2022-2023学年甘肃省天水市麦积区高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省天水市麦积区高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数的虚部为（    ）

A．-2 B．2 C．-2i D．2i

【答案】B

【分析】由复数的运算得出虚部.

【详解】，即该复数的虚部为.

故选：B

2．设复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数加法求，进而判断对应点所在象限.

【详解】由题设，，故其对应点为在第一象限.

故选：A

3．已知向量，若∥，则的值等于（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】根据，且∥，由平面向量共线的坐标表示结合商数关系求解.

【详解】因为，且∥，

所以，

即，

所以.

故选：D

【点睛】本题主要考查平面向量共线的坐标表示以及同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4．已知角的终边经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角函数的定义及二倍角公式即可求解．

【详解】由角的终边经过点，则，

所以．

故选：A．

5．已知是所在平面内一点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由平面向量线性运算可得.

【详解】

由，得

得，得，

故选：A

6．在△ABC中，若其面积为S，且=2S，则角A的大小为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】A

【分析】由数量积的定义，结合条件即可求解.

【详解】因为，而，所以，所以，故.

故选：A

7．设，，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是（    ）

A．且 B．且 C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得，又与的夹角不等于180°，进而即可求出m的取值范围．

【详解】由与的夹角是钝角，

则，解得，

又与的夹角不等于，

则与不平行，即，解得，

所以实数m的取值范围是且，

故选：B．

8．若中，，若该三角形有两个解，则范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，过作于点，从而可求出，由该三角形有两个解，可知以为圆心，为半径画圆，与所在直线有两个交点，从而可求出的取值范围.

【详解】解：如图，过作于点，

，

，

若该三角形有两个解，则以为圆心，为半径画圆，与所在直线有两个交点，

则的取值范围是：，即，

所以的取值范围是.

故选：D.

二、多选题

9．下列说法中错误的是（    ）

A．若复数z满足，则 B．若复数z满足，则

C．若复数z满足，则 D．若复数､满足，则

【答案】ABD

【分析】根据题意，结合复数的运算及性质，依次分析选项是否正确，即可得答案．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于，若，则此时，但，所以错误；

对于，复数满足，令，，所以，所以是虚数，所以错误；

对于，设，则，若，必有，则，所以正确；

对于，若，，则，但，所以错误；

故选：．

10．下列数学符号可以表示单位向量的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据单位向量的定义及模为1，逐一分析四个选项，根据向量坐标求出向量的模，即可判断A选项；根据向量坐标和同角三角函数的平方关系，即可判断B选项；根据平面向量的数量积运算，即可判断C选项；根据单位向量的定义，即可判断D选项，从而得出答案.

【详解】解：因为单位向量的模为1，

对于A：，故A错误；

对于B：，故为单位向量，故B正确；

对于C：，为数量，不是向量，故C错误；

对于D：，由定义可得为单位向量，故D正确；

故选：BD.

11．已知的内角的对边分别为，满足，且，则下列正确的是（    ）

A． B．

C．的周长为 D．

【答案】AB

【分析】利用正弦定理将角化边，即可判断AC；根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式判断BD.

【详解】对于A，C，在中，，

由正弦定理可得，所以，即，

所以的周长为，故A正确，C错误；

对于B，D，因为，所以，所以，

所以，，故B正确，D错误.

故选：AB

12．在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．满足，则点是的外心

B．满足，则点是的重心

C．满足，则点是的垂心

D．满足，且，则为等边三角形

【答案】ABCD

【分析】根据三角形外心、重心和垂心的定义逐一用向量判断ABC，用向量的数量积和运算律判断D即可.

【详解】解：对于，因为，所以点到的三个顶点的距离相等，所以为的外心，故正确；

对于B，如图所示，为的中点，由得：，所以，所以是的重心，故B正确；

对于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以点是的垂心，故C正确；

对于D，由得：角的平分线垂直于，所以；

由得：，所以，所以为等边三角形，故D正确．

故选：ABCD．

三、填空题

13．的值是    ．

【答案】

【分析】首先利用诱导公式得出，然后利用两角和与差的正弦公式得出所求的式子为，进而根据特殊角的三角函数值得出答案．

【详解】故答案为．

【点睛】本题考查了诱导公式以及两角和与差的正弦函数公式，平时要熟练掌握特殊角的三角函数值，属于基础题．

14．定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则           .

【答案】

【分析】由平面向量数量积的定义求出的值，利用同角三角函数的定义求出的值，然后利用题中定义求出的值.

【详解】由平面向量数量积的定义得，

，

由同角三角函数的基本关系得，

因此，.

故答案为：.

15．已知，则的值是           .

【答案】/0.5

【分析】利用二倍角正弦、余弦公式，结合的平方关系，将所求式子化为关于的齐二次分式，化弦为切，即可求出结论.

【详解】因为，

所以

.

故答案为：.

16．设向量满足，则      .

【答案】

【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可.

【详解】解：向量，满足，，，

则，

则.

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数，当取何实数值时，复数是：

（1）纯虚数；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用，即可求解.

（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等即可求解.

【详解】（1）若复数是纯虚数，则，解得，所以

（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得，

解得，即

18．已知是坐标原点

(1)当A，B，C三点共线时，求的值．

(2)当取何值时，取最小值？并求出最小值

【答案】(1)

(2)时，最小值为

【分析】（1）首先求出向量、的坐标，依题意，根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；

（2）首先表示出向量，的坐标，再根据数量积的坐标表示得到关于的二次函数，根据函数的性质计算可得；

【详解】（1）解：因为，所以，，因为三点共线，所以，交集，解得

（2）解：因为，所以，

所以

所以当时，

19．已知向量，，.

(1)求的值；

(2)若，，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量模长以及数量积的坐标表示即可计算出;

（2）根据角的范围可分别求得，进而可求得，又，利用两角差的正弦公式即可求得结果.

【详解】（1）根据题意可知,，且；

由可得，

即，

可得.

（2）由，且，可得，

又，所以，

因此，

由（1）得，所以，

因此，

所以

.

所以

20．已知函数的最大值为1.

（1）求实数的值；

（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）-1（2）最大值，最小值-3

【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数，可得．

（2）根据函数的图象变换规律，可得．再根据，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．

【详解】解：（1）

，

（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象， ，

当时，，取最大值，

当时，，取最小值.

【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域、值域，属于基础题．

21．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线与边交于点D，且.

(1)求证：.

(2)若，求的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由，结合三角形的面积公式求得，即可求解；

（2）由（1）知和余弦定理，可得，解得，结合面积公式，即可求解.

【详解】（1）解：由的平分线与边交于点D，可得，

因为，为的平分线，且，

所以，

可得，所以.

（2）解：由余弦定理，可得，且，

又由（1）知，可得，解得或（舍去），

所以.

22．某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN.

(1)求M，N两地间的直线距离；

(2)求观光线路长的取值范围.

【答案】(1)

(2)长的取值范围是（单位：）.

【分析】（1）利用余弦定理求得正确答案.

（2）设，利用三角函数表示出，并求得取值范围.

【详解】（1）由余弦定理得.

（2）设，

由正弦定理得，

，

所以，

所以

，

由于，所以.

即长的取值范围是（单位：）.