝bc，则a＝c D．若4x＝a，则x＝4a
【答案】A
9.下列变形正确的是（       ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】C

10．下面四个等式的变形中正确的是（   ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由4（），得
【答案】B
11．在下列式子中变形一定正确的是（       ）
A．如果2a= 1，那么a=2 B．如果a=b，那么
C．如果a=b，那么a+c=b+c D．如果a－b+c=0，那么a=b+c
【答案】C
12．下列变形中：
①由方程2去分母，得x﹣12＝10；
②由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝0；
③由方程2两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；
④由方程两边同除以，得x＝1；
其中错误变形的有（       ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
13．下列变形正确的是（　　）
A．如果ax＝bx，那么a＝b B．如果（a+1）x＝a+1，那么x＝1
C．如果x＝y，那么x﹣5＝5﹣y D．如果（a2+1）x＝1，那么x＝
【答案】D
14．下列变形不一定正确的是（       ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
15．下列变形中，正确的是(     )
A．若5x﹣6=7，则5x=7﹣6 B．若﹣3x=5，则x=
C．若5x﹣3=4x+2，则5x﹣4x=2+3 D．若，则2（x﹣1）+3（x+1）=1
【答案】C
16．方程的解是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
考点4：解一元一次方程—移项合并同类项
典例：解下列方程：
(1)； (2)； (3)； (4)．
（1）解：合并同类项，得，系数化为1，得；
（2）解：合并同类项，得，系数化为1，得；
（3）解：移项并合并同类项，得系数化为1，得；
（4）解：移项并合并同类项，得，系数化为1，得．
方法或规律点拨
本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
巩固练习
1．方程的解为（       ）
A．－1 B．1 C．3 D．－3
【答案】B
2．方程的解是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
3．方程的解是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
4．方程的解是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
5．若是关于x的方程的解，则m的值为_________．
【答案】2
6．关于的方程的解是，则________．
【答案】6
7．已知方程与的解相同，则k的值为______．
【答案】－3
8．若关于x的方程6x+3m＝22和方程3x+5＝11的解相同，求m的值．
解：方程3x+5＝11，解得：x＝2，
把x＝2代入得：12+3m＝22，解得：m＝．
9．解方程：．
解：移项得：-2x=8-6，合并得：-2x=2，系数化为1得：x=-1．
10．解方程：
(1)； (2)； (3)； (4)．
（1）移项得：合并得：
（2）移项得：合并得：
（3）移项得：合并得：系数化为1得：
（4）移项得：合并得：系数化为1得：．
考点5：解一元一次方程—去括号
典例：解方程
(1) (2)
解：去括号，得
移项，得
合并，得
系数化为1，得
（2）解：去分母，得：
去括号，得
移项、合并得
系数化为1，得
方法或规律点拨
本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
巩固练习
1．已知是方程的解，则的值是_________．
【答案】
2．已知代数式与的值相等，那么______．
【答案】-8
3．解方程：3-2（x+1）=2（x- 3）
解：，，，解得．
4．解方程：．
解：，去括号，得：，移项，得：，
合并同类项，得：，系数化1，得：．
5．解方程
解：，去括号，得：，
移项合并同类项得：，两边都除以4，得 ．
6．解方程：．
解：去括号得：x+2x﹣2＝8+x，移项得：3x﹣x＝8+2，合并得：2x＝10，系数化为1得：x＝5．
7．解方程：
解：去括号得：，移项得：，合并得：3x=11，系数化为1得：．
8．对两个任意有理数、，规定一种新的运算：，例如：．根据新的运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
（1）解：根据题中的新定义得：（−2）※5＝−2−2×5＝−2−10＝−12；
（2）根据题中的新定义得：2−2（x＋1）＝10，去括号得：2−2x−2＝10，移项合并得：−2x＝10，
系数化为1得：x＝−5．
9．对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：，例如，．根据新运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
（1）根据题中的新定义得：
（2）根据题中的新定义得：，，，．
考点6：解一元一次方程—去分母
典例：解方程
(1) (2) (3) (4)
（1）解：，移项合并同类项得：，未知数系数化为1得：．
（2）解：，去括号得：，移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：．
（3）解：，去分母得：，去括号得：，
移项合并同类项得：，未知数系数化为1得：．
（4）解：，去分母得：，
去括号得：，移项合并同类项得：，未知数系数化为1得：．
方法或规律点拨
本题考查正负数的意义，解题的关键是理解题意表示出红色、黑色所代表的数字．
巩固练习
1．解一元一次方程时，去分母正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2．解方程时，去分母结果正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
3．在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．下列解方程变形：
①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；
②由，去分母得2x－3x＋3＝6；
③由，去括号得4x－2－3x＋9＝1；
④由，得x＝3．其中正确的有（       ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B

