2022-2023学年福建省厦门外国语学校石狮分校高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年福建省厦门外国语学校石狮分校高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知向量，若与方向相反，则（    ）

A．0 B． C．－ D．±

【答案】C

【分析】解方程求出，再检验得解.

【详解】向量，，若与方向相反，

所以，解得.

当时，，与方向相同，与已知不相符，所以舍去.

当时，，与方向相反，符合已知.

故选：C

2．已知，则（    ）

A． B． C．1 D．-1

【答案】C

【分析】设，,结合共轭复数的概念利用复数模的运算得，利用复数乘法求解即可.

【详解】设，则，因为，所以，即，

所以.

故选：C

3．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把复数变为一个角的三角形式即可求解.

【详解】因为，所以.

故选：C

4．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是，则三角形的另一边长为(　　)

A．52 B． C．16 D．4

【答案】B

【分析】根据题意，利用余弦定理，即可求解.

【详解】设三角形的另一边长为，

由余弦定理得.

故选：B.

5．把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据周期变换和平移变换的原则即可得解.

【详解】函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），

得函数，

再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，

得.

故选：D.

6．在中，已知，，，则此三角形的解的情况是（    ）

A．有一解 B．有两解

C．无解 D．有解但解的个数不确定

【答案】C

【分析】利用正弦定理列出关系式，将、、的值代入求出的值，即可作出判断．

【详解】由正弦定理得，得，

因此，该三角形无解.

故选：C.

【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形解的个数，考查推理能力，属于基础题．

7．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先计算，再根据投影向量公式即可计算.

【详解】

在上的投影向量为

故选：B

8．在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量基本定理，用表示即可得答案.

【详解】解：如图，因为点为的中点，，

所以，，

，

所以，即，解得

所以，的值为.

故选：B

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A． B．若，则与的夹角为钝角

C． D．若，则

【答案】AD

【分析】利用数量积的运算律判断A、C，利用数量积夹角公式判断B、D.

【详解】对于A，根据数量积的分配律得，正确；

对于B，当两个非零向量与方向时，，此时与的夹角为平角，

不是钝角，错误；

对于C，表示与共线的向量，表示与共线的向量，

而不一定共线，错误；

对于D，若，则，正确.

故选：AD

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．复数的虚部为

B．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限

C．若为虚数单位，n为正整数，则

D．若，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为

【答案】CD

【分析】求得复数的虚部判断选项A；

求得复数的共轭复数对应的点所在象限判断选项B；

求得的值判断选项C；

由求得z对应的点的轨迹判断选项D.

【详解】选项A：复数的虚部为，故A错误；

选项B：在复平面内，复数的共轭复数为，

对应的点的坐标为，位于第二象限，故B判断错误；

选项C：，故C判断正确；

选项D：设，，对应的点的坐标为，由得，所以在以原点为圆心1为半径的圆内（含圆周），在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为，故D判断正确.

故选：CD

11．已知函数，则下列判断正确的是（    ）

A．为偶函数

B．的图象关于直线对称

C．在上单调递增

D．的图象关于点对称

【答案】AB

【分析】根据降幂公式及辅助角公式化一，再根据余弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】

,

对于A，因为，

所以为偶函数，故A正确；

对于B，由，得，

所以的图象关于直线对称，故B正确；

对于C，由，得，

所以在上单调递减，故C错误；

对于D，当时，，

所以的图象关于点对称，故D错误.

故选：AB.

12．《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（    ）

A．的周长为 B．三个内角，，满足

C．外接圆的直径为 D．的中线的长为

【答案】ABC

【分析】对于选项，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长；

对于选项，根据余弦定理可求得的值为，可得，可得三个内角，，成等差数列；

对于选项，由正弦定理可得，外接圆直径可得的值；

对于选项，由题意利用中线定理即可计算得解．

【详解】由正弦定理可得．

设

，

解得的周长为，故A正确；

由余弦定理得，，

故B正确；

由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确；

由中线定理得，即，

，故D错误．

故选:ABC．

三、填空题

13．已知复数,则      

【答案】5

【分析】根据复数模的计算公式，即可求解，得到答案.

