2022-2023学年甘肃省庆阳市宁县第二中学高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省庆阳市宁县第二中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．化简（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用向量的加减法得答案.

【详解】，

故选：D.

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】逆用两角差的余弦公式求解即可.

【详解】，

故选：B

3．在中，，则（    ）

A．30° B．45° C．30°或150° D．60°

【答案】A

【分析】根据题意利用正弦定理运算求解，注意三角形的性质应用.

【详解】由正弦定理，可得，

∵，则，即，

∴.

故选：A.

4．已知向量、的夹角为，，，则（    ）

A．4 B．5 C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量的数量积公式可得，再根据可求得结果.

【详解】因为，

所以.

故选：B

5．已知点是角终边上一点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数的定义得出，利用三角恒等变换代入化简即可.

【详解】

故选：A.

6．结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由及和角正切公式展开整理，即可得结果.

【详解】由，

所以.

故选：B

7．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】B

【分析】先利用余弦定理求出角，再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出，即可得解.

【详解】因为，

所以，

又，所以，

因为，由正弦定理得，

则，

则，

所以为有一个角为的直角三角形.

故选：B.

8．已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量的模为（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】A

【分析】根据数量积的定义求得，进而得出的值，然后根据投影向量即可得出答案.

【详解】由已知可得，，

所以，，

所以，向量在向量上的投影向量的模为.

故选：A.

二、多选题

9．已知向量，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．与可以作为基底

C． D．与方向相同

【答案】BD

【分析】根据向量的坐标运算，共线向量定理和平面向量基本定理逐项分析即得.

【详解】由题意，向量，可得，

所以，所以A正确，B错误；

又由，所以C正确；

因为，所以，所以与方向相反，所以D错误.

故选：BD.

10．已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（    ）

A．的最小正周期为π

B．在区间上单调递增

C．的图象关于直线对称

D．的图象关于点对称

【答案】AD

【分析】用二倍角公式化简，向右平移后得，分别代入正弦函数的单调区间，对称轴，对称中心分别对四个选项判断即可.

【详解】因为，向右平移个单位得，则最小正周期为，故A选项正确；

令，解得，所以单调递增区间为，故B选项错误；

令解得，故C选项错误；

令解得所以函数的对称中心为，故D选项正确.

故选：AD

11．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用两角和差的正弦公式、正切公式的逆运用可以分别计算出A、D选项，利用二倍角正弦公式的逆运用可以计算出B选项，根据降幂公式可以化简病求出C选项.

【详解】对于A选项，，所以A正确；

对于B选项，，所以B不正确；

对于C选项，，所以C不正确；

对于D选项，，所以D正确；

故选：AD.

12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，对于有如下命题，其中正确的是（    ）

A．若，则是锐角三角形

B．若，，则的外接圆的面积等于

C．若是锐角三角形，则

D．若，则是等腰直角三角形

【答案】BC

【分析】根据余弦定理即可判断A；根据正弦定理，即可判断B；由题意可得，即可判断C；根据正弦定理和二倍角的正弦公式计算化简，即可判断D.

【详解】A：由余弦定理，得，得B为锐角，

不能判断为锐角，故A错误；

B：设的外接圆的半径为R，由正弦定理得，

得，所以其外接圆的面积为，故B正确；

C：若为锐角三角形，则，且，

所以，故C正确；

D：，由正弦定理，得，

即，而，所以或，

即或，则为等腰三角形或直角三角形，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．已知，则           .

【答案】

【分析】利用已知等式可求得，由两角差的正切公式可求得结果.

【详解】由得：，，

.

故答案为：.

14．设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则        .

【答案】4

【分析】根据向量共线定理可得存在实数使，从而得到关于的方程组，进而可求出.

【详解】由题意可知与共线，

所以存在实数使，

因为不共线，

所以解得或，

因为向量与的方向相同，所以，即，

故答案为：4

15．如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高          .

【答案】

【分析】由题意，可先求出的值，从而由正弦定理可求的值，在直角三角形中可求得．

【详解】如图所示：

在直角三角形中，，

在中，因为，，

所以，

由正弦定理可知：，

在直角三角形中，，

故答案为：

16．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为      .

【答案】

【分析】根据向量数量积的定义，求得的值，利用平面向量的几何意义和数量积的运算律求得、，结合夹角公式计算即可求解.

【详解】因为，与的夹角为，

所以，

所以，

得，又，

所以，

又因为，所以.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）化简：.

（2）已知，求的值.

【答案】（1）4；（2）.

【分析】（1）通分，利用辅助角公式和正弦的倍角公式进行化简求解；

（2）对两边平方后，结合同角三角函数关系及正弦倍角公式进行求解.

【详解】（1）；

（2），两边平方得：，

即，所以

18．已知，均为锐角，，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】运用二倍角公式、同角三角函数平方关系、配凑角及差角公式求解即可.

【详解】（1）由题意知，，

（2）∵、为锐角，

∴，

又∵，，

∴，，

∴.

19．已知，，．

(1)当时，求的值；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)9

(2)

【分析】（1）利用平面向量的运算法则和数量积运算法则进行计算；（2）由向量垂直得到等量关系，求出实数的值.

【详解】（1）当时，，

故，

（2），

，

因为，

所以，

解得：.

所以实数的值为.

20．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α．

【答案】(1)7 n mile/h

(2)

【分析】(1)根据余弦定理求解；

(2)利用正弦定理即可求解.

【详解】（1）依题意，知

在中，由余弦定理，

得

解得甲船的速度为＝7，

所以渔船甲的速度为7 n mile/h．

（2）在中，

由正弦定理，得＝，

即.

21．已知的内角的对边分别为，．

(1)求A；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用正弦定理及条件，进行边转角即可求出结果；

(2)利用余弦定理及条件，建立方程求出的值，再用面积公式求出结果.

【详解】（1）(1)由正弦定理及，得，

所以，

即，所以

因为，所以，又，所以

（2）(2)，，又由(1)知

由余弦定理得，

即，则

所以的面积为

22．已知函数在区间上的最大值为5，

(1)求常数的值；

(2)当时，求使成立的x的取值集合.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量的数量积及三角恒等变换化简，再根据三角函数的图象与性质即可求；

（2）由（1）求得，根据三角函数的图象与性质即可解不等式.

【详解】（1）

，

，

，，

∴函数的最大值为，，，

（2）由（1）得，

由得，∴

解得：.

成立的x的取值集合是．