5．如图的框图表示解方程的流程，其中第步和第步变形的依据相同，这两步变形的依据是（     ）

A．乘法分配律 B．分数的基本性质 C．等式的基本性质 D．等式的基本性质
【答案】D
6．将方程去分母得到，错在（       ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数12
【答案】C
7．解方程：
解：去分母，得2（1-2x）-10=5（x+3），去括号，得2-4x-10=5x+15，移项合并，得-9x=23，
把x系数化为1，得．
8．解方程：
(1)5x+2＝7x﹣8； (2)．
（1）解：5x+2＝7x﹣8，移项得：5x﹣7x＝﹣8﹣2，合并得：﹣2x＝﹣10，解得：x＝5；
（2）解：去分母得：3（x﹣1）+12＝2（2+x），去括号得：3x﹣3+12＝4+2x，
移项得：3x﹣2x＝4+3﹣12，合并得：x＝﹣5．

9．解方程：
(1)2（3x﹣5）﹣3（4x﹣3）=0 (2)
（1）解：去括号得：6x-10-12x+9=0，移项得：6x-12x=10-9，合并得：-6x=1，解得：；
（2）去分母得：3（x-3）-2（2x+1）=6，去括号得：3x-9-4x-2=6，移项得：3x-4x=6+9+2，
合并得：-x=17，解得：．
10．解方程：
解：，，
，，，．
11．解方程
(1)6x﹣7 ＝ 4x﹣5 (2) ＝ 1﹣
（1）解：移项，得6x﹣4x=﹣5+7，合并同类项，得2x＝2，系数化为1，得x＝1；
（2）解：去分母，得2（4x﹣1）＝ 6﹣（3x﹣1），去括号，得8x﹣2＝6﹣3x+1，
移项，得 8x+3x＝6+1+2，合并同类项，得 11x＝9，系数化为1，得．
12．解下列方程：
(1)32x－64＝16x＋32； (2)－x＝3－．
（1）解：移项得：32x-16x=32+64，合并得：16x=96，系数化为1得：x=6；
（2）解：去分母得：4（1-x）-12x=36-3（x+2），去括号得：4-4x-12x=36-3x-6，
移项得：-4x-12x+3x=36-6-4，合并得：-13x=26，系数化为1得：x=-2．
13．解方程
(1) (2)
（1），去括号得，整理得
（2），去分母得 ，整理得
14．解方程：
(1) (2)
（1）解：去括号，移项、合并，化系数为1，；
（2）解：去分母，去括号，
移项、合并，，化系数为1，．
15．方程的解与方程的解相同，求m值．
解：解方程2(1-x)=x+1得x=，
∵方程2(1-x)=x+1的解与方程的解相同，
把x=代入，得：，∴m=-．故m的值是-．
考点7：一元一次方程拓展训练
典例：用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2＋2ab＋a．如：1★3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣3）★2＝ 　　．
(2)若（★3）★（﹣2）＝16，求a的值．
（1）解：（﹣3）★2＝；故答案为：﹣27；
（2）根据题意得：★3=3a＝8a
∴（★3）★（﹣2）＝8a★（﹣2）＝，
整理得：8a＝16，解得：a＝2．
方法或规律点拨
本题主要考查了新定义运算，一元一次方程，准确计算是解题的关键．
巩固练习
1．已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（       ）
A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05
【答案】B
【分析】由题意估算得出方程的解的取值范围在1.5与1.8之间，据此即可求解．
【详解】解：对于来说，
∵当x=1.5时，＞0；当x=1.8时，＜0；
∴方程的解的取值范围在1.5与1.8之间，观察四个选项，1.64在此范围之内，
故选：B．
2．我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（       ）
A．8 B．－2 C．2 D．－5
【答案】D
根据题意得=-4m-2×7，∵=6，∴-4m-2×7=6，解得m=-5．故选：D
3．解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（       ）
解：原方程可化为（   ①   ）
去分母，得（   ②   ）
去括号，得（   ③   ）
移项，得（   ④   ）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质2）
A．①分数的基本性质 B．②等式的基本性质2
C．③乘法对加法的分配律 D．④加法交换律
【答案】D
4．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（   ）
A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝2
【答案】B
规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，
当min{x，-x}表示为时，则，解得，
当min{x，-x}表示为时，则，解得，
时，最小值应为，与min{x，-x}相矛盾，故舍去，
方程min{x，-x}＝3x＋4的解为，故选：B．
5．某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（       ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
解：设“□”处的系数是y，则4y+1=4×4-3，∴4y+1=13，移项得4y=13-1，合并同类项得4y=12，
系数化为1得y=3．故选：A．
6．用“*”定义一种运算：对任意的有理数x和y：x*y＝mx＋my＋1（m为常数），如：2*3＝2m＋3m＋1＝5m＋1，若1*2＝10，则（－1）*（－3）的值为（       ）
A．－7 B．－5 C．－13 D．－11
【答案】D
解：∵x*y＝mx＋my＋1，1*2＝10，∴m＋2m＋1=10，解得m=3，
∴x*y＝3x＋3y＋1，∴（－1）*（－3）=-3-9+1=-11，故选：D．
7．关于x的方程有无穷多个解，则______．
【答案】
解：方程整理得：（3a﹣5）x＝2a+3b，∵方程有无穷多个解，∴3a﹣5＝0，2a+3b＝0，
解得：a＝，b＝﹣，则a﹣b＝+ ＝．故答案为：．
8．知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝______．
【答案】﹣3
解：把x＝2代入方程，得：，，
4k＋2a＝6﹣4﹣bk，4k＋bk＋2a﹣2＝0，，