【详解】由题意知，复数，则，

故答案为5.

【点睛】本题主要考查了复数的模的计算，其中解答中熟记复数的模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于容易题.

14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积的最大值为           ．

【答案】

【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得最大值，再用三角形的面积公式求解即可．

【详解】在中，，，

，即，

因为，所以，当且仅当时等号成立，

则，当且仅当时等号成立，

即的面积的最大值为.

故答案为：．

15．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则      .

【答案】

【分析】先利用向量的线性运算表示，，然后数量积求解夹角余弦值即可.

【详解】设，，则，

，又，，

所以

.

故答案为：

16．已知的边，且，则的面积的最大值为           .

【答案】

【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到，再利用三角形面积公式得，再转化为三角函数的性质，求函数的最大值

【详解】由题意，设中角，，所对应的边长度分别为，，，则有，

由可得，整理得，

∴，

∵，∴，∴，

由正弦定理可得，

∴，则有.

故的面积

.

∵，∴，当时，的面积取得最大值.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理得到，为后面转化为关于的三角函数求最值奠定基础.

四、解答题

17．已知复数

(1)若z为纯虚数，求实数m的值：

(2)若z在复平面内对应的点在直线，求．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据纯虚数的概念列出方程或不等式，即可求得答案.

（2）根据题意列出m满足的方程，求得z，利用复数模的公式求得答案.

【详解】（1）若为纯虚数，则，解得.

（2）由题意可得，解得或，

当时，，所以；

当时，，所以.

18．已知中，点D在线段上，且，延长到C，使．设，．

(1)用表示向量；

(2)若向量与共线，求k的值．

【答案】(1)，；

(2)．

【分析】（1）利用向量线性运算法则即可表示；

（2）利用向量共线定理即可计算．

【详解】（1）∵A为的中点，

∴，

可得，；

（2）由（1）得，

∵与共线，则，

即，

∵不共线，

∴，解得．

19．已知.

(1)若，求证：；

(2)设，若，求的值.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）求出，利用模长公式列出方程，求出，证明出；

（2）根据得到，平方相加后得到的值.

【详解】（1），

故，

即，

化简得：，

故；

（2），

所以，

两式平方相加得：，

故.

20．设函数.

(1)求函数的最小正周期及图象的对称轴；

(2)在中，若，且的外接圆的面积为，求的最大值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据正弦函数的性质即可求得答案；

（2）利用（1）的结论求得A，求出三角形外接圆半径，进而利用正弦定理可表示出，结合辅助角公式化简，即可求得答案.

【详解】（1）由题意得

，

所以函数的最小正周期，

令，解得，

所以函数的周期是，对称轴方程是；

（2）因为，所以，

又因为，.

所以，故有，

已知的外接圆的面积为，设外接圆的半径为，

所以，得，

设的角所对的边分别为，

由正弦定理，.

所以，

，其中，

所以的最大值是.

21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且.

(1)求B；

(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；

(2)根据余弦定理和面积公式即可求解.

【详解】（1）方法一：，

所以，

所以

.

方法二：在中，由正弦定理得：，

所以，

所以.

因为，所以，所以，

因为.

（2）方法一: ，

当且仅当时取，

，

.

方法二:

在中，由余弦定理得：

当且仅当取“=”）

所以,

所以的面积.

.

22．建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系.

(1)求的表达式；

(2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.

【答案】(1)

(2)8小时

【分析】（1）直接利用函数图像，求出，进而求出的表达式；

（2）利用条件和由（1）中所求结果建立不等式，再借助的图像与性质即可求出结果.

【详解】（1）如图，

因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，

所以，

所以，又，所以，

所以.

（2）根据题设，由（1）得，即，

由的图像得，

解得，

又因为，

当时，，当时，，

所以或,

所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时.