2022-2023学年福建省仙游县第二中学高一下学期期中质量检测数学试题含答案

2022-2023学年福建省仙游县第二中学高一下学期期中质量检测数学试题

一、单选题

1．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数除法运算求出复数，再求出复数的模作答.

【详解】，

所以.

故选：A．

2．函数的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用三角函数的周期公式求解.

【详解】由题得函数的最小正周期．

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，则其侧面展开得到的扇形的圆心角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】圆锥的底面周长即侧面展开得到的扇形的弧长,再应用弧长公式求圆心角即可.

【详解】由条件知底面周长为，即侧面展开得到的扇形的弧长为，

故,圆心角为.

故选:.

4．已知向量，，且，则（    ）

A． B．52 C． D．

【答案】D

【分析】先根据向量平行的坐标性质求出x，再代入求的模即可.

【详解】，

故选：D.

5．如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的四等分点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量加减法的三角形法则计算即可.

【详解】解：由题意可得：，，，．

∴，

故选：D.

6．已知，，则在上的投影向量为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据投影向量的定义求解．

【详解】，，

在上的投影向量为．

故选：A．

7．下列四个选项，正确的为（    ）

A．已知向量，，若“与共线”，则“存在唯一实数使得”

B．已知，是非零向量，若“与共线”，则“”

C．在△ABC中，A，B，C为三角形的三个内角，若“”，则“”

D．设非零向量，，若，则向量与的夹角为锐角

【答案】C

【分析】根据向量共线定理可判断A；根据向量共线定理设，分别代入、可判断B；根据正弦定理可判断C；举当向量的夹角为时可判断D.

【详解】解析：对于A，若“与共线”，则“存在唯一实数使得”，故A错误；

对于B，，是非零向量，若“与共线”，则“存在唯一非零实数使得”，

则，，故与

不一定相等，故B错误；

对于C，若“”，则，由正弦定理可得 “”，故C正确；

对于D，当非零向量的夹角为时，，故D错误.

故选：C.

8．已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到．若函数在上恰有5个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由图象的变换得，由已知零点可得，进而可求出.

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，

再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，

得到的图象．若函数在上恰有5个零点，

则，所以，得．

故的取值范围是．

故选:D.

二、多选题

9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则以下正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据展开图还原直观图，利用正方体的结构特征，平行的判定进行判断．

【详解】解：由展开图可得几何体的直观图如下：

所以与为异面直线，与为异面直线，故A、D错误；

由正方体的性质可得（），，

所以四边形为平行四边形，所以，故B、C正确；

故选：BC

10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ）

A．圆柱的侧面积为

B．圆锥的侧面积为

C．圆柱的侧面积与球面面积相等

D．圆柱、圆锥、球的体积之比为

【答案】CD

【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积公式，结合圆柱、圆锥、球的体积公式逐一判断即可.

【详解】因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，

则圆柱的侧面积为，A错误；

圆锥的母线长，侧面积为，B错误；

球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；

，，

，D正确．

故选：CD．

11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．的面积为

【答案】ACD

【分析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积公式，分析判断选项C和D.

【详解】在中，

∵，则，整理得，所以，

由二倍角公式得，解得，

在中，则，故选项A正确；

在中，则，故选项B错误；

由题意可知：，即，

由，解得，故选项C正确；

在中，

∵，则，

∴，故选项D正确.

故选：ACD.

12．直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点在过点的直线上，若，，则下列结论正确的是（    ）

A．为常数 B．的最小值为3

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】利用M、P、N三点共线可得，然后利用基本不等式和构造二次函数，即可判断正误.

【详解】解：对于A：P是斜边BC上一点，且满足，

则，

若，，则，

又由M、P、N三点共线，可得，

所以，故为常数，A选项正确；

对于B：，当且仅当，即时等号成立，

则的最小值为3，B选项正确；

对于C：

，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为，C选项错误；

对于D：，

，，

即当时，的最小值为，D选项正确；

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：由M、P、N三点共线，求得，是解决本题的关键.

三、填空题

13．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则      .

【答案】

【分析】利用余弦定理计算可得.

【详解】在中，由余弦定理得，

所以.

故答案为：.