∵无论k为何值，它的解总是1，∴4＋b＝0，2a﹣2＝0，解得：b＝﹣4，a＝1．
则a＋b＝﹣3．故答案为：﹣3．
9．若关于的方程与方程的解相同，则的值为____________．
【答案】11
解可得：，将代入可得：，解得：，
故答案为：11．
10．关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为_________．
【答案】4或2
解：移项得，化简得，
又∵m是正整数且方程也有正整数解，∴当m=1，2，3，4，5，6时方程有解，
而当m=2，4时有正整数解．故答案为：2或4．
11．在有理数范围内我们定义运算法则“¤”：a¤b＝ab＋a－b＋3，如2¤5＝2×5＋2－5＋3＝10．如果－3¤x＝4，那么x的值为______．
【答案】-1
解：∵a¤b=ab+a-b+3，∴-3¤x=-3x-3-x+3=4，∴-4x=4，解得：x=-1，故答案为：-1．
12．设a，b，c，d为有理数，则我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，利用此法则解决下列问题：
（1）___________________；
（2）若，则x值为_______________．
【答案】     4     2
解：（1）∵，∴1×2﹣2×（﹣1）＝2+2＝4．故答案为：4
（2）∵，∴2×4﹣2（1﹣x）＝10，∴2x+6＝10，解得x＝2．故答案为：2
13．已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
【答案】
∵，∴．
∵关于x的一元一次方程的解是x=71，
∴关于(y+1)的一元一次方程的解为：y+1=71，
解得：y=70，故答案为：y=70．
14．若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k=______．
【答案】15
解：，，，，，
解方程：，，，，根据题意列出方程，
解得：， 故答案为：．
15．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解___________．
【答案】2
∵x的一元一次方程的解为，∴，
∵，∴，
∴，∴x=y+1=3，解得y=2，故答案为：2．
16．已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程m|y－2|＝x的解．
（1）解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴|m|＝1且m＋1≠0，∴m＝1，原一元一次方程化为：2x−8＝0，解得x＝4，
＝＝，
当x＝4时，原式＝＝−2；
（2）解：方程化为|y−2|＝4，∴y−2＝4或y−2＝−4，∴y＝6或y＝−2．
17．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关．
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值．
（1）解：∵，N=，
∴2M+N=2（）+（）
==（16a-8）x+6，
∵2M+N的值与x无关，∴16a-8=0，解得：a=；
（2）解：方程bx-b-3=0，整理得：x=1+，∵解是正整数，∴b=1或3，
当b=1时，=；当b=3时，．
18．（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？
（2）取何值时，关于的方程和的解相同？
解：（1）由题意，得，解得，
答：当时，代数式与的值互为相反数；
（2），，，解得，
方程和的解相同，
把代入得，解得，
答：当时，关于的方程和的解相同．
19．当为何值时，关于的方程和的解相同？
解：解方程得：，由题意得：，解得：．
20．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 　；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
（1）解：（1 ）解方程3x+k＝0得：x＝﹣，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，∴x＝3﹣k，∴﹣＝3﹣k，解得：k＝；
（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：x＝﹣（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝﹣2+mn+n，∴﹣（mn+n）＝﹣2+mn+n，∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，∴﹣2+mn+n＝n，∴mn＝2，∴3×2+3n＝4，解得：n＝﹣，
把n＝﹣代入mn＝2得：m×（﹣）＝2，解得：m＝﹣3；
（3）解：解方程3x＝mn+n得：x＝，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝3+mn+n，∴＝3+mn+n，∴mn+n＝，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n＝2mn+2n
＝2（mn+n）＝2×（）＝﹣9．
21．我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
（1），，而，所以不是“商解方程”；
（2），，，
关于的一元一次方程是“商解方程”，，解得：．
22．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
（1）解：2x+1=1，解得x=0；
把x=0代入1-2（x-m）=3，得：1-2（0-m）=3，即1+2m=3，解得：m=1．故答案为：1．
（2）解： ∵x2+3x-4=0，∴x2+3x=4，∴2（x2+3x）= 2x2+6x =8，
∵关于x的方程的解也是“立信方程”的解，
∴8-3-n=0，解得：n=5．故答案为：5．
（3）解：∵a为正整数，则a≠0，
∵，∴，
∵该方程为“立信方程”，∴x的值为整数，∴为整数，
∴a可取1，4，2，-1，-4，-2，∴x=-2，16，-1，-4，38，7，
同理9x-3=kx+14，∴（9-k）x=17，根据题意得：9-k≠0，∴，
∴9-k可取8，-8，10，26，∴此时x=17，1，-17，-1，∴两方程相同的解为x=-1，
此时对应的a=2，k=26，∴符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
能力提升

一、选择题
1．下列方程是一元一次方程的是（        ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．下列根据等式的性质正确变形的是（       ）．
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】B
3．根据“x与5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
4．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n=（       ）．

A．503 B．504 C．505 D．506
【答案】C
解：因为第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，
第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，
所以第n个图案中正三角形和正方形的个数：3n＋1＋n＝4n＋1，4n＋1＝2021，则n＝505．
故选：C．
5．如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（       ）

A． B． C．1 D．2
【答案】B
解∶如下图，

设小长方形的长为y，宽为x，则，图1中阴影部分的周长为：y+2x+y+2x+y+（y-2x）+2x=4y+4x，
图2中阴影部分的周长为：y+2x+（y+BE-2x）+y+2x+y+BE+2x=4y+4x+ 2BE，
∵图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，∴4y+4x+ 2BE=4y+4x+1，∴BE=，故选：B．
6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程中，有，∴；
即方程的解为；故选：D
二、填空题
7．已知关于的一元一次方程的解是，则的值为______________．
【答案】3
8．“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
【答案】
9．若代数式3x＋2与代数式x﹣10的值互为相反数，则x＝________．
【答案】2
10．整式ax－b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程－ax＋b＝3的解是______．
x
－2
0
2
ax－b
－6
－3
0
【答案】x=0
11．学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，两位同学的解答过程分别如下：

（1）解答过程出现错误的同学是 _____；
（2）这个方程正确的解是 _____．
【答案】     甲和乙     x＝﹣1
解：（1）解答过程出现错误的同学是甲和乙；
（2）解方程 ，，2（3x+1）﹣（x﹣7）＝4，
6x+2﹣x+7＝4，6x﹣x＝4﹣2﹣7，5x＝﹣5，x＝﹣1．
故答案为：（1）甲和乙；（2）x＝﹣1．
12．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即；则
（1）用含x的式子表示__________；
（2）当时，n的值为__________．
解：（1）用含x的式子表示m=x+2x=3x；
（2）∵ 当时， 解得，x=-1∴n=2x+3=1
故答案为：3x，1．
三、解答题
13．解方程：
(1)； (2).
（1）解：移项，可得：，合并同类项，可得：，系数化为，可得：.
（2）解：去分母，可得：，去括号，可得：，
移项，可得：，合并同类项，可得：，系数化为，可得：.
14．如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：

(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．
(1)解：由题意得，剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：，
因此周长为：，面积为：．
(2)由题意得，，解得，
a的值为．
15．航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．
(1)试判断关于y的方程是否是关于x的一元一次方程的“航天方程”？并说明理由；
(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．
（1）是，理由如下：，解得：，
，解得：或，
∵，
∴关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”；
（2），解得：，，解得：或，
∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，
①当时，解得：；
②当时，解得：，
综上，a的值为101或109．