14．若正方体的顶点都在同一球面上，该球的表面积为，则该正方体的棱长为      

【答案】

【分析】根据正方体的体对角线即外接球直径求解即可

【详解】如图，

设正方体的棱长为，则其体对角线长为，

其外接球的半径为，

外接球的表面积，得．

故答案为：．

15．已知向量，满足，，且，的夹角为45°，则     

【答案】

【分析】，结合数量积的公式代入数据计算即可.

【详解】因为向量，满足，，且，的夹角为45°，

所以.

故答案为：

16．若，则的最大值与最小值的和为           .

【答案】

【分析】由题意结合复数的何意义可得复数表示以（）为圆心的半径为1的圆，从而可求出的最值，进而可得答案.

【详解】由几何意义可得：复数表示以（）为圆心的半径为1的圆，

则.

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，，．

(1)若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；

(2)若x=1且为钝角，求实数y的取值范围．

【答案】(1)；

(2)且.

【分析】（1）根据三点共线可得，结合共线向量的坐标表示可得答案；

（2）根据为钝角，可得且，不共线，利用坐标表示可得结果.

【详解】（1）因为A，B，C三点共线，即，

，，所以，

即；

（2）因为为钝角，所以且，不共线，

由（1）得：当，且时，，

因为，不共线，所以，

，，

，

解得：，

所以且.

18．在复平面内，若复数对应的点：（1）在虚轴上；（2）在第二象限；（3）在的图象上，分别求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）；（3）．

【分析】根据复数的定义与性质根据已知列式得出答案；

（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案；

（2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案；

（3）当复数在的图象上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案.

【详解】复数的实部为，虚部为．

（1）由题意得，解得或；

（2）由题意，得，解得；

（3）由已知得，解得．

19．如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，

（1）求圆锥的表面积和体积.

（2）求圆柱的表面积.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）求出圆锥的高可得体积，由表面积公式计算出表面积；

（2）求出圆柱的底面半径后可得表面积．

【详解】（1）由题意圆锥的高为，

所以圆锥的表面积为，

体积为．

（2）设圆柱半径为，则，，

所以圆柱的表面积为．

【点睛】本题考查圆柱与圆锥的表面积和体积，属于基础题．

20．已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，，且.

(1)求；

(2)若，的面积为，且，求线段的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出；

（2）先根据面积求出，利用向量运算求解的长.

【详解】（1）因为，所以.  

由正弦定理，得，即，  

由余弦定理，得.

因为，所以.

（2），解得.

因为，所以为的三等分点，，则，

所以，.

21．在中，角所对的边分别为.

(1)若，求；

(2)求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)法一、利用正弦定理和已知可得，

解得，从而可得的结果；

法二、由正弦定理及已知条件进行消元转化得到，再利用同角三角函数的平方关系即可解得；

(2)由可以化简得到，，再利用正余弦定理及基本不等式即可求得最大值.

【详解】（1）解：

法一、利用正弦定理和已知可得

，

化简可得：，

又∵，解之得

∴

法二、由正弦定理及已知可得

，

又∵∴即

两式平方相加可得：

故：若时，.

（2）解：由已知可得，化简可得

即

由余弦定理得

∴即

当时，的面积取得最大值.

故的面积最大值为：.

22．已知函数，（且），为奇函数．

(1)求的值；

(2)当时，求不等式的解集；

(3)若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围．

【答案】(1)1

(2)

(3)

【分析】（1）由为奇函数，根据奇函数的定义求解即可.

（2）由对数函数单调性解不等式

（3）分析得，由参变分离法，原命题等价于有两个不同的解，令化简得，即可由函数性质判断m的范围.

【详解】（1）为奇函数，，

即恒成立，，解得或,

若时，，定义域不关于原点对称，不符合题意，

当时，，定义域为，关于原点对称，符合题意,

故.

（2），，即，即，解得.

故不等式的解集为.

（3），的定义域为，为增函数，

∵，∴，∴.

经检验不符合方程，

故可化为，

又，可化为，

令，则.

∵关于x的方程有两个不同的解，即等价于在有两个不同的解，即等价于与的图象在有两个交点.

∵，当且仅当时等号成立，且在单调递减，在和上单调递增，，

如图，

故当与的图象在有两个交点时，，即.

故实数m的取值范围